人教版高中数学32几类不同增长的函数模型 ppt课件

1、3.2 函数模型及其运用3.2.1 几类不同增长的函数模型三种函数模型的性质三种函数模型的性质y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的增减性上的增减性_图象的变化图象的变化随随x x增大逐渐增大逐渐与与_随随x x增大逐渐与增大逐渐与_随随n n值而值而不同不同增长速度增长速度y=ay=ax x(a1):(a1):随着随着x x的增大的增大,y,y增长速度增长速度_,_,会远远大于会远远大于y=xy=xn n(n0)(n0)的增长速度的增长速度,y=log,y=loga ax(a1)x(a1)

2、的增长速度的增长速度_存在一个存在一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时时, ,有有_增函数增函数增函数增函数增函数增函数y y轴平行轴平行x x轴平行轴平行越来越快越来越快越来越慢越来越慢axxnlogaxaxxnlogax判别：判别：( (正确的打正确的打“，错误的打，错误的打“) )(1)(1)函数函数y=x2y=x2比比y=2xy=2x增长的速度更快些增长的速度更快些.( ).( )(2)(2)当当a a1 1，n n0 0时，在区间时，在区间(0,+)(0,+)上，对恣意的上，对恣意的x x，总有，总有logaxlogaxxnxnaxax成立成立.( ).( )(3)(3)能用指

3、数型函数能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,cf(x)=abx+c(a,b,c为常数为常数,a,a0,b0,b1)1)表表达的函数模型达的函数模型, ,称为指数型函数模型，也常称为称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型函爆炸型函数数.( ).( )提示：提示：(1)(1)错误错误. .由图象可知由图象可知.y=2x.y=2x的增长速度远远快于的增长速度远远快于y=x2y=x2的的增长速度增长速度. .(2)(2)错误错误. .不是对于恣意的不是对于恣意的x x成立，但总存在成立，但总存在x0 x0，使得当，使得当a a1 1，n n0 0，x xx0 x0时，时，logaxlogaxxn

4、xnaxax成立成立. .(3)(3)正确正确. .指数型函数模型是能用指数型函数指数型函数模型是能用指数型函数f(x)=abx+c f(x)=abx+c (a,b,c(a,b,c为常数为常数,a,a0,b0,b1)1)表达的函数模型，其增长特点是随表达的函数模型，其增长特点是随着自变量着自变量x x的增大的增大, ,函数值增大的速度越来越快函数值增大的速度越来越快, ,常称之为常称之为“指指数爆炸数爆炸. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3)【知识点拨】【知识点拨】1.1.三类函数模型的增长差别三类函数模型的增长差别(1)(1)对于幂函数对于幂函数y=xn,y=xn,当

5、当x x0 0，n n0 0时，时，y=xny=xn才是增函数，当才是增函数，当n n越大时越大时, ,增长速度越快增长速度越快. .(2)(2)指数函数与对数函数的递增前提是指数函数与对数函数的递增前提是a a1 1，又它们的图象关，又它们的图象关于于y=xy=x对称，从而可知，当对称，从而可知，当a a越大时，越大时，y=axy=ax增长越快；当增长越快；当a a越小越小时，时，y=logax(ay=logax(a1)1)增长越快，普通来说，增长越快，普通来说，axaxlogax(xlogax(x0,0,a a1).1).(3)(3)指数函数与幂函数，当指数函数与幂函数，当x x0,n0,

6、n0,a0,a1 1时，可以开场时有时，可以开场时有xnxnaxax，但因指数函数是，但因指数函数是“爆炸型函数爆炸型函数, ,当当x x大于某一个确定大于某一个确定值值x0 x0后后, ,就一定有就一定有axaxxn.xn.2.2.由增长速度确定函数模型的技巧由增长速度确定函数模型的技巧(1)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型增长速度不变的函数模型是一次函数模型. .(2)(2)增长速度最快即呈现增长速度最快即呈现“爆炸式增长的函数模型应该是指爆炸式增长的函数模型应该是指数型函数模型数型函数模型. .(3)(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型增长速度较慢的函数模型是对数型函数

7、模型. .(4)(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型增长速度平稳的函数模型是幂函数模型. .类型类型 一一 函数模型的增长差别函数模型的增长差别【典型例题】【典型例题】1.1.以下函数中，随以下函数中，随x x的增大，增长速度最快的是的增大，增长速度最快的是( )( )A.yA.y50 x B.y50 x B.yx50 x50C.yC.y50 x D.y50 x D.ylog50 x(xNlog50 x(xN* *) )2.2.研讨函数研讨函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在在0,+)0,+)上的增上的增长情况长情况

8、. .【解题探求】【解题探求】1.1.处置函数模型增长速度差别问题的关键是什处置函数模型增长速度差别问题的关键是什么？么？2.2.对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差别？对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差别？探求提示：探求提示：1.1.是确定变量间的关系是确定变量间的关系, , 不能仅仅根据自变量较大时对应的不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值比较函数值比较, ,还要看函数的变化趋势还要看函数的变化趋势. .2.2.对数函数模型变化规律是先快后慢对数函数模型变化规律是先快后慢, ,增长速度比较平缓增长速度比较平缓, ,指指数函数模型变化规律是先慢后快数函数模型变化规律是先慢后快,

