材料加工中的数值模拟方法-微观组织数值模拟(6)PPT学习教案

1、会计学1材料加工中的数值模拟方法材料加工中的数值模拟方法-微观组织数微观组织数值模拟值模拟(6)相场法应用实例（II） 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 序参量确定序参量确定自由能密度函数确定自由能密度函数确定相场动力学方程相场动力学方程温度场方程温度场方程相场参数确定相场参数确定各向异性各向异性噪声噪声第1页/共42页纯物质相场模型包含两个场变量：相场和温度场(无浓度场)。 第2页/共42页相场动力学方程initial preparation of (x,t=0)subsequent (x,t)Solid s=1 liquid L=0propagation of interf

2、ace)()()(222pTTTLHgFmmV22)1 ()(g)23()(2pVFMtdFFV)23(2)(32g)1 (6)( p)()()(122pTTTLgHtMmm第3页/共42页根据标准热传导方程:0QJtQ考虑固/液界面熵的变化： PfhQTcLttt温度场方程( )tpQfThcJLt This (phenomenological) term accounts for the release of latent heat as the interface advances( )ht( ( , )hx t( ( ,)hx ttqJk T This is a flux-conser

3、vative equation, i.e. it conserves heat Flux in the absence of latent heatWFourier定律 pdHTdSdQ)(LhTcHpp( )tpfThck TLt 第4页/共42页纯物质凝固相场模型( )tpfThck TLt 2ThuDutt)()()(122pTTTLgHtMmm22)1 ()(g)23()(2pupgt)()(22MH1H/HTcLMp2pmcLTTu/pTckD)(h第5页/共42页TDtT2LsnfnTnTKVL10dTTM尖锐界面模型相场模型？渐近分渐近分析析10ad Daa21Interface

4、 kinetic coefficientCapillary lengthNote the details of a1 and a2 depend on the form of h(). See A. Karma and W.R. Rappel, Phys. Rev. E (1996) 2ThuDuttupgt)()(22第6页/共42页MMW第7页/共42页各向异性各向异性 p各向异性是自然界呈现如此丰富多彩的根源第8页/共42页第9页/共42页 04=1cos4 n1212iihhh二维四重对称晶体的界面能极图及其平衡形状晶面的界面能与该晶面到中心的距离 44041cos4.1 31sinc

5、os.1 3snanWulff理论第10页/共42页 cossinnxy1tanyx各向异性的描述2222yxxyxyxy 第11页/共42页22222222() 2 2()()()yxxyxyyxyxxxyyyxxyfxy )4cos1 (40r4sin44rddxyarctg2222211yxyxxxyxxyxxxyxxyxyxyxxx2222211yxyxyxyyxyxyxyyxyxyxyyyy4cos164rdd 界面能各向异性在相场动力学方程中的描述第12页/共42页 222(1)(1)tyxnuxy upgyxffnxyt)()()()(222各向同性相场控制方程：upgt)()(

6、2242)(42g532)(53p)4cos1 (40r240)4cos1 (r)1 ()1 (2222ut第13页/共42页01000 2000 3000 4000 5000 6000 700001000200030004000500060007000 with noise no noisep晶体的实际生长中，能量、温度和浓度的随机涨落是客观存在的。p引入噪声可以获得形貌逼真的具有高次分支的枝晶，噪声的引入仅引发侧向分支的生长，并不改变枝晶尖端稳态行为。随机涨落（噪声） p侧向分枝产生的原因：噪声选择放大机制？内在确定性机制？未有定论。在相场方程和浓度方程中引入与时间和空间相关的均值为零的成

7、高斯分布的随机变量直接在相场方程中引入与能量有关的随机数随机噪声引入方法,RFMMr tt ),(tTcfrFM第14页/共42页)()()()()(1 (),(HgTfpTfpTfSL)()()()(),(pTTTLHgTfTfmmL 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 dpTTTLHgFmm)()()(222序参量化学自由能密度系统自由能泛函)()()(122pTTTLgHtMmm相场动力学方程)23()(2p22)1 ()(g01LS，相场和温度场第15页/共42页 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 温度场控制方程( )tpfThck TLt )(h相场模型

8、参数确定渐近分析10ad Daa21毛细长度动力学系数平衡解分析界面厚度界面能第16页/共42页 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 222(1)(1)tyxnuxy各向异性动力学各向异性界面能各向异性)4cos1 (40r240)4cos1 (r加入各向异性后相场控制方程形核、侧向分枝的产生需要加入可控的噪声项,RFMMr tt 随机涨落),(tTcfrFM第17页/共42页相场法应用实例（II） 单相二元合金凝固相场模型单相二元合金凝固相场模型 p自由能的构造自由能的构造pWBMWBM相场模型相场模型pKKSKKS相场模型相场模型第18页/共42页nLiVmcTTmA22TT

9、tcDct nn)()1 ()(LLSSLLSScDcDcVkTTLVGibbs-Thompson Equation界面守恒条件控制方程第19页/共42页T=constant序参量单相二元合金凝固相场模型 成分场、相场、温度场自由能函数构造纯物质二元合金第20页/共42页自由能密度构造方法纯物质自由能 TfTfBA,机械混合混合熵过剩自由能单相二元合金凝固相场模型 第21页/共42页简化 , ,1,ln1ln 111ln1ln 11ABABMMABABMMfc Tc fTcfTRT cccccc LTTTTWgc LcLpRT cccccc LTT , ,1ln1ln 1ABfc TWgc H

