第二章 随机变量及其分布《概率论与数理统计》西南交大峨眉校区

1、 第第二二章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数2.2 离散型随机变量离散型随机变量2.3 连续型随机变量连续型随机变量2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机事件随机事件 数数量量化化数数值值化化随机变量随机变量 累累积积概概率率分布函数分布函数 分分类类离散型离散型 连续型连续型 概率分布表概率分布表 概率密度概率密度 共共同同应应用用随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1. 随机变量的概念随机变量的概念2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数,Xi 1,2,3,4,5,6i 1123456,; ,Xi 0,1,2,i 20

2、12,; ,Xx 030 x 3030 ;xx 2. 随机变量的分类随机变量的分类 分类依据：分类依据：随机变量的取值情况随机变量的取值情况 离散型随机变量：离散型随机变量：随机变量的取值为有限个或可数无随机变量的取值为有限个或可数无 穷多个穷多个 非非离散型随机变量：离散型随机变量：除离散型随机变量之外的其他随除离散型随机变量之外的其他随 机变量机变量 非非离散型随机变量离散型随机变量 混合混合型随机变量型随机变量 连续型连续型型随机变量型随机变量 第三节第三节 3. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数（1）定义）定义随机变量的概率分布：随机变量的概率分布：随机变量的所有取值及其相应的随机

3、变量的所有取值及其相应的 概率信息统称为概率信息统称为 在实际问题中，除了考虑随机变量取到某个特定值的在实际问题中，除了考虑随机变量取到某个特定值的概率信息外，有时候还需要考察某些累积概率。概率信息外，有时候还需要考察某些累积概率。 2112()()()XxXxxXx可得可得2112()()()P XxP XxP xXx1221()()()P xXxP XxP Xx 因此有因此有1221()()()P xXxP XxP Xx21()()F xF x( )()F xP Xx 有界性：有界性： 非减性：非减性： （2）性质）性质lim( )()()0 xF xFP X lim( )()()1xF

4、xFP X 1221()()()0P xXxF xF x可得可得12()()F xF x 右连续性：右连续性： 1001()()()F xF xP xXx 12()nnnPxXx 12()()nnnF xF x 00lim( )()xxF xF x 1()lim()nnF xF x从而可得从而可得0lim()()nnF xF x 00lim( )()xxF xF x 注：注：满足上述三个性质的函数必是某随机变量的分布函数。满足上述三个性质的函数必是某随机变量的分布函数。1(),6P Xi 1,2,3,4,5,6i (2)(2)(1)(2)FP XP XP X 111663 （1）从而可得从而可

5、得(4)(4)FP X (1)(2)(3)(4)P XP XP XP X (24)(4)(2)PXFF 211333 （2）1111266663 ()lim( )0,xFF xC ()lim( )1,xFF xA 0lim( )(0)xF xF CAB 1B 210( )00 xexF xx 从而可得从而可得解得解得（2）所以所以( 21)(1)( 2)PXFF 22101ee课堂练习：习题课堂练习：习题2-1：2判断下列函数是否可以作为随机变量的分布函数：判断下列函数是否可以作为随机变量的分布函数：（）（）（）（）（）（）010.211( )0.5120.92313xxF xxxx 2.2

6、离散型随机变量离散型随机变量 对于离散型随机变量来说，其概率分布需要给出它对于离散型随机变量来说，其概率分布需要给出它所有的可能取值以及取到每个值的相应概率。所有的可能取值以及取到每个值的相应概率。1. 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布()(),iiip xP Xxp1,2, ,in ()()iip xP Xxnp2p1pnx2x1xX 非负性：非负性： 0()1,ip x1,2, ,in 归一性：归一性： 1()1iip x x0( )p x0.10.2nx2x1x33(3)0.60.40.28P X 222233(4)0.60.4 0.60.40.6 0.40.3744P

