自动控制理论：第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合

1、第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合9.1 线性系统的状态空间表达式9.2控制系统状态空间表达式的解9.3控制系统的能控性和能观性9.1 线性系统的状态空间表达式9.1.1 基本概念 图 9-1 所示的 电路中，由电路原理可知，回路中的电流 和电容上的电压 的变化规律满足如下方程 图9-1 RLC电路在知道i和uc的初始值及t=0时的输入量u的情况下求解微分方程（9-1）就可以求出i和uc的变化规律 和 表征了电路的运动状态，称为该电路的状态变量，1. 状态变量 定义：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量 一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求

2、出时，系统的运到状态也就都知道了。因此， n阶微分方程有n个独立变量。 同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元件的个数。9.1 线性系统的状态空间表达式2状态向量 把描述系统的 个状态变量 看作向量 的分量，则 称为 维状态向量，记作3 状态空间 以状态变量 为坐标轴所张成的n维空间， 系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个点，随时间推移，状态在变化规律在状态空间中绘出一条轨迹，称为状态轨线。9.1 线性系统的状态空间表达式4 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组 式 可以改写为 若将状态变量用一般符号 表示，即令 ，并写成向量矩阵的

3、形式，则状态方程变为9.1 线性系统的状态空间表达式或式中 对图9-1所示系统，在以 作输入时，从式 中消去中间变量 ，得二阶微分方程为相应的传递函数为9.1 线性系统的状态空间表达式 若改选 和 为状态变量，即令 ， 则得一阶微分方程组为 写成矩阵形式 在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。9.1 线性系统的状态空间表达式5 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量间的函数关系式， 在图9-1中， 为输出，用 表示，则有用矩阵表示为其中9.1 线性系统的状态空间表达式6 状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为状态空间表达式。它构成对一个系统的完整描述。 一般情况下，设单输

4、入单输出线性定常连续系统的状态变量为 ，则一般形式的状态方程为9.1 线性系统的状态空间表达式 输出方程除了是状态变量的函数外，有时还有输入变量的直接传递，其一般形式为 用向量矩阵表示的状态空间表达式为式中9.1 线性系统的状态空间表达式 对于一个 维输入、 维输出的多输入、多输出系统其状态空间表达式为式中9.1 线性系统的状态空间表达式 系统的状态空间表达式，可以用图9-2的方框图表示图9-2 状态空间表达式的结构图9.1 线性系统的状态空间表达式9.1.2 状态空间表达式的建立 状态空的建立方法有： 1: 可根据系统的运行机理直接建立 2：可由经典控制理论已建立起来的数学模型，即结构图、传

5、递函数和微分方程来导出。9.1 线性系统的状态空间表达式1、从系统的机理出发建立状态空间表达式 例9-1 建立如图9-3所示机械系统的状态空间表达式，并画出系统的状态图。 根据牛顿第二定理有 或表示成 选择位移 和速度 为状态变量，令 则图9-3 机械位移系统9.1 线性系统的状态空间表达式 用向量矩阵表示的状态空间表达式为 状态图： 为了更直观地反映各状态变量之间的信息传递关系，状态空间表达式常用状态图表示。绘制方法如下： （1）有多少了状态变量，画多少个积分器； （2）根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头连接起来。9.1 线性系统的状态空间表达式 该机械系统的

6、状态如图9-4所示。图9-4 机械系统状态图9.1 线性系统的状态空间表达式 2、从系统方块图出发建立状态空间表达式 例9-2 在图9-5所示系统中，若选取 作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式。图9-59.1 线性系统的状态空间表达式由结构图得整理可得系统状态空间表达式为写成向量矩阵形式 3、由微分方程（或传递函数）求状态空间表达式 （1）微分方程中不含有输入的导数项（或传递函数中没有零点）：若系统微分方程为 对应的传递函数为9.1 线性系统的状态空间表达式 如果选取 为一组状态向量，即 则有 记成向量矩阵形式为9.1 线性系统的状态空间表达式其状态结构如图9-6所示图9-6

7、 状态图9.1 线性系统的状态空间表达式 一般情况下，由 阶微分方程描述的系统为相应的传递函数为若选 为状态变量，那么9.1 线性系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 如上述这样选择的一组状态变量称为相变量，得出的表达式 称为能控标准型。系统矩阵 称为友矩阵 9.1 线性系统的状态空间表达式（2）输入方程中含有输入信号的导数项（或传递函数中有零点） 从三阶推广到 n 阶系统，系统微分方程为 对应的传递函数为 只有当传递函数分子多项式的次数小于或等于分母多项的次数时，系统的状态空间表达式才存在。9.1 线性系统的状态空间表达式 当 的分子次数等于分母次数时，首先应用综合除法把 变成严格有理分

