第2章 数控机床轨迹控制原理

1、第第2章章 数控机床轨迹控制原理数控机床轨迹控制原理2-1 概概 述述 一、插补的基本概念一、插补的基本概念 插补插补数控系统根据输入的基本数据运用数控系统根据输入的基本数据运用一定的算法，自动在有限坐标点之一定的算法，自动在有限坐标点之间形成一系列的坐标数据，从而自间形成一系列的坐标数据，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹分析，以满足加成整个线段的轨迹分析，以满足加工精度的要求。工精度的要求。插补的实质：插补的实质：就是根据有限的信息完成就是根据有限的信息完成“数据密化数据密化”的工作。的工作。二、插补方法的分类二、插补方法的分类插补器插补器数

2、控系统中完成插补运算工作的装置。数控系统中完成插补运算工作的装置。数控系统对插补器的基本要求：数控系统对插补器的基本要求：（1 1）插补所需的原始数据较少；）插补所需的原始数据较少；（2 2）有较高的插补精度；）有较高的插补精度；（3 3）沿插补路线，进给速度恒定且符合加工）沿插补路线，进给速度恒定且符合加工要求；要求；（4 4）线路简单可靠。）线路简单可靠。 根据不同的插补结构，插补类型可分根据不同的插补结构，插补类型可分为三种：为三种：（1 1）硬件插补）硬件插补（2 2）软件插补）软件插补（3 3）软、硬件结合插补）软、硬件结合插补 （1 1）硬件插补）硬件插补由逻辑电路组成，运算速度快

3、，但灵活性由逻辑电路组成，运算速度快，但灵活性差，结构复杂，成本较高。差，结构复杂，成本较高。（2 2）软件插补）软件插补由微处理器组成，通过程序完成各种插补由微处理器组成，通过程序完成各种插补功能，结构简单，灵活易变，但速度较慢。功能，结构简单，灵活易变，但速度较慢。（3 3）软、硬件结合插补）软、硬件结合插补由软件完成粗插补，硬件完成精插补。此由软件完成粗插补，硬件完成精插补。此法对运算速度要求不高，并可节省存储空法对运算速度要求不高，并可节省存储空间，且响应速度和分辨率都比较高。间，且响应速度和分辨率都比较高。 注意：注意：无论是软件数控还是硬件数控，其插补的无论是软件数控还是硬件数控，

4、其插补的运算原理基本相同。运算原理基本相同。根据数控系统输出到伺服驱动装置的信号根据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补脉冲增量插补和和数据采样插补数据采样插补两种类型。两种类型。 脉冲当量：脉冲当量：一个脉冲所产生的进给轴移动一个脉冲所产生的进给轴移动量，用表示。量，用表示。1.1.脉冲增量插补脉冲增量插补 主要是为各坐标轴进行脉冲分配计算。主要是为各坐标轴进行脉冲分配计算。特点：特点：每次插补结束仅产生一个行程增量。每次插补结束仅产生一个行程增量。如数字脉冲乘法器法、逐点比较法、数字如数字脉冲乘法器法、逐点比较法、数字积分法等。积分法

5、等。2.2.数据采样插补数据采样插补特点：特点：产生的不是单个脉冲，而是数字量。产生的不是单个脉冲，而是数字量。分两步完成：分两步完成： 第一步为粗插补，第二步为精插补。第一步为粗插补，第二步为精插补。粗插补：通常用软件实现。粗插补：通常用软件实现。精插补：可用软件，也可用硬件来实现。精插补：可用软件，也可用硬件来实现。比如直线函数法、扩展数字积分法等。比如直线函数法、扩展数字积分法等。 三、数字脉冲乘法器三、数字脉冲乘法器预备知识预备知识：主从触发器主从触发器主从触发器的真值表主从触发器的真值表说明说明 00000101输出状态不变输出状态不变 00110100输出状态与端状态相同输出状态与

6、端状态相同 11000111输出状态与端状态相同输出状态与端状态相同 11110110每输入一个脉冲，输出状每输入一个脉冲，输出状态即改变一次态即改变一次 JKnQ1nQJJ在在 时触发器的输出波形时触发器的输出波形1 KJ1.1.数字脉冲乘法器的工作原理数字脉冲乘法器的工作原理脉冲分频器：实质上是一个二进制计数器。脉冲分频器：实质上是一个二进制计数器。各级分频器的端输出波形图各级分频器的端输出波形图P由以上分析可得：由以上分析可得：在一次计数循环中（两个溢出脉冲之间的间隔）在一次计数循环中（两个溢出脉冲之间的间隔）发出发出8 8个脉冲发出个脉冲发出4 4个脉冲个脉冲发出发出2 2个脉冲发出个

7、脉冲发出1 1个脉冲个脉冲这些脉冲在时间上是互不重迭的，实质上就是这些脉冲在时间上是互不重迭的，实质上就是把一次循环的把一次循环的1616个脉冲按个脉冲按8 8、4 4、2 2、1 1的分配方的分配方式分别从式分别从 四位输出，相邻两级的脉冲四位输出，相邻两级的脉冲输出数目相差一倍。输出数目相差一倍。4P2P3P1P14 PP注意：注意：所有端的输出脉冲，在时间上是互所有端的输出脉冲，在时间上是互不重迭的。不重迭的。假定分频器共有位，则在两个相邻溢出脉冲假定分频器共有位，则在两个相邻溢出脉冲出现的程序间隔时间内，所有端发出的脉冲出现的程序间隔时间内，所有端发出的脉冲分别为：分别为：即：即：nP