7、XCC 例例1：甲、乙两个乒乓球队，在每一局比赛中甲队获胜：甲、乙两个乒乓球队，在每一局比赛中甲队获胜的概率是，乙队获胜的概率是。求这两个队在一场五局三的概率是，乙队获胜的概率是。求这两个队在一场五局三胜制比赛中所进行的总局数的概率分布。胜制比赛中所进行的总局数的概率分布。比赛进行比赛进行4局有两种情况，一种情况是前局有两种情况，一种情况是前3局中甲队胜局中甲队胜2局，局，第第4局甲队获胜，另一种情况是前局甲队获胜，另一种情况是前3局中乙队胜局中乙队胜2局，第局，第4局局乙队获胜，所以得乙队获胜，所以得而比赛进行而比赛进行5局也有两种情况，一种情况是前局也有两种情况，一种情况是前4局中甲队局中

8、甲队胜胜2局，第局，第5局甲队获胜，另一种情况是前局甲队获胜，另一种情况是前4局中乙队胜局中乙队胜2局，第局，第5局乙队获胜，所以得局乙队获胜，所以得22222244(5)0.60.40.60.40.60.4P XCC 0.3456 1( )()0.8 0.2,xp xP Xx 1,2, ,xn 而而(24)(2)(3)PXP XP X 20.80.20.80.2 (2)(3)pp 0.160.0320.192 A13A ( )()(1)0.1;F xP XxP X ( )()( )0;F xP XxP 0.10.30.20.6 ( )()F xP Xx ( )()(1)(0)(1)F xP

9、XxP XP XP X ( )()(1)(0)F xP XxP XP X 0.10.30.4 (1)(0)(1)(2)P XP XP XP X 0.10.30.20.41 (02)(2)(0)10.40.6PXFF 010.110( )0.4010.61212xxF xxxx （2）1(1)0.60.4(1)lim( )xP XFF x 1111( )()()()ikkxikkkxxxxkF xP XxP Xxp xp 11( )()()()ikkxikkkxxxxkF xP XxP Xxp xp ()ip xip1ip 1p1ix ix1xX1ix 1ip ()()iiiP Xxp xp （

10、1）2.2.几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布（两点分布、伯努利分布）（两点分布、伯努利分布） 01X()ip xpq01,p 1pq 1( )()0pxp xP Xxqx 1xxp q (0,1)x 记为记为 （2）几何分布）几何分布1( )(),xp xP Xxpq 1,2, ,xn 111( )11xxxpp xpqq 由几何级数可以验证由几何级数可以验证()p xp ；（3）超几何分布）超几何分布( )(),xn xMNMnNC Cp xP XxC 0,1,xn 利用组合数公式可以验证利用组合数公式可以验证00011( )1xn xnnnxn xnMNMMNMNnnniiiNNN

11、C Cp xC CCCCC ( , ,)p x n M N （用于不放回产品检验）（用于不放回产品检验） （4）二项分布）二项分布( )(),xxn xnp xP XxC p q 0,1,xn 利用二项式展开定理可以验证利用二项式展开定理可以验证00( )()1nnxxn xnnxxp xC p qpq ( , ,)p x n p （用于有放回产品检验）（用于有放回产品检验） 1(),xxP Xxp q 0,1x 超几何分布常见于对产品进行不放回产品检验，而二超几何分布常见于对产品进行不放回产品检验，而二项分布常见于对产品进行有放回产品检验。显然不放回抽项分布常见于对产品进行有放回产品检验。显

12、然不放回抽检和有放回抽检不同。但是当产品总数相当大，而需要抽检和有放回抽检不同。但是当产品总数相当大，而需要抽检的产品个数相对较小，此时即便抽检的产品不放回，对检的产品个数相对较小，此时即便抽检的产品不放回，对产品的总体状况产生的影响是微乎其微的。也就是说此时产品的总体状况产生的影响是微乎其微的。也就是说此时可以把不放回抽检近似地看作是有放回抽检。在理论上，可以把不放回抽检近似地看作是有放回抽检。在理论上，超几何分布与二项分布之间也确实存在着近似关系。超几何分布与二项分布之间也确实存在着近似关系。limxn xxxn xMNMnMNNC CC p qC 2050950201000( )(),x