10、cHpRT cccc理想溶液单相二元合金凝固相场模型 第22页/共42页cfMcFMtcfMFMtcVcV)(22单相二元合金相场模型2222, ,22cVFfcTcdV , ,1ln1ln 1ABfc TWgc HcHpRT cccc)1)()(BAcHHcPgWfccRTpHHcfAB1ln)()(可去掉第23页/共42页v理想合金熔体的等温凝固的理想合金熔体的等温凝固的WBM模型模型2()( )( )(1)ABMWgpc HcHt 11cABcmcRTM pHHMctcc AMAMAATTTLH)10156()(23p)1 ()(22gBAcMMcM)1 (BMBMBBTTTLH lsm

11、cDpDccRTM1单相二元合金相场模型Wheeler-Boettinger-McFadden(1993)第24页/共42页令c0222221302112TTTLMWMdtdAMAMAA)10156()(23P)1 ()(22g)1)()()(2BAcHHcPgWMdtd)()()(2AHPgWMdtdAMAMAATTTLH得到纯组元相场方程单相二元合金相场模型第25页/共42页p自由能的构造自由能的构造pWBMWBM相场模型相场模型pKKSKKS相场模型相场模型第26页/共42页 , ,1(1)ln(1)ln11ABmsLRTfc Tc fcfccccccppp从纯组元A和B的自由能入手 ,

12、 ,11,SLABfc Tc WcWgpfc Tpfc Tp从液相和固相的自由能入手)()()(1 ()()(),(gWTfpTfpTfASALAA自由能密度构造方法单相二元合金相场模型第27页/共42页 WgTcfhTcfhcTfLLSS,1, 10211 ln)1ln()1 (1,LcLccccccRTfcfcTcfSSSSSSSmSSSASSSB 10211 ln)1ln()1 (1,LcLccccccRTfcfcTcfLLLLLLLmLLLALLLB单相二元合金相场模型第28页/共42页p质量守恒 p化学势相等 单相二元合金相场模型第29页/共42页 fMtffDtcccc22KKSK

13、KS合金相场模型合金相场模型 WgcfhcfhcftxcftxcfchchcLLSSLLcSScLSLS1,1插值函数插值函数双阱函数双阱函数p注意cs 、cL是c、的函数 单相二元合金相场模型第30页/共42页 LSchchc1cchcchLs)(1 )(1txcftxcfLLcSScLS,ccdctxcdfccdctxcdfLLLLcsSSScLS, LLccSSccLLccScfhcfhcfcc1 LLccSSccSSccLcfhcfhcfcc1)(,SSccSSSccfdctxcdfS)(,LLccLLccfdctxcLdfL单相二元合金相场模型第31页/共42页 LLccSSccLL

14、ccSLScfhcfhcfcchc1 LLccSSccSSccSLLcfhcfhcfcchc1 LSchchc1)()(1 )(0LSLscchchchtxcftxcfLLcSScLS,LLLLcsSSSccdctxcdfcdctxcdfLS,单相二元合金相场模型第32页/共42页 gWcfcccfcfhtMLLcSLSSLLL21 SLcchDcDtc LLccccffDtcL单相二元合金相场模型第33页/共42页单相二元合金相场模型第34页/共42页pKKS相场模型参数与实际材料参数的联系 w22 . 2223w),(2120eLeSLemccwDMkmRTV)1 ()()()()(1 )

15、(1)()()(),(0001000002dcfhcfhhhcccfcfcceLLcceSScceSeLeLLcceSScceLeS实际参数：界面能、界面厚度、动力学系数相场参数：梯度项系数、双阱势高度w、相场动力学系数Mp通过数值方法求解控制方程 有限差分法、有限元法、有限体积法、Fourier谱方法单相二元合金相场模型第35页/共42页界面上的浓度:WBM : KKS: pWBM：界面定义为成分相同的固相和液相混合物pKKS：界面定义为化学势相同的固相和液相混合物0cc eLeSchchc001界面上的自由能:WBM : KKS : *00*001cfhcfhfLS eLLeSScfhcf

16、hf001单相二元合金相场模型第36页/共42页9 . 01 . 0000)0()()(22zzwgdpWBM模型一维稳态解pKKS模型一维稳态解)(2002gdxdxx2tanh121)(0单相二元合金相场模型第37页/共42页p一维稳态下相场解与浓度场解完全脱耦 p界面厚度可选取较大值，模拟尺度较大p界面能不依赖于界面厚度 p易于与CALPHAD相结合Advantage of KKS Model 单相二元合金相场模型Disadvantage of KKS Model p界面条件的合理性需进一步考虑p数学上没有经过严格的渐近性分析，无法定量化第38页/共42页Isothermal Dendritic GrowthSolutal fieldAdaptive meshW = 750l t*end = 1000 t* = 100W = 750l t*end = 1000 t