8、,2,2, 8, 4, 2, 11214321nnnnPPPPPPniinnnnPPPPP11012112122222P数字脉冲乘法器由一系列数字脉冲乘法器由一系列“乘法门乘法门”和一个分频器所组成。和一个分频器所组成。其作用就是将输入的数其作用就是将输入的数值转换为对应的脉冲数目而输出。值转换为对应的脉冲数目而输出。nnGGGG,121在一次循环中，各乘法门的输出和输入之间有在一次循环中，各乘法门的输出和输入之间有如下的逻辑关系：如下的逻辑关系：111211111111PaCPQQQQaGPaCPQQaGPaCPQaGnnnnnnnnnnnnn其中：其中：1212aaaaaAinn所以，所以

9、，“或或”门输出的脉冲总数应为：门输出的脉冲总数应为：SAaaaaaGSiinnnn1021112122222结论：结论：脉冲乘法器在一个程序间隔时间内，输出脉冲乘法器在一个程序间隔时间内，输出的脉冲总数等于控制端的二进制数。的脉冲总数等于控制端的二进制数。若溢出个脉冲（即在个程序间隔时若溢出个脉冲（即在个程序间隔时间内），则输出的脉冲总数为：间内），则输出的脉冲总数为：SA1TmmSmAS 数字脉冲乘法器的直线插补装置数字脉冲乘法器的直线插补装置两坐标平面的数字脉冲乘法器的直线插补装置两坐标平面的数字脉冲乘法器的直线插补装置在一个程序时间间隔内，两套门电路输出脉冲在一个程序时间间隔内，两套门

10、电路输出脉冲序列的总数分别为：序列的总数分别为：两个方向的脉冲数比为：两个方向的脉冲数比为：两个方向的速度比为：两个方向的速度比为：exxSeyySKxySSeexyKxytStSVVeexyxy（常数）（常数）（常数）（常数）结论：结论：利用两个序列脉冲和去控制各自的伺服系利用两个序列脉冲和去控制各自的伺服系统，使机床工作台运动，就可以描绘出平面上统，使机床工作台运动，就可以描绘出平面上坐标增量为、，斜率为的直线。坐标增量为、，斜率为的直线。在实际应用中，分频器的位数是按最大加工在实际应用中，分频器的位数是按最大加工距离设计的。而且，分频器的溢出脉冲就是距离设计的。而且，分频器的溢出脉冲就是

11、终点控制信号。终点控制信号。xSySexeyeexyK【例】欲用脉冲乘法器（四位分频器）加工【例】欲用脉冲乘法器（四位分频器）加工直线，起点在原点，终点的坐标直线，起点在原点，终点的坐标为，即为，即试画出脉冲分配图和插补轨迹。（注：坐标数试画出脉冲分配图和插补轨迹。（注：坐标数值均指脉冲的个数）值均指脉冲的个数）解脉冲分配图如下所示。其中解脉冲分配图如下所示。其中表示所有乘法门均开启时的输出脉冲。表示所有乘法门均开启时的输出脉冲。10101234aaaaxe2424, 1GGaa10 xS01101234bbbbye2323, 1GGbb6ySOE0,0O6,10,eeeeyxyxE 0110

12、,101022eeyx1144GGGG开启开启开启开启直线插补轨迹如图所示。直线插补轨迹如图所示。由图可知：由图可知： 插补轨迹并非插补轨迹并非为理想直线，为理想直线，而是由许多小而是由许多小折线逼近的结折线逼近的结果，适当选择果，适当选择脉冲当量，可脉冲当量，可以使误差限制以使误差限制在容许的范围在容许的范围内。内。带有均匀器和倍乘器的数字脉冲乘法器电路图带有均匀器和倍乘器的数字脉冲乘法器电路图xSySxJyJT T T T T T CPxS4yS4与门组与门组均匀器溢出脉冲倍乘器分频器2-2 逐点比较法逐点比较法 逐点比较法逐点比较法又称又称代数运算法或醉代数运算法或醉步法，可实现直步法，

13、可实现直线插补、圆弧插线插补、圆弧插补，也可用于其补，也可用于其他非圆二次曲线他非圆二次曲线的插补。的插补。插补过程示意图插补过程示意图基本原理：基本原理：在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的方向进给。向减小误差的方向进给。特点：特点：（）运算直观，最大插补误差不大于（）运算直观，最大插补误差不大于一个脉冲当量。一个脉冲当量。（）脉冲输出均匀，调节方便。（）脉冲输出

14、均匀，调节方便。（）广泛应用在两坐标联动的数控机（）广泛应用在两坐标联动的数控机床中。床中。逐点比较法每进给逐点比较法每进给一步都要经过四个一步都要经过四个工作步骤（节拍）：工作步骤（节拍）： （）偏差判别（）偏差判别（）坐标进给（）坐标进给（）偏差计算（）偏差计算（）终点判别（）终点判别一、逐点比较法一、逐点比较法直线插补直线插补1.1.逐点比较法直线插补原理逐点比较法直线插补原理设直线位于第一象限，它的起点为坐标原设直线位于第一象限，它的起点为坐标原点，终点的坐标为，点，终点的坐标为， 为加为加工点。工点。OEeeyxE,E取偏差判别函数为：取偏差判别函数为：eijejiyxyxF,),(

15、jiyxPu当，通常向方向发一脉冲。当，通常向方向发一脉冲。u当，向方向发一脉冲。当，向方向发一脉冲。u当，向方向发一脉冲。当，向方向发一脉冲。0ijF0ijF0ijFxxy进给方向的确定进给方向的确定为简化运算，通常采用的是迭代法，为简化运算，通常采用的是迭代法，或称或称“递推法递推法”。由由eijejiyxyxF,0,jiFejijiyFF, 10,jiFejijixFF,1,2.2.节拍控制和运算程序流程图节拍控制和运算程序流程图 每走一步要进每走一步要进行四个步骤行四个步骤：（）判别（）判别（）进给（）进给（）（）运算运算（）（）比较比较 3.3.直线插补举例直线插补举例 欲加工一直线