13、xC Cp xP XxC 02050950201000(0)0.3549C CP XC 例例4：工厂生产的：工厂生产的1000个产品中含有个产品中含有50个次品，从中一个次品，从中一次性抽取次性抽取20个出来进行检查，求抽到的个出来进行检查，求抽到的20个产品中不含有个产品中不含有次品的概率。次品的概率。0,1,20 x 所以抽到的所以抽到的20个产品中不含有次品的概率为个产品中不含有次品的概率为 02000205095020201000(0)0.05 0.95C CP XCC 200.950.3585 由于满足由于满足（5）泊松分布）泊松分布( )(),!xp xP Xxex 0,1,2,x

14、 利用麦克劳林级数可以验证利用麦克劳林级数可以验证0000( )1!xxnnnxxxp xeeeeexx( , )p x （常见于稠密性问题中）（常见于稠密性问题中） 泊松分布常见于稠密性的问题中，如一个时间间隔泊松分布常见于稠密性的问题中，如一个时间间隔内某电话交换台收到的电话呼唤次数，一本书一页中印内某电话交换台收到的电话呼唤次数，一本书一页中印刷错误的个数，某地区在一天内邮递遗失的信件数，某刷错误的个数，某地区在一天内邮递遗失的信件数，某医院在一天内的急诊病人数，某地区一段时间内发生交医院在一天内的急诊病人数，某地区一段时间内发生交通事故的次数，一段时间内进入某商场的人数，放射性通事故的

15、次数，一段时间内进入某商场的人数，放射性物质在一段时间内放射粒子数等。泊松分布是常用来描物质在一段时间内放射粒子数等。泊松分布是常用来描述大量随机试验中述大量随机试验中稀有事件出现次数稀有事件出现次数的概率模型。的概率模型。33( )(),!xp xP Xxex 0,1,2,x 013333(1)(0)(1)0!1!P XP XP Xee 而而(1)0.04980.14940.1992P X 查附表查附表1可得可得lim(1)!xxxn xnnC ppex 如果对产品检验进行有放回抽检，当次品率较低且抽检如果对产品检验进行有放回抽检，当次品率较低且抽检次数较多时，抽检到次品就属于稀有事件，此时

16、有放回抽次数较多时，抽检到次品就属于稀有事件，此时有放回抽检可以看作大量试验中稀有事件出现次数的概率模型，即检可以看作大量试验中稀有事件出现次数的概率模型，即二项分布可以近似为泊松分布。二项分布可以近似为泊松分布。20020020020011(1)()0.005 0.995xxxxxP XP XxC 0,1,200 x 200200( )()0.005 0.995xxxp xP XxC ， 例例6：计算机内装有：计算机内装有200个同样的电子元件，每一电子元个同样的电子元件，每一电子元件损坏的概率为件损坏的概率为0.005，如果任一电子元件损坏，计算机马，如果任一电子元件损坏，计算机马上停止工

17、作，求计算机停止工作的概率。上停止工作，求计算机停止工作的概率。只要损坏的电子元件个数多于只要损坏的电子元件个数多于1个，计算机都会停止工作。个，计算机都会停止工作。所以计算机停止工作的概率为所以计算机停止工作的概率为 011(1)1(0)110.36790.63210!P XP Xe 20010.9950.6330 002002001(1)1(0)10.005 0.995P XP XC 从例从例4和例和例6可以看到，在满足一定要求的条件下，可以看到，在满足一定要求的条件下，用近似分布来计算原来分布中的概率问题，可以使计算用近似分布来计算原来分布中的概率问题，可以使计算得到较大的简化。得到较大