8、式，即式中， 是直接联系输入、输出的前馈系数。式中则由 可导出能控和对角线标准型的状态空间表达式。9.1 线性系统的状态空间表达式第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合 串联分解：将 分解为两部分相串联如图9-7所示。 为中间变量， ， 则应满足若选状态分量 ，则状态方程为图9-7 N(s)/D(s)的串联分解输出方程为若 ，则或可表示为9.1 线性系统的状态空间表达式第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合据此可得系统的状态结构如图9-8所示。图9-8 N(s)/D(s)串联分解的状态图第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合 并联分解：1） 只含单实极点（或微分方程含有互不相等的特征根）

9、：设 可分解为则传递函数可展开成部分分式之和，即 式中 为极点 的留数，且有第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合若令状态变量则展开得其状态结构如图9-9(a)所示第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合若令状态变量 则 取拉氏反变换有其向量矩阵形式为其状态结构如图9-10(b)所示。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合图9-9 对角形动态方程的状态变量图第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合2） 含有重极点（或微分方程含有重特征根）：当传递函数不仅含有单实极点，还含有重实极点，其 矩阵可化为约当标准型。设 可分解为式中 为三重极点， 为单实极点。传递函数可展成下列部分分式之和第九章

10、线性定常系统的状态空间分析与综合若状态变量第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合取拉氏反变换，有或表示为相应的状态变量方框如图9-10所示。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合图9-10 约当动态方程的状态变量图第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合4、多输入、多输出系统状态空间表达式的建立 对于多输入、多输出系统，当已知微分方程或传递函数时要求其状态空间表达式，可先画出每个方程的状态图，然后把互相牵连的信号线加上，选每个积分器的输出为状态变量，根据状态图，就可直接写出状态空间表达式。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合 以双输入、双输出的三阶系统为例，设系统微分方程为把最高阶导数

11、项留在左边，其余移项到右边后得第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合对每一个方程积分故得状态结构如图9-11所示第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合取每个积分器输出为一个状态变量，则式 的一种实现为或表示为第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合9.1.4 传递函数矩阵1、传递函数阵 已知系统的状态空间表达式为式中， 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 维输出向量， 为满足矩阵运算的矩阵。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合对式 进行拉氏变换，并设初始条件为零，则有式中 为状态向量对输入向量的传递函数矩阵，是一个 型矩阵第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合 为输出向量对输入向

12、量的传递函数矩阵，简称传递函数矩阵，是一个 型矩阵式中各元素 都是标量函数，表征第 个输入对第 个输出的传递关系。当 时，意味着不同标号输入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。 同一系统，状态空间表达式不惟一，但传递函数矩阵是不变的第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合2、组合系统的传递函数阵复杂的控制系统，可能由多个子系统串联、并联或反馈连接而成。讨论两个子系统 和 构成的组合系统。 设系统 为传递函数矩阵为 设系统 为传递函数矩阵为第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合（1）并联连接：如图9-12(a)所示，两个子系统并联连接时，并联连接系统的状态空间表达式为系统

13、的传递函数矩阵为故子系统并联时，系统的传递函数矩阵等于子系统传递函数矩阵的代数和。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合（2）串联连接：串联连接如图9-12(b)所示。这时 ， 在前， 在后系统的状态空间表达式为假定 和 之间无负载效应，系统的输出为故即系统串联时，系统的传递函数矩阵等于子系统的传递函数矩阵之积。注意，传递函数相乘，先后次序不能颠倒。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合（3）反馈连接：设 的系统方程为设 的系统方程为如图9-12(c)所示，由图可得即9.2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程是指输入向量为零时的状态方程 设初始时刻 ，系统的初始状态

14、 ，状态方程是一阶微分方程组，它的求解方法与标量一阶微分方程相类似。 一阶向量齐次微分方程的解为其中 可以展开成9.2 控制系统状态空间表达式 称为矩阵指数函数，简称矩阵指数。由于 是由 转移而来，对于线性定常系统， 又有状态转移矩阵之称，并记为 ，即 如果初始时刻 ，初始状态为 ，则齐次状态方程的解为9.2 控制系统状态空间表达式9.2.2 状态转移矩阵的基本性质 重写 根据式 ，可以推出 具有如下性质：（1） ，或 本性质说明状态向量从时刻 又转移到时刻 ，状态向量不变。（2） ，或（3） ，或9.2 控制系统状态空间表达式（4） ，或 这个性质说明，转移矩阵的逆意味着时间的逆转，利用这个

15、性质，可以在已知 的情况下，求出 。（5）对于 方阵 和 ，当且仅当 时，有 ； 否则，若 ，则 ，注意：这与标量指数函数的性质是不同的。9.2 控制系统状态空间表达式9.2.3 状态转移矩阵的求法 或 的求法，较常用的有四种方法，1、幂级数法 此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合于计算机计算。用手工计算不易得到闭式解。9.2 控制系统状态空间表达式2、拉普拉斯变换法 将 两端取拉氏变换，有若 存在，则取拉氏反变换，有由于微分方程的解是惟一的，所以9.2 控制系统状态空间表达式3、应用凯莱哈密顿定理计算 （1）凯莱哈密顿定理：方阵 满足自身的特征方程 即由上式可得也就是说 是 的线性组合。在