16、，起欲加工一直线，起点在原点，终点坐点在原点，终点坐标为，标为，终点判别值可取，终点判别值可取，初始偏差。初始偏差。3, 5eeyx8358eeyxn000F直线插补运算过程直线插补运算过程 xy3Y4Y5Y6Y7Y8Y9YQQFTMF0YQGT1t2t3t4txeJeXyeJ补eYFJ0ZQJCD0ZQQET0ZEJ停运信号运算控制终点减法计数器预减“”1Y2Y逐点比较法直线插补运算的逻辑框图时序脉冲发生器tM二、逐点比较法圆弧插补二、逐点比较法圆弧插补 1.1.逐点比较法圆弧插逐点比较法圆弧插补原理补原理 以第一象限逆时针以第一象限逆时针圆弧为例。圆弧为例。 000202202202202

17、202202yyxxyyxxyyxxjijiji（在圆弧上）（在圆弧上）（在圆弧外侧）（在圆弧外侧）（在圆弧内侧）（在圆弧内侧）故取加工偏差判别式为：故取加工偏差判别式为：202202yyxxFjiiju，则应向轴发出一负向进给脉冲。，则应向轴发出一负向进给脉冲。u，则应向轴发出一正向进给脉冲。，则应向轴发出一正向进给脉冲。0ijFx0ijFy进给方向的确定进给方向的确定由由得递推公式：得递推公式：0ijF121iijjixFF0ijF121jijjiyFF202202yyxxFjiij2.2.运算过程和程运算过程和程序流程图序流程图 运算过程同样运算过程同样分为分为判别、进判别、进给、运算、

18、比给、运算、比较四个步骤较四个步骤。在计算偏差的在计算偏差的同时，还要对同时，还要对加工点坐标进加工点坐标进行行1 1或或1 1运运算。算。 3.3.圆弧插补举例圆弧插补举例 欲加工第一象限逆时针圆弧，起点的坐欲加工第一象限逆时针圆弧，起点的坐标为，终点的坐标为标为，终点的坐标为终点判别值终点判别值A3, 400yx5, 0eeyx 6350400yyxxneeAEE插补后获得插补后获得的实际逼近的实际逼近曲线如图所曲线如图所示。示。xy3Y4Y5Y6Y7Y8Y9YQQFTMF0YQGT1t2t3t4txJ补oxyJoyFJQJCD 1 ZQQET0ZEJ时序脉冲发生器tM停运信号运算控制终点

19、减法计数器预减“”1Y2Y逐点比较法圆弧插补运算的逻辑框图BJCD 1 Z2T采用逻辑电路将进给脉冲分别发采用逻辑电路将进给脉冲分别发到，四个方向上去。到，四个方向上去。三、象限与坐标变换和终点判别问题三、象限与坐标变换和终点判别问题 1.1.象限处理象限处理XY各象限直线各象限直线第一象限直线第一象限直线各象限不同各象限不同走向的圆弧走向的圆弧第一象限逆第一象限逆时针圆弧时针圆弧分别表示顺时针圆弧。分别表示顺时针圆弧。分别表示逆时针圆弧。分别表示逆时针圆弧。分别表示直线。分别表示直线。则：则：4, 3, 2, 1SRSRSRSR4, 3, 2, 1NRNRNRNR4, 3, 2, 1LLLL

20、3, 4, 21NRSRSRNR 4, 2, 311NRNRSRSRNR4, 3, 21LLLL 象 限 图 形 脉 冲 01G x y X Y Y X X Y Y X 02G x y Y X X Y Y X X Y 03G x y X Y Y X X Y Y X 进 给 脉 冲 分 配 类 型xGyGyGyGxGxGYxGxGxGyGyGyGYxGxGyGyGyGxGXyGyGxGxGxGyGX010201030302030201020103020102010303010303020102对于其它平面的插补可采用坐标变换的方法对于其它平面的插补可采用坐标变换的方法实现。具体就是用实现。具体就

21、是用 代替代替 、 代替代替 ，就，就可以实现可以实现 平面内的直线和圆弧插补；用平面内的直线和圆弧插补；用代替代替 、 保持不变，就可以实现保持不变，就可以实现 平面平面内的直线和圆弧插补。内的直线和圆弧插补。 2.2.坐标变换坐标变换yxzyxzyzxzy3.3.逐点比较法的终点判别逐点比较法的终点判别（1 1）设置一个终点减法计数器）设置一个终点减法计数器插补前记入加工总步数，每走一步减插补前记入加工总步数，每走一步减1 1，存，存数为数为0 0表示到达终点。表示到达终点。（2 2）设置两个计数器和）设置两个计数器和分别控制两个坐标轴的加工长度，当两个分别控制两个坐标轴的加工长度，当两个

22、计数器的存数均为计数器的存数均为0 0时，表示到达终点。时，表示到达终点。（3 3）设置一个终点减法计数器）设置一个终点减法计数器插补前记入坐标值较大的加工总长度，当插补前记入坐标值较大的加工总长度，当沿此轴走一步时就减沿此轴走一步时就减1 1，存数为，存数为0 0表示到达表示到达终点。终点。EJEXJEYJEJ四、逐点比较法的合成进给速度四、逐点比较法的合成进给速度进给脉冲的频率决定进给速度（以轴为例）：进给脉冲的频率决定进给速度（以轴为例）：其中，其中，脉冲频率（脉冲秒）脉冲频率（脉冲秒）进给速度（毫米分）进给速度（毫米分）脉冲当量（毫米脉冲）脉冲当量（毫米脉冲）合成进给速度为：合成进给速