18、的简化。课堂练习：习题课堂练习：习题2-2：010.110( )0.5010.71212xxF xxxx 2.3 连续型随机变量连续型随机变量( )( )xF xf t dt （1）定义）定义1. 连续型随机变量连续型随机变量( )()( )( )xxxF xF xxF xf t dt ()( )P XxF x从而可得从而可得00lim( )lim( )0 xxxxxF xf t dt 故故连续型随机变量的分布函数是实数集上的连续函数。连续型随机变量的分布函数是实数集上的连续函数。 211221()()()( )xxP xXxF xF xf x dx （2）概率密度的性质）概率密度的性质 非负

19、性：非负性： ( )0;f x 归一性：归一性： ( )1f x dx 注：注：满足上述两个性质的可积函数必是某连续型随机满足上述两个性质的可积函数必是某连续型随机变量的概率密度函数。变量的概率密度函数。12()P xXx 0000()lim( )0 xxxxP Xxf t dt 00000()()( )xxxP XxP xxXxf t dt 121212()()()P xXxP xXxP xXx211221()()()( )xxP xXxF xF xf x dx 022020(42)01dxkxxdxdx 从而从而222230028(42)2133kxx dxkxxk 3;8k 2(42)0

20、2( )0kxxxf x 其其它它解得解得23302( )240 xxxf x 其其它它所以所以101222033( 21)( )0()24PXf x dxdxxxdx 1230311442xx ( )00;xF xdt 022303331( )( )0();2444xxF xf t dtdtttdtxx230031( )024412xF xxxxx 0220233( )( )0()01;24xxF xf t dtdtttdtdt （3）概率密度定义）概率密度定义200()( )()limlimxxF xxF xP xXxxxx 0()( )( )limxF xxF xf xx ( )( )f

21、 xFx （4）概率微分）概率微分()( )( )xxxP xXxxf t dtf xx 200( )02412xxF xxx ( )( )f xFx 1011101( )024xf x dxdxxdx 02( )20 xxf x 其其它它11( 11)(1)( 1)044PXFF ( )()( 21)G yP YyPXy 11()1()22yyP XP X 解：解：11()2yP X 11()2yF 10( ),xxedx (1)( )00(1)xxx edxx de 0 xxx eedx 10( )xxedx (1)1 00(1)0( 1)1xxedxe 1( )2 2222()xyxye

22、dxedyedxdy 2222000rrderdredr 2xedx 202xedx 20222tedt 211212001( )22xtxtxedxt etdt ( )(1)!,nn nZ 。( )1f x dx 0122001kxdxAxedx解：解：12201kxAxedx 22( )12kkA 212()2kAk 122210( )2( )200kxkxexkf xx 112222200222( )2kxkkktxtkxedxte dt 而而（1）均匀分布）均匀分布1( )0axbf xbaxaxb 或或0( )1xaxaF xaxbbaxb 其分布函数为其分布函数为2. 几种常见的连

23、续型分布几种常见的连续型分布其概率密度函数与分布函数的图像分别为：其概率密度函数与分布函数的图像分别为：1()( )IIIP XIf x dxdxbaba 均匀分布的典型特征就在于随机变量在某取值区均匀分布的典型特征就在于随机变量在某取值区间上取得每个点的机会是均等的。间上取得每个点的机会是均等的。 例例4：公共汽车站每隔：公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客候车时间不超到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客候车时间不超过过3分钟的概率。分钟的概率。0.1010( )0 xf x 其其它它30(3)0.10.3P Xdx 则候

24、车时间不超过则候车时间不超过3分钟的概率为分钟的概率为()()P Xtt Xttt ( )()0;F tP Xt （2）指数分布）指数分布 00()( )()limlim1( )ttF ttF ttF xtt ()( )()1( )F ttF ttF xtt ()()()P tXttttP Xt ()( )()1( )F ttF tttF t ( )1( )dF tF tdt ( )1t CF te 1( )t CF te ( )1( )dF tdtF t ln 1( )F ttC (0)0F 01Ce 0C ( )1tF te 10( )00tetF tt 其概率密度为其概率密度为0( )0

