数学物理方法：第十一章 柱函数

1、连带勒让德函数柱函数勒让德方程贝塞耳方程亥姆霍兹方程三维波动方程连带勒让德方程超球微分方程球函数勒让德函数微商 m 次第十一章 柱函数数学物理方法代入方程可得：则有：亥姆霍兹方程在柱坐标系下分离变量得到的常微分方程：若 k2 l 0，作变换：即：方程的解主要性质分离变量法的应用令 m = n 2 ，则：标准形式：n 阶贝塞耳方程11.1 贝塞耳函数和诺依曼函数被称作 n 阶贝塞耳函数（第一类贝塞耳函数）。无论 n 是否为整数， Jn(x) 与Nn(x) 总是线性无关当 n 整数时，贝塞耳方程的两个线性无关解为：当 n = 整数 n 时，Jn(x) 与 J-n(x)线性相关，引入第二类贝塞耳函数

2、（诺依曼函数）：11.2 贝塞耳函数的递推关系基本递推关系：任意整数阶贝塞耳函数总可以用零阶和一阶贝塞耳函数表示令 n = 0 时，由n 阶贝塞耳函数的递推关系可知 n 阶诺依曼函数的递推关系：定义 柱函数满足递推关系的函数 统称为柱函数。柱函数一定是贝塞耳方程的解第一类柱函数第一类贝塞耳函数（贝塞耳函数）第二类柱函数第二类贝塞耳函数（诺依曼函数）计算积分 例题解计算积分 ，其中 。 例题解利用递推关系，分部积分11.3 贝塞耳函数的渐进展开贝塞耳函数渐进展开的两种基本类型： 适用于 x 0： 适用于 x ：令 ，代入生成函数展开式中11.4 整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示 Jn(x)

3、的生成函数展开式这正是函数 的傅里叶展开式（复数形式） Jn(x) 的积分表示令 Jn(x) 的生成函数展开式中可以得到：右端各项中的 和 描述的是柱面波再令 x = kr ，就有：若 r、q 为坐标变量（柱坐标），k 为波数，取相位的时间因子为 ，则上式两端分别对应于波动过程相位因子的空间部分：是沿 x 轴正方向传播的平面波，其等相位面是物理含义： 平面波按柱面波展开为什么 Jn(kr) 描述的就是柱面波呢？当 r 足够大，Jn(kr) 所描述的波动过程的相位是：（第二类渐进展开）等相面是柱面 ：分别描述的是：不断扩大的发散柱面波，或不断收缩的会聚柱面波。Jn(kr) 的第二类渐进展开式中含

4、有与 成反比的振幅因子波动过程的能流密度与 r 成反比而圆柱的侧面积与 r 成正比所以，单位时间内流过每个圆柱面的总能量不变。描述的是一个不衰减的柱面波。求四周固定的圆形薄膜的固有频率11.5 贝塞耳方程的本征值问题取平面极坐标系，圆形薄膜中心为坐标原点。令 代入方程得：边界条件振动方程再次分离变量，令代入方程两边同乘以 得令 k = w/c得若 m = 0 可知：由周期性条件知：本征函数若 m 0 可知：由周期性条件知：本征函数对方程作变换，令 ，则整数阶贝塞耳方程通解： R (0) 有界 D = 0 （Nm(kr)在 0 点发散）本征值：对于 Jm(x) = 0 的 x 有很多个，记 m

5、阶贝塞耳函数 Jm(x) 的第 i 个零点为 R (a) = 0 Jm(ka) = 0本征函数：关于 Jn(x) 零点的结论： 当 n -1或为整数时， Jn(x) 有无穷多个零点，它们全部都是实数，对称地分布在实轴上。 Jm(kmir) 的正交性满足Jm(0) 有界，Jmi(kmia) = 0满足Jm(0) 有界，k 为任意实数，一般 Jm(ka) 0(1)(2)当 k = kmj kmi 时，有 Jm(kmi r)和Jm(kmi r)以权重 r 正交 Jm(kmir) 的正交性 Jm(kmir) 的完备性 若函数 f(r) 在区间 0, a 上连续，且只有有限个极大和极小值，则可按本征函数

6、 Jm (kmir) 展开：级数在区间 d, a+d (d 0) 上一致收敛分离变量，令 代入方程半径为 a 的均匀圆柱，高为 h ，柱侧面保持零度，上下两底温度分别为 f1(r) 、 f2(r) ，求柱体内稳定的温度分布。 例题解取圆柱体的轴为 z 轴，显然温度与 f 无关，取 u = u(r, z) ，定解问题为：零阶贝塞耳方程本征值：本征函数：mi 是 J0 (x) 的第 i 个正零点一般解：代入边界条件：(1)(2)可知11.8 半奇数阶贝塞耳函数令 ，令 ，与 线性无关任意半奇数阶贝塞耳函数 = （三角函数，幂函数）与 线性相关11.9 球贝塞耳函数亥姆霍兹方程在球坐标系下分离变量可得对第一个方程作变换，令 ，则令球贝塞耳方程化为标准形式：作变换 ，则球贝塞耳函数球诺依曼函数球贝塞耳方程的解 的两个线性无关解取为：令将函数 按勒让德多项式展开。 例题解n l 的积分为 0，取 n = l + 2m展开式的物理含义：平面波按球面波展开定解问题为：半径为 a 的均匀导热介质球，原来温度为 u0 ， 将其放入冰水中，使球面保持零度，求球内的温度变化。 例题解可知 代入方程0 阶球贝塞耳方程由边界条件可知本征值本征函数一般解两