23、度为：合成进给速度与指令进给速度之间是有误差的。合成进给速度与指令进给速度之间是有误差的。xxfV60 xxVxf222zyxVVVV计算逐点比较法的合成进给速度计算逐点比较法的合成进给速度设为脉冲源频率设为脉冲源频率则则故故插补速度的变化范围为，且有插补速度的变化范围为，且有可满足机床对进给速度的要求。可满足机床对进给速度的要求。gfyxgfffyyxxfVfV6060222260yxyxffVVVggfV60yxyxfffVVgyxg2222gV707.01414.1minmaxVVv2-3 数字积分法数字积分法 数字积分法：又称数字微分分析法数字积分法：又称数字微分分析法DDADDA（D

24、igital Differential AnalyzerDigital Differential Analyzer），），是是利用数字积分的原理利用数字积分的原理，计算刀具沿坐，计算刀具沿坐标轴的位移，使刀具沿着所加工的轨迹标轴的位移，使刀具沿着所加工的轨迹运动。运动。 利用数字积分原理构成的插补装置叫做利用数字积分原理构成的插补装置叫做数字积分器数字积分器，又称数字微分分析器。，又称数字微分分析器。数字积分法的特点数字积分法的特点优点：优点：运算速度快、脉冲分配均匀、易运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动，在轮廓控制于实现多坐标联动，在轮廓控制数控系统中应用比较广泛。数控系统中应用比

25、较广泛。 缺点：缺点：速度调节不便，插补精度需要采速度调节不便，插补精度需要采用一定措施才能满足要求。用一定措施才能满足要求。数字积分器的工作原理数字积分器的工作原理函数求积分函数求积分的运算就是求此函数的运算就是求此函数曲线所包围的面积。曲线所包围的面积。101limniiinbattyydtF若把区间等分成许多若把区间等分成许多有限的小区间，则有限的小区间，则面积可近似为：面积可近似为：1011010niitniiniiytyFF tfy t数字积分器的组成数字积分器的组成余数寄存器余数寄存器寄存被积函数累加运算的余数。寄存被积函数累加运算的余数。被积函数寄存器被积函数寄存器寄存被积函数。

26、寄存被积函数。一、一、DDADDA直线插补直线插补 1.DDA1.DDA直线插补原理直线插补原理加工如图直线，设加加工如图直线，设加工的时间为，工的时间为，若进给是均匀的，则若进给是均匀的，则分配给两个坐标方向分配给两个坐标方向的单位增量也是均匀的单位增量也是均匀的。则的。则4.01047.0107tyytxxeemst10插补步骤如下表所示插补步骤如下表所示一般情况，设进给速度是均匀的，直线的长一般情况，设进给速度是均匀的，直线的长度为，则有：度为，则有：LkyVxVLVeyexeyexkyVkxVtVytVxyxtkytVytkxtVxeyex在时间内在时间内 t动点移动的过程，可以看作是

27、各坐标每经过动点移动的过程，可以看作是各坐标每经过一个单位时间间隔分别以增量、同时一个单位时间间隔分别以增量、同时累加的结果。直线插补器结构如图所示。累加的结果。直线插补器结构如图所示。 tekxeky当取时，有当取时，有设经过次累加后，和方向分别都到达设经过次累加后，和方向分别都到达终点，则：终点，则：mxy),(eeyxEtmkytkyytmkxtkxxemieeemiee11)()(eeeemkyymkxxeekyykxx1mk1t取取km1因累加次数必须是整数，所以比例系数因累加次数必须是整数，所以比例系数一定为小数。一定为小数。 即即1tmk选取时主要考虑、应不大于，选取时主要考虑、

28、应不大于， kxy11eekyykxx、的最大容许值受寄存器的位数的限、的最大容许值受寄存器的位数的限制，最大值为制，最大值为1) 12(nkexeyn12 n121nknk21nm2即即一般取一般取 说明说明DDADDA直线插补的整个过程要经过次累直线插补的整个过程要经过次累加才能到达直线的终点。加才能到达直线的终点。 n2这样，对与的累加就分别可转这样，对与的累加就分别可转变为对与的累加。变为对与的累加。当时，位寄存器存放和当时，位寄存器存放和存放的数字是一样的，只是对于存放的数字是一样的，只是对于后者小数点则出现在最高位数的后者小数点则出现在最高位数的前面。前面。与的关系：与的关系：eK

29、xexnexeKxnekxekyexeynk21由一个与积分器中寄存器容量相同的由一个与积分器中寄存器容量相同的终点计数器来实现终点判别，其初终点计数器来实现终点判别，其初值设置为值设置为0 0。每累加一次，加。每累加一次，加1 1，当，当累加次后，产生溢出，使，累加次后，产生溢出，使，完成插补。完成插补。EJEJn20EJDDADDA直线插补的终点判别：直线插补的终点判别：2.DDA2.DDA直线插补流程直线插补流程 用用DDADDA法进行插补法进行插补时，和两坐时，和两坐标可同时进给，标可同时进给，同时每累加一次，同时每累加一次，要进行一次终点要进行一次终点判别。判别。 xy3.DDA3.

30、DDA直线插补举例直线插补举例设插补直线，起点坐标设插补直线，起点坐标为，终点的坐标为为，终点的坐标为。若被积函数寄存器、。若被积函数寄存器、和余数寄存器，以和余数寄存器，以及终点减法计数器均为及终点减法计数器均为三位二进制寄存器，则迭三位二进制寄存器，则迭代的次数为次代的次数为次时，插补完成。插补前，时，插补完成。插补前，、均为零，、均为零，、分别存放。分别存放。OE0 ,0O3 , 5ERyJEJm823mEJ,RxJ3, 5eeyxVxJVyJRxJRyJVxJVyJDDADDA直线插补过程直线插补过程 累加累加次数次数 积分器积分器积分器积分器备备 注注0101000001100000