9、 ,增长速度急剧上升增长速度急剧上升. .【解析】【解析】1.1.选选C.C.由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当x x越越来越大时，函数来越大时，函数y=50 xy=50 x增长速度最快应选增长速度最快应选C.C.2.2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象( (如图如图),),从图象从图象上可以看出函数上可以看出函数y=0.5ex-2y=0.5ex-2的图象首先超越了函数的图象首先超越了函数y=ln(x+1)y=ln(x+1)的图象的图象, ,然后又超越了然后又超越了y=x2-1y=x2-1的图象的图象, ,即存在

10、一个即存在一个x0 x0满足满足 当当x xx0 x0时时, ,ln(x+1)x2-10.5ex-2.ln(x+1)x2-1f(13)f(12)f(13)，xx1313时，时，f(x)f(x)取最小值，取最小值，用用1313名工人制造课桌，名工人制造课桌，1717名工人制造椅子名工人制造椅子完成义务最快完成义务最快【拓展提升】解函数运用题的四个步骤【拓展提升】解函数运用题的四个步骤第一步第一步: :阅读、了解题意阅读、了解题意, ,仔细审题仔细审题. .读懂题中的文字表达读懂题中的文字表达, ,了解表达所反映的实际背景了解表达所反映的实际背景, ,领悟从背领悟从背景中概括出来的数学本质景中概括

11、出来的数学本质. .审题时要抓住标题中的关键量审题时要抓住标题中的关键量, ,擅擅长联想、化归长联想、化归, ,实现运用问题向数学问题的转化实现运用问题向数学问题的转化. .第二步第二步: :引进数学符号引进数学符号, ,建立数学模型建立数学模型. .普通地，设自变量为普通地，设自变量为x,x,函数为函数为y,y,并用并用x x表示各相关量表示各相关量, ,然后根然后根据知条件据知条件, ,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式建立函数关系式, ,将实际问题转化为一个数学问题将实际问题转化为一个数学问题, ,实现问题实现问题的数学

12、化的数学化, ,即所谓建立数学模型即所谓建立数学模型. .第三步第三步: :利用数学方法解答得到的常规数学问题利用数学方法解答得到的常规数学问题( (即数学模型即数学模型),),求得结果求得结果. .第四步第四步: :再转译成详细问题作出解答再转译成详细问题作出解答. .【变式训练】某债券市场发行三种债券，【变式训练】某债券市场发行三种债券，A A种面值为种面值为100100元，元，一年到期本息和为一年到期本息和为103103元；元；B B种面值为种面值为5050元，半年到期本息和元，半年到期本息和为为51.451.4元；元；C C种面值为种面值为100100元，但买入价为元，但买入价为979

13、7元，一年到期本元，一年到期本息和为息和为100100元作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到元作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大陈列为大陈列为( )( )A.B,A,C B.A,C,BA.B,A,C B.A,C,BC.A,B,C D.C,A,BC.A,B,C D.C,A,B【解析】选【解析】选B.AB.A种债券的收益是每种债券的收益是每100100元收益元收益3 3元；元；B B种债券的利种债券的利率为率为 所以所以100100元一年到期的本息和为元一年到期的本息和为 收益为收益为5.685.68元；元；C C种债券的利率种债券的利率为为 100100元一年到期的本息和为元一年到期

14、的本息和为收益为收益为3.093.09元元 51.4 5050，251.4 50100 (1)105.6850元 ，100 9797，100 97100(1)103.0997元 ，【易错误区】比较大小时错用图象致误【易错误区】比较大小时错用图象致误【典例】【典例】(2019(2019南充高一检测南充高一检测) )知函数知函数f(x)=2xf(x)=2x和和g(x)=x3,g(x)=x3,在在同一坐标系下作出它们的图象同一坐标系下作出它们的图象, ,结合图象比较结合图象比较f(8),g(8),f(2019)f(8),g(8),f(2019)，g(2019)g(2019)的大小为的大小为_._.【

15、解析】列表为：【解析】列表为：描点、连线，得如以下图图象：描点、连线，得如以下图图象：那么函数那么函数f(x)=2xf(x)=2x对应的图象为对应的图象为C2,C2,函数函数g(x)=x3g(x)=x3对应的图象为对应的图象为C1C1, ,x x.-1-10 01 12 23 3.f(x)f(x).1 12 24 48 8.g(x)g(x).-1-10 01 18 82727.12g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,f

16、(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,f(1)f(1)g(1),f(2)g(1),f(2)g(2),f(9)g(2),f(9)g(9),f(10)g(9),f(10)g(10)g(10)，11x1x12,92,9x2x210,x110,x18 8x2x22019.2019.从图象上知，当从图象上知，当x1x1x xx2x2时，时，f(x)f(x)g(x),g(x),当当x xx2x2时，时，f(x)f(x)g(x),g(x),且且g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,f(2 013)f(2 013)g(2 013)g(2 013)g(8)g