16、 的幂级数表示法中，消去 及以上的幂次项后得9.2 控制系统状态空间表达式（2） 的计算方法 1） 的特征值互异时，因为特征值 与 是可以互换的所以 也满足式 ，即或于是9.2 控制系统状态空间表达式2） A 的特征值均相同：设 A 的特征值为 ，则上式对 求导，有重复以上步骤，最后有9.2 控制系统状态空间表达式 由上面的 个方程对 求解后得3）当 A 的特征根既有互异特征值，又有重特征值时 可根据 和 求得。9.2 控制系统状态空间表达式4、通过线性变换把 化成约旦标准型来求（1）若 A 阵有 n 个不相等的实根，则9.2 控制系统状态空间表达式9.2 控制系统状态空间表达式那么（2）若A

17、可化为约旦型矩阵9.2 控制系统状态空间表达式 可求得 那么9.2 控制系统状态空间表达式第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合（3）若 A可化为模态型矩阵M，则式中第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合所以于是系统状态转移矩阵9.2.4 线性定常系统非齐次方程的解 非齐次状态方程是指输入向量不等于零时的状态方程即求解（9-74）可用积分法和拉氏变换法。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合1、积分法 设初始时刻 t0=0，初始状态为x(0)。将式(9-74) 改写成上式两边左乘 后得即对上式在0 到 t 时间内积分，有第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合整理后可得若 t0 0 ，初

18、始状态为X(t0)，则有2、拉氏变换法 对式(9-74 )进行变换，有由于 一定存在，所以直接对 两边去拉氏反变换，得9.2 控制系统状态空间表达式 式 (9-74)与式 (9-75) 是等价的。很明显，式(9-74) 的解x(t) 由两部分组成：第一部分是由初始状态引起的，称为零输入响应；第二部分是由输入向量引起的强迫运动。 正是由于第二部分的存在我们才可能通过选择输入向量，使状态向量的状态满足期望的要求。9.2 控制系统状态空间表达式9.3.1 能控性与能观性问题的提出 用状态空间模型描述控制系统时，存在系统的状态变量是否能受输入的控制，即能控性问题； 系统的输出能否反映系统的状态，即能观

19、性问题。 系统的能控性与能观性问题是卡尔曼首先提出的。它是现代控制中的两个重要概念，是最优控制和最优估计的基础。9.3 控制系统的能控性与能观性9.3.2 能控性定义及其判别准则1、能控性定义（1）线性连续系统的能控性定义： 线性定常连续系统 如果存在一个分段连续的输入u(t) 能在有限时间区间t0 , t1 内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(t1)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的。9.3 控制系统的能控性与能观性第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合 上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说明。 如图9-14所示假定状

20、态平面中的P点能在输入的作用下，被驱动到任一指定状态P1, P2, , Pn，那么状态平面的 P 点是能控状态。 若能控状态充满整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入，使得在有限的时间区间内，将状态转移到状态空间的任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。图9-14 系统能控性示意图第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合（2）离散时间系统能控性定义： 离散系统动态方程 其能控性定义为：若存在控制作用序列u(k), u(k+1) , u(l-1) ,能将第k步的某个状态x(k) 在第l步上达到零状态，即x(l) =0，那么就称此状态是能控的。 若系统在lk 步上所有的状态x(k)

21、都是能控的，那么此系统的状态是完全能控的，称为能控系统。2、能控性判别准则（1）线性定常连续系统的能控性判别准则： 线性定常系统的状态方程为 从能控性的定义可以看出，判别一个线性系统能控性的问题，实际上是根据系统的状态方程和任意给定的初始状态，看能否找到任意的控制向量，把初始状态x(t0)在有限的时间内转移到状态空间的原点，即 =0 。x(t1)第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合 式(9-91)状态方程的解为 设 上式化为 或 根据凯莱哈密顿定理，可以将 展开为 将式(9-93) 代入式(9-92) ，可得第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合设则式(9-94) 化为 要是系统能控，则对任意给定的初始状态x(0)，都能从（9-95）式中解出fk 来。因此必须保证矩阵 的逆存在。也就是矩阵 S的秩为 n 。因此系统能控充分要条件是： 矩阵S 称为能控性判别阵。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合（2）线性定常离散系统能控性判别：离散系统的状态方程为 根据能控性定义，在有限采样周期内，若能找到阶梯控制信号，使得任意一个初始状态转移到零状态，那么系统状态是完全能控的。 能控的充要条件是系数矩阵满秩。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合9.3.3 线性系统能观性定义及判据1、能观性