31、00初始状态初始状态110100110001第一次迭代第一次迭代201011100010 溢出溢出311100011011 溢出溢出410011000100 溢出溢出500111110101 溢出溢出611000101110 溢出溢出701111010111 溢出溢出800010001000 溢出溢出xyVxJRxJxVyJRyJyEJxyxxyxxyRxJxeJRyJyeJEJ1Y2Y3YCDCD1QJ2QJCPMMFQGT0t1t2texeyxytEP0Z0Z0Z停运信号运算控制数字积分器直线插补装置的逻辑方框图在单位时间增量内，在单位时间增量内，位移增量分别为：位移增量分别为：二、二、D

32、DADDA圆弧插补圆弧插补1.DDA1.DDA圆弧插补原理圆弧插补原理 以第一象限逆圆为例，设刀具沿圆弧移以第一象限逆圆为例，设刀具沿圆弧移动，半径为，刀具的切向速度为，动，半径为，刀具的切向速度为，为动点，则有：为动点，则有：)( 为比例常数KKxVyVRVyxtKxtVytKytVxyxABRVyxP,t用两个积分器来用两个积分器来实现圆弧插补。实现圆弧插补。系数的省略原系数的省略原因和直线时类同。因和直线时类同。 kDDADDA圆弧插补方框图圆弧插补方框图 （2 2）直线插补时，寄存器、寄存的直线插补时，寄存器、寄存的是终点坐标或，为一常数；而是终点坐标或，为一常数；而圆弧插补时寄存的是

33、动点坐标或圆弧插补时寄存的是动点坐标或，为一变量。，为一变量。（1 1）圆弧插补时，坐标值存入寄存圆弧插补时，坐标值存入寄存器的对应关系与直线插补器的对应关系与直线插补时相反。时相反。圆弧插补与直线插补的区别：圆弧插补与直线插补的区别：yx,vyvxJJ,exeyixjyVxJVyJ对于顺圆、逆圆及其它象限的插补运算过程和对于顺圆、逆圆及其它象限的插补运算过程和积分器结构基本上与第一象限逆圆是一致的。积分器结构基本上与第一象限逆圆是一致的。其不同在于控制各坐标轴的进给方向不同，以其不同在于控制各坐标轴的进给方向不同，以及修改内容时是还是，要由坐及修改内容时是还是，要由坐标的增减决定。具体情况见

34、下表。标的增减决定。具体情况见下表。 1SR 2SR 3SR 4SR 1NR 2NR 3NR 4NR yJvx xJvy x y +vyvxJJ,+yx,当某一坐标计数器为当某一坐标计数器为0 0时，说明该坐标已时，说明该坐标已到达终点，这时该坐标停止迭代。当两个到达终点，这时该坐标停止迭代。当两个计数器均为计数器均为0 0时，圆弧插补结束。时，圆弧插补结束。每输出一个脉冲，相应的减法计数器减每输出一个脉冲，相应的减法计数器减1 1。把坐标的脉冲总数分别存入两个减法把坐标的脉冲总数分别存入两个减法计数器中。计数器中。DDADDA圆弧插补的终点判别圆弧插补的终点判别yx,2.DDA2.DDA圆弧

35、插补流程图（略）圆弧插补流程图（略）3.DDA3.DDA圆弧插补举例圆弧插补举例 设有一个圆弧，起点坐标为，终点坐设有一个圆弧，起点坐标为，终点坐标为，即标为，即其插补轨迹如右图其插补轨迹如右图所示，脉冲分配过所示，脉冲分配过程如下表所示。程如下表所示。500500eeyxyx和0,5A5,0EDDADDA圆弧插补脉冲分配过程圆弧插补脉冲分配过程 nxyiy积分器积分器终终积分器积分器终终备备 注注000000001011010000101初始状态初始状态100000001011011010101第一次迭代第一次迭代200000001011010101100 积分器溢出，积分器溢出，修正积分器

36、修正积分器001300100101011011110100400101001011011001011 积分器溢出，积分器溢出，修正积分器修正积分器 010501010001011010011010积分器溢出，积分器溢出，修正积分器修正积分器 011601111101011011100010RxJxxixRyJyyyyxyxx三、改进三、改进DDADDA插补质量的措施插补质量的措施 1.1.进给速度的均匀化措施进给速度的均匀化措施 直线插补与圆弧插补时的进给速度分别表示为：直线插补与圆弧插补时的进给速度分别表示为：RfVLfVnn2121式中，为插补脉冲的频率；为坐标轴的式中，为插补脉冲的频率；

37、为坐标轴的脉冲当量。脉冲当量。f进给速度受到被加工直线的长度和被加工圆进给速度受到被加工直线的长度和被加工圆弧半径的影响。弧半径的影响。不论加工行程长短，都必须完成次累加不论加工行程长短，都必须完成次累加运算才能到达终点，所以各程序段的进给速度运算才能到达终点，所以各程序段的进给速度是不一致的。是不一致的。影响了加工的表面质量，特别是行程短的程序影响了加工的表面质量，特别是行程短的程序段生产率低。段生产率低。为避免上面问题可采用：为避免上面问题可采用：（1 1）设置进给速率数）设置进给速率数FRNFRN（feed rate numberfeed rate number）（2 2）左移规格化）左

38、移规格化nm2（1 1）设置进给速率数）设置进给速率数FRNFRNfRVFRNfLVFRNnn2121则或，通过调则或，通过调整插补脉冲频率，使其与给定的进给速整插补脉冲频率，使其与给定的进给速度相协调，消除线长与圆弧半径对进度相协调，消除线长与圆弧半径对进给速度的影响。给速度的影响。LFRNVRFRNVFRNfLR（直线）（直线）（圆弧）（圆弧）（2 2）左移规格化）左移规格化左移规格化左移规格化在实际的数字积分器中，在实际的数字积分器中，把被积函数寄存器中的前零移去。把被积函数寄存器中的前零移去。规格化的数累加两次必有一次溢出，而规格化的数累加两次必有一次溢出，而非规格化数必须作两次以上或