17、(8)f(8).f(8).答案：答案： f(2 013) f(2 013)g(2 013)g(2 013)g(8)g(8)f(8)f(8)【类题试解】知【类题试解】知1616x x2020，利用图象可判别出，利用图象可判别出 和和log2xlog2x的大小关系为的大小关系为_._.12x【解析】作出【解析】作出f(x)= f(x)= 和和g(x)=log2xg(x)=log2x的图象的图象, ,如以下图如以下图: :由图象可知由图象可知: :在在(0,4)(0,4)内内, , log2x; x=4log2x; x=4或或x=16x=16时时, =log2x;, =log2x;在在(4,16)(

18、4,16)内内 log2x;log2x;在在(16,20)(16,20)内内 log2x.log2x.答案：答案： log2xlog2x12x12x12x12x12x12x【误区警示】【误区警示】【防备措施】【防备措施】1.1.函数图象的掌握函数图象的掌握对于一些根本的初等函数的图象，要掌握好图象的最根本的对于一些根本的初等函数的图象，要掌握好图象的最根本的特征，可以分辨出各函数对应的图象的差别特征，可以分辨出各函数对应的图象的差别. .如本例中主要是如本例中主要是指数函数和幂函数图象的区别，只需把握好指数函数的图象指数函数和幂函数图象的区别，只需把握好指数函数的图象呈指数爆炸增长，增长速度快

19、，就好区别呈指数爆炸增长，增长速度快，就好区别. .2.2.函数值的大小比较函数值的大小比较在比较函数值的大小时，结合函数图象的特征，利用数形结在比较函数值的大小时，结合函数图象的特征，利用数形结合的思想来判别合的思想来判别. .如本例中判别出如本例中判别出1 1x1x12,92,9x2x21010，从而，从而得出得出x1x18 8x2x22 0132 013，这样结合函数的单调性从而判别出，这样结合函数的单调性从而判别出f(8),g(8),f(2 013)f(8),g(8),f(2 013)，g(2 013)g(2 013)的大小的大小. .1.1.对于函数对于函数f(x)=x2f(x)=x

20、2，g(x)=2xg(x)=2x，h(x)=log2xh(x)=log2x，当，当x(4,+)x(4,+)时，时，三个函数的增长速度的比较，以下选项中正确的选项是三个函数的增长速度的比较，以下选项中正确的选项是( )( )A.f(x)A.f(x)g(x)g(x)h(x) B.g(x)h(x) B.g(x)f(x)f(x)h(x)h(x)C.g(x)C.g(x)h(x)h(x)f(x) D.f(x)f(x) D.f(x)h(x)h(x)g(x)g(x)【解析】选【解析】选B.B.对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较：对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较：直线上升、指数爆炸、对数增长直

21、线上升、指数爆炸、对数增长, ,故当故当x(4,+)x(4,+)时时, ,h(x)h(x)f(x)f(x)g(x).g(x).2.2.某厂原来月产量为某厂原来月产量为a a，1 1月份增产月份增产10%10%，2 2月份比月份比1 1月份减产月份减产10%10%，设，设2 2月份产量为月份产量为b b，那么，那么( )( )A.a=b B.aA.a=b B.ab bC.aC.ab D.b D.无法比较无法比较a,ba,b的大小的大小【解析】选【解析】选B.b=a(1+10%)(1-10%)B.b=a(1+10%)(1-10%)，b=a(1- ),ab=a(1- ),ab.b.应选应选B.B.1

22、1003.3.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描画价钱变化情况，在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描画价钱变化情况，一种是即时价钱曲线一种是即时价钱曲线y=f(x)y=f(x)，另一种是平均价钱曲线，另一种是平均价钱曲线y=g(x)y=g(x)，如如f(2)=3f(2)=3表示股票开场买卖后表示股票开场买卖后2 2小时的即时价钱为小时的即时价钱为3 3元；元；g(2)=3g(2)=3表示表示2 2小时内的平均价钱为小时内的平均价钱为3 3元，下面给出了四个图象，实线表元，下面给出了四个图象，实线表示示y=f(x)y=f(x)，虚线表示，虚线表示y=g(x)y=g(x)，其中最有可以正确的选项

23、是，其中最有可以正确的选项是( )( )【解析】选【解析】选C.C.即时价钱假设不断下跌，那么平均价钱也应该即时价钱假设不断下跌，那么平均价钱也应该不断下跌，故排除不断下跌，故排除A,DA,D；即时价钱假设不断上升，那么平均价；即时价钱假设不断上升，那么平均价钱也应不断上升，排除钱也应不断上升，排除B.(B.(也可以由也可以由x x从从0 0开场增大时，开场增大时，f(x)f(x)与与g(x)g(x)应在应在y y轴上有一样起点，排除轴上有一样起点，排除A,D)A,D)，应选，应选C.C.4.4.某种病毒经某种病毒经3030分钟繁衍为原来的分钟繁衍为原来的2 2倍，且知病毒的繁衍规律倍，且知病毒的繁衍规律为为y=ekt(y=ekt(其中其中k k为常数，为常数，t t表示时间，单位：小时，表示时间，单位：小时，y y表示病毒个表示病毒个数数) )，那么，那么k k_，经过，经过5 5小时