25、0tetf xt 0( )00 xexf xx 10( )00 xexF xx 其分布函数为其分布函数为其概率密度函数与分布函数的图像分别为：其概率密度函数与分布函数的图像分别为： 00( )1ttf t dtedte 可以验证可以验证 指数分布常见于描述产品寿命，动物寿命，电话通话指数分布常见于描述产品寿命，动物寿命，电话通话时间以及服务等待时间等。由于指数分布具有无记忆性，时间以及服务等待时间等。由于指数分布具有无记忆性，因而指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用。因而指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用。()1()1( )s tsF steF se ()1()()()1()P Xs

26、tP XstP Xst XsP XsP Xs 指数分布的无记忆性：指数分布的无记忆性：1( )()teF tP Xt ()()P Xst XsP Xt 150010( )50000 xexf xx 15005001(500)500 xP Xedxe 所以这种电子元件能够使用所以这种电子元件能够使用500小时以上的概率为小时以上的概率为22()21( ),2xf xe （3）正态分布）正态分布xR 22()21( ),2txF xedt 其分布函数的图像为其分布函数的图像为xR 可以验证可以验证22()21( )2xf t dtedx 222201222ttxtedtedt 2120212(2

27、)222utueudu 11( )2 11 11(1)220011uuueduuedu 221( ),2xxe 221( )( ),2txxxt dtedt 其分布函数记为其分布函数记为xR xR (0)0.5; ()1( )xx ()0, ()x ( )x ()1; 2221()2121()2xxxP xXxedx 2221221122xxttedtedt 221212xtxxtedt 2112()()()xxP xXx 所以所以1131( 31)()()22PX (0)( 2) 0.51(2)(2)0.5 ( 31)0.97720.50.4772PX 解：解：（2）311(3)(3)()(

28、)22P XPX （1）(1)() (3)0.841300.8413P X 141(4)(4)()()22P XPX ()(1.5) (4)10.93320.0668P X （3）4222(24)()()PX 22()(0)()0.50.2 解：由公式可得解：由公式可得022(0)()()P X 21()10.70.3 (33 )2 (3)10.997PX ()2 (1)10.683PX (22 )2 (2)10.954PX 正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般来说，若影正态分布是自然界最常见的一种分布。

29、一般来说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个数量指标服从正态分布。如人的生理用不太大，则这个数量指标服从正态分布。如人的生理特征的尺寸：身高、体重等；工厂产品的尺寸：直径、特征的尺寸：身高、体重等；工厂产品的尺寸：直径、长度、高度、宽度长度、高度、宽度等都近似地服从正态分布。另一等都近似地服从正态分布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，另外一些分布又可以通过正态分布来导态分布来近似，另外一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究

30、中正态分布十分重要。出，因此在理论研究中正态分布十分重要。课堂练习：习题课堂练习：习题2-3（1）121( ),1fxx （2） 2cos0( )20 xxfx 其其它它 1判断下列函数是否可以作为连续型随机变量的概率判断下列函数是否可以作为连续型随机变量的概率密度函数：密度函数：xR （）（）（1）( 13)PX （2） (5)P X (1)P X （3）（4）(3)P X 3111()()(1)(0)0.84130.50.341344 11()(0.5)0.69154 5151()()(1.5)( 1)44 (1.5)1(1)0.93320.841310.7745 31311(3)1()()44P X 10.53280.4672 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1. 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布()ip xnp2p1pnx2x1xX()Yg X 1()g x2()g x()ng x()();iiiP Yg xP Xxp ()()()()ijijijP Yg xg xP XxP Xxpp -10120.20.30.10.4X()ip x10142YX 0140.30.30.4Y()jp y2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布（1）分布函数法）