39、多次累加非规格化数必须作两次以上或多次累加才有一次溢出。才有一次溢出。作为终点判别的累加次数必须相应减少。作为终点判别的累加次数必须相应减少。若左移位，则。而终点判别计若左移位，则。而终点判别计数器的计数长度要通过右移进行缩短。数器的计数长度要通过右移进行缩短。使坐标值最大的被积函数寄存器的最高有使坐标值最大的被积函数寄存器的最高有效位为。并且同时左移，保证沿两坐标效位为。并且同时左移，保证沿两坐标方向的脉冲分配速度扩大同样的倍数。方向的脉冲分配速度扩大同样的倍数。直线插补的左移规格化直线插补的左移规格化1mQQnm 2EJ左移规格化及修改终点判别计数长度的示意左移规格化及修改终点判别计数长度

40、的示意图如下。图如下。左移规格化前后直线的插补轨迹左移规格化前后直线的插补轨迹a) a) 左移规格化前左移规格化前b) b) 左移规格化后左移规格化后这是由于在圆弧插补过程中，被积函这是由于在圆弧插补过程中，被积函数寄存器的数不断地修改，若仍数寄存器的数不断地修改，若仍取最高位为作规格化数，则可能在取最高位为作规格化数，则可能在进行修正后溢出。进行修正后溢出。圆弧插补的左移规格化圆弧插补的左移规格化使坐标值最大的被积函数寄存器的次使坐标值最大的被积函数寄存器的次高位为（即保持一个前零）。高位为（即保持一个前零）。1yx, 1 1左移规格化后，若左移位，此时被积函数左移规格化后，若左移位，此时被

41、积函数寄存器中的数分别为寄存器中的数分别为 和和 ，则有，则有，QyQ2xQ2当溢出时，中的数应为：当溢出时，中的数应为：当溢出时，中的数应为：当溢出时，中的数应为：QQQQyyy22122QQQQxxx22122yxvxJvyJ直线插补时，经过规格化后可能的最大值为直线插补时，经过规格化后可能的最大值为111111111111，可能的最小值为，可能的最小值为100100000000。最大坐标每次迭代都有溢出，最小坐标每两最大坐标每次迭代都有溢出，最小坐标每两次迭代也会有溢出，其溢出速率仅相差一倍。次迭代也会有溢出，其溢出速率仅相差一倍。圆弧插补时，经过规格化后可能的最大值为圆弧插补时，经过规

42、格化后可能的最大值为011011111111，可能的最小值为，可能的最小值为010010000000，其溢，其溢出速率也相差一倍。出速率也相差一倍。因此，经过左移规格化后，不仅提高了溢出因此，经过左移规格化后，不仅提高了溢出速度，而且使溢出脉冲变得比较均匀，所以速度，而且使溢出脉冲变得比较均匀，所以加工的效率和质量都大为提高。加工的效率和质量都大为提高。 2.2.提高插补精度的措施提高插补精度的措施 由于溢出脉冲的频率与被积函数寄存器由于溢出脉冲的频率与被积函数寄存器的存数成正比，当在坐标轴附近进行插的存数成正比，当在坐标轴附近进行插补时，两个积分器的溢出脉冲速率相差补时，两个积分器的溢出脉冲

43、速率相差很大，致使插补轨迹偏离理论曲线。很大，致使插补轨迹偏离理论曲线。减小插补误差的方法有：减小插补误差的方法有：（1 1）减小脉冲当量）减小脉冲当量把积分器的位数增多，从而增加迭代次把积分器的位数增多，从而增加迭代次数。这样做可以减小插补误差，提高插数。这样做可以减小插补误差，提高插补精度，但是进给速度却降低了，所以补精度，但是进给速度却降低了，所以我们不能无限止地增加寄存器位数。我们不能无限止地增加寄存器位数。（2 2）余数寄存器预置数）余数寄存器预置数在在DDADDA插补之前，余数寄存器中预置某一插补之前，余数寄存器中预置某一数值（不是零）。数值（不是零）。预置最大容量值预置最大容量值

44、“全加载全加载”预置预置0.50.5“半加载半加载”，即在余数寄存，即在余数寄存器中预置器中预置10000001000000。“半加载半加载”时只要再迭加时只要再迭加0.50.5，余数寄存，余数寄存器就产生溢出脉冲，使溢出提前。这就改器就产生溢出脉冲，使溢出提前。这就改善了溢出脉冲的时间分布，减小了插补误善了溢出脉冲的时间分布，减小了插补误差。差。通过通过“半加载半加载”提高插补精度的示提高插补精度的示例。例。“全加载全加载”是在是在DDADDA插补迭代前，余插补迭代前，余数寄存器的初值置成该寄存器的最数寄存器的初值置成该寄存器的最大容量值。大容量值。 四、多坐标直线插补四、多坐标直线插补 空

45、间有一直线，起点，终点。空间有一直线，起点，终点。 OE)0 , 0 , 0(O),(eeezyxEkzVyVxVOEVezeyextkztVztkytVytkxtVxezeyex在时间内在时间内 t五、其它函数的五、其它函数的DDADDA插补运算插补运算 数字积分器是基本单元，使用它的灵活组合数字积分器是基本单元，使用它的灵活组合可以实现各种各样的函数。可以实现各种各样的函数。首先，绘出各种积分单元符号。首先，绘出各种积分单元符号。dtdxdyxdtdyKdxdx1dxdx22xdtdy Kdtdy 直线插补和圆弧插补的原理简化框图直线插补和圆弧插补的原理简化框图直线插补直线插补dtydyd

46、txdxee圆弧插补圆弧插补逆向）(xdtdyydtdx顺向）(xdtdyydtdxdteyexdtydyedtxdxe直线插补dtxydydx1圆弧插补（逆向）1.1.椭圆椭圆椭圆的方程为椭圆的方程为dtxy2b2adydx112222byax微分后可得微分后可得yaxbdxdy22则有则有ydtadxxdtbdy22椭圆积分器原理框图椭圆积分器原理框图 2.2.双曲线双曲线双曲线的方程为双曲线的方程为dtxy2b2adydx12222byaxyaxbdxdy22ydtadxxdtbdy22微分后可得微分后可得则有则有双曲线积分器原理框图双曲线积分器原理框图 3.3.抛物线抛物线抛物线的方程

47、为抛物线的方程为dtx2adydx222axy 22axdxdydtadxxdtdy22微分后可得微分后可得则有则有抛物线积分器原理框图抛物线积分器原理框图4.4.三次曲线的插补三次曲线的插补设三次曲线的方程为设三次曲线的方程为332210 xAxAxAAy求各阶导数求各阶导数 332232166232AdxydyxAAdxydyxAxAAdxdyy设分别为时及其各阶导设分别为时及其各阶导数的初始值，则可求得各系数如下：数的初始值，则可求得各系数如下：02010021;yAyAyA 000,yyy 0 xy微分方程为微分方程为 dtdxdtydydtyyddtyyd积分运算前需输入积分积分运算

48、前需输入积分器的初始值。器的初始值。00,yyy y 0y 0ydtdxdtydydtyyd dtyyd 三次曲线积分器原理框图三次曲线积分器原理框图六、六、DDADDA插补的合成进给速度插补的合成进给速度gxfNxfgyfNyf由于由于则合成进给速度为则合成进给速度为ggfNLyxNfV606022为直线长度（若为圆弧插补时，则为半径）为直线长度（若为圆弧插补时，则为半径）速度变化率为速度变化率为NLVVggVV10由于（或）的变化范围是由于（或）的变化范围是所以有所以有LRLRN0左移规格化后，的变化范围减小。设寄左移规格化后，的变化范围减小。设寄存器字长为，则存器字长为，则nnnnxLy

49、xxLyx2221220,2max1min1时，当时，当故合成速度的最大、最小值为故合成速度的最大、最小值为414. 12225 . 02max1minNVVNVVngng变化范围为变化范围为gVV5 . 0414. 1即有即有828. 25 . 0414. 1vLn2-4 比较积分法比较积分法 产生背景：产生背景：数字积分法数字积分法可灵活实现各种函数的插可灵活实现各种函数的插补和多坐标直线的插补。但速度调节不便。补和多坐标直线的插补。但速度调节不便。逐点比较法逐点比较法速度平稳，调节方便。但速度平稳，调节方便。但在某些二次曲线的插补计算上不方便。在某些二次曲线的插补计算上不方便。将这两种方

50、法结合起来，取长补短，就产将这两种方法结合起来，取长补短，就产生出一种新型的脉冲分配方法，即生出一种新型的脉冲分配方法，即比较积比较积分法分法。一、直线插补运算一、直线插补运算设直线起点坐标为，终点坐标为。设直线起点坐标为，终点坐标为。则直线方程为：则直线方程为：xxyyee两边求微分，得两边求微分，得eexydxdydyxdxyee用矩形公式求积，得用矩形公式求积，得dyxdxyeeeeeexxyy0,0eeyx ,我们在时间轴上分别作出轴和轴脉冲我们在时间轴上分别作出轴和轴脉冲序列，并把时间间隔作为积分增量。序列，并把时间间隔作为积分增量。yx定义判别函数为轴脉冲总时间间隔与定义判别函数为

51、轴脉冲总时间间隔与轴脉冲总时间间隔之差，即轴脉冲总时间间隔之差，即yxeexyF当时，应控制轴进行的累加当时，应控制轴进行的累加当时，应控制轴进行的累加当时，应控制轴进行的累加并且并且轴同时进给时、当轴进给时当轴进给时当yxyxFFyxFFxyFFeennennenn1110F0Fyxexey二、圆弧插补运算二、圆弧插补运算设第一象限顺时针圆设第一象限顺时针圆弧，起点为，终点弧，起点为，终点为。则取微分，得为。则取微分，得Kyxdxdy用矩形公式求积，得用矩形公式求积，得xxyyeexxyy00 xxyyeexxyy00ABxdxydy 令令圆函数的脉圆函数的脉冲时间间隔冲时间间隔在插补过程在

52、插补过程中是变化的。中是变化的。nyymxxxyee001( 1；）；脉冲当量为则有则有jyixnjmi0000即即 2121000000yyyxxx我们可得出圆函数在不同象限、沿不同方向我们可得出圆函数在不同象限、沿不同方向加工情况下的矩形求和公式。加工情况下的矩形求和公式。第一第一、第三象限顺圆，、第三象限顺圆，第二第二、第四象限逆、第四象限逆圆矩形求和公式为圆矩形求和公式为jyixnjmi0000第一第一、第三象限逆圆，、第三象限逆圆，第二第二、第四象限顺、第四象限顺圆矩形求和公式为圆矩形求和公式为jyixnjmi0000注意：注意：圆弧插补时，其圆弧插补时，其偏差判别函数的确偏差判别函

53、数的确定与直线插补时相类似，不同之处定与直线插补时相类似，不同之处是当轴（或轴）每发一个脉冲是当轴（或轴）每发一个脉冲后，必须对被积函数（或）进后，必须对被积函数（或）进行或修正。行或修正。xyxy11三、椭圆、抛物线、双曲线函数插补运算三、椭圆、抛物线、双曲线函数插补运算 椭圆方程为：椭圆方程为：12222byax求微分，得求微分，得ydyaxdxb22jyaixbnjmi020020可得第一可得第一、第三象限顺时针，、第三象限顺时针，第二第二、第四象、第四象限逆时针椭圆矩形求和公式为限逆时针椭圆矩形求和公式为第一第一、第三象限逆时针，、第三象限逆时针，第二第二、第四象限、第四象限顺时针椭圆

54、矩形求和公式为顺时针椭圆矩形求和公式为jyaixbnjmi020020抛物线的方程为抛物线的方程为pxy22抛物线的矩形求和公式为抛物线的矩形求和公式为jypnjmi000双曲线的方程为双曲线的方程为12222byax双曲线双曲线的矩形求和公式为的矩形求和公式为jyaixbnimi020020结论：结论：对于二次曲线来说，可以用时间坐标对于二次曲线来说，可以用时间坐标上的两组等差数列表示其脉冲分配过上的两组等差数列表示其脉冲分配过程，改变公差的大小和符号就可以得程，改变公差的大小和符号就可以得到各种类型的曲线。到各种类型的曲线。四、直线及一般二次曲线的插补算法四、直线及一般二次曲线的插补算法比

55、较积分法的插补步骤如下：比较积分法的插补步骤如下：确定基础轴。脉冲间隔小的轴为基础轴。确定基础轴。脉冲间隔小的轴为基础轴。脉冲源每发一个脉冲，基础轴走一步，非基脉冲源每发一个脉冲，基础轴走一步，非基础轴根据判别函数的情况决定是否走一步。础轴根据判别函数的情况决定是否走一步。坐标进给后计算新的偏差值。坐标进给后计算新的偏差值。每次进给后对时间间隔进行修正。每次进给后对时间间隔进行修正。判别基础轴是否改变，改变时判别基础轴是否改变，改变时F=-FF=-F。过象限处理。过象限处理。终点判别。终点判别。在每一插补周期中，插补程序被调用一次，在每一插补周期中，插补程序被调用一次，为下一周期计算出各坐标轴

56、应该行进的增长为下一周期计算出各坐标轴应该行进的增长段（而不是单个脉冲）或等，然后再计段（而不是单个脉冲）或等，然后再计算出相应插补点（动点）位置的坐标值。算出相应插补点（动点）位置的坐标值。2-5 数据采样插补数据采样插补 一、概述一、概述1.1.数据采样插补的基本原理数据采样插补的基本原理根据进给速度，将轮廓曲线按时间分割为采根据进给速度，将轮廓曲线按时间分割为采样周期的进给段（进给步长）。样周期的进给段（进给步长）。xy一般分为粗、精插补两步完成。一般分为粗、精插补两步完成。2.2.插补周期的选择插补周期的选择 （1 1）插补周期与插补运算时间的关系）插补周期与插补运算时间的关系插补周期

57、必须大于插补运算所占用的插补周期必须大于插补运算所占用的CPUCPU时间。时间。 （2 2）插补周期与位置反馈采样的关系）插补周期与位置反馈采样的关系插补周期与采样周期可以相等，也可以插补周期与采样周期可以相等，也可以不等。如果不等，通常插补周期是采样不等。如果不等，通常插补周期是采样周期的整数倍。周期的整数倍。 3.3.插补周期与精度、速度的关系插补周期与精度、速度的关系 （1 1）直线插补直线插补插补所形成的每一个小直线段与给定直插补所形成的每一个小直线段与给定直线重合，不会造成轨迹误差。线重合，不会造成轨迹误差。（2 2）圆弧插补）圆弧插补用弦线逼近圆用弦线逼近圆弧，必然会造弧，必然会造

58、成轨迹误差。成轨迹误差。很小很小对内接弦线，最大半径误差与步距角对内接弦线，最大半径误差与步距角的关系为（为圆弧半径）：的关系为（为圆弧半径）： rer)2cos1 ( rerrTVrlrer888222在给定圆弧半径和弦线在给定圆弧半径和弦线误差极限的情况下，插误差极限的情况下，插补周期应尽可能的小，补周期应尽可能的小，以便获得尽可能大的加以便获得尽可能大的加工速度。工速度。 二、直线函数法二、直线函数法1.1.直线函数法直线插补直线函数法直线插补在平面内加工直线。在平面内加工直线。起点在原点，终点起点在原点，终点在，沿轴在，沿轴和轴的位移增量和轴的位移增量分别为和。分别为和。),(eeyx

59、Exyxy插补时，取增量大插补时，取增量大的作长轴，增量小的作长轴，增量小的为短轴。的为短轴。设刀具移动方向与长轴夹角为，为一次设刀具移动方向与长轴夹角为，为一次插补的进给步长。插补的进给步长。 OAleexytan2tan11cosxxyylxeecosyyyxxxiiii11故故2.2.直线函数法圆弧插补直线函数法圆弧插补设刀具沿顺时针圆弧运动，在圆弧上有插设刀具沿顺时针圆弧运动，在圆弧上有插补点，。在这里由已加工补点，。在这里由已加工点求出下一点，就是求在一个插补周点求出下一点，就是求在一个插补周期内，轴和轴的进给增量和。期内，轴和轴的进给增量和。弦正是圆弧插弦正是圆弧插补时每周期的进补

60、时每周期的进给步长。给步长。),(iiyxA),(11iiyxBABxyxyABl由图中几何关系可得：由图中几何关系可得：2sin2cos21tantanlylxxyii245sin245cos2sin2costanlylxlylxiiii取取coslx 4522xyxxxyiiyyyxxxiiii11计算径向误差。由前面可得：计算径向误差。由前面可得： relr8式中，为最大径向误差；为圆弧半径。式中，为最大径向误差；为圆弧半径。rer当，插补的周当，插补的周期，进给速度为：期，进给速度为：mer1msT8rrTreVr4500008100060100088三、扩展数字积分法三、扩展数字积分