实际问题与二次函数1

1、同学们，今天就让我们一同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！我们带来的乐趣吧！ 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，元，每星期可卖出每星期可卖出300件，市场调查反件，市场调查反映：每涨价映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？请大家带着以下几个问题读题请大家带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及

2、到哪些变量？哪一个量是）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？自变量？哪些量随之发生了变化？ 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期元，每星期可卖出可卖出300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每元，每星期可多卖出星期可多卖出18件，已知商品的进价为件，已知商品的进价为每件每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？分析分析:调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：先来看涨价的情况：设每件涨价设每件涨价x元，则每星期售

3、出商元，则每星期售出商品的利润品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y与与x的函数关系式。的函数关系式。涨价涨价x元时则每星期少卖元时则每星期少卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件,销销额为额为 元，买进商品需付元，买进商品需付 元因此，所得利润为因此，所得利润为元元10 x(300-10 x)(60+x)(300-10 x)40(300-10 x)y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x)即即6000100102xxy(0X30)6000100102xxy(0X30)625060005100510522最大值时，yabx可以看出，这个函数的可以看出，这个

4、函数的图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，点是函数图像的最高点，也就是说当也就是说当x取顶点坐取顶点坐标的横坐标时，这个函标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标以求出顶点的横坐标.元x元y625060005300所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考请你参考（1）的过程得出答案。的过程得出答案。解：设降价解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖元时利润最大，则每

5、星期可多卖18x件，实件，实际卖出（际卖出（300+18x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买元，买进商品需付进商品需付40(300-10 x)元，因此，得利润元，因此，得利润60506000356035183522最大时，当yabx答：定价为答：定价为 元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6050元元 3158做一做做一做由由(1)(2)的讨论及现在的销售的讨论及现在的销售情况情况,你知道应该如何定价能你知道应该如何定价能使利润最大了吗使利润最大了吗?60006018183004018300602xxxxxy(0 x20)（1）列出二次函数的解析式，

6、并根）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。大值或最小值。1.在在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克）25242322销售量 y（千克）2000250030003500（1

7、）在如图的直角坐标系内，作出各组）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（有序数对（x，y）所对应的点连接各）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断点并观察所得的图形，判断y与与x之间的之间的函数关系，并求出函数关系，并求出y与与x之间的函之间的函数关系式；数关系式；（2）若樱桃进价为）若樱桃进价为13元元/千克，试求销千克，试求销售利润售利润P（元）与销售价（元）与销售价x (元元/千克千克)之间之间的函数关系式，并求出当的函数关系式，并求出当x取何值时，取何值时，P的值最大？的值最大？解：（解：（1）正确描点、连线由图象可知，）正确描点、连线由图象可知，y是是x的一次的一次函数设函数设

8、ykxb ，点（点（25，2000），（），（24，2500）在图象上，）在图象上，bkbk242500252000解之得：解之得： ，14500500bk y 500 x14500 （2）P（x13）y（x13）（500 x14500）500 x 221000 x188500500（x21）232000P与与x的函数关系式为的函数关系式为P500 x 221000 x188500，当销售价为，当销售价为21元元/千克时，能获得最大利润千克时，能获得最大利润 (03河北）河北） 2：某高科技发展公司投资：某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替

9、代产品，并投入资金市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：元，在销售过程中发现：当销售单价定为当销售单价定为100元时，年销售量为元时，年销售量为20万件；销售单价每增加万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少元，年销售量将减少1万件，设销售单价为万件，设销售单价为x元，年销售量为元，年销售量为y万件，年获利（年获利年销售额生产成本投资）万件，年获利（年获利年销售额生产成本投资）z万元。万元。（1）试写出）试写出y与与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）之间的函数关系

10、式；（不必写出的取值范围）（2）试写出）试写出z与与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）（3）计算销售单价为）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明，万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价

11、第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？（元）应确定在什么范围内？ 解：（解：（1）依题意知，当销售单价定为）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量元时，年销售量减少减少 (x-100)万件万件. y=20- (x-100) = - x+30.即即y与与x之间的函数关系式是之间的函数关系式是: y = - x+30.（2）由题意，得：）由题意，得：z = (30- )(x-40)-500-1500 = - x2+34x-3200.即即z与与x之间的函数关系式是之间的函数关系式是: z = - x2+34x-3200.(3) 当当x取取160时，时，z= - 1602+34160-3200

12、 = - 320. - 320 = - x2+34x-3200.整理，得整理，得x2-340+28800=0.由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得 160+x=340. x=180.即同样的年获利，销售单价还可以定为即同样的年获利，销售单价还可以定为180元元. 当当x=160时，时，y= - 160+30=14;当当x=180时，时，y= - 180+30=12.即相应的年销售量分别为即相应的年销售量分别为14万件和万件和12万件万件. 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 （4）z = - x2+34x-3200= - (x-170)2

13、-310.当当x=170时，时，z取最大值，最大值为取最大值，最大值为-310.也就是说：当销售单价定为也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资万元就可以收回全部投资. 第二年的销售单价定为第二年的销售单价定为x元时，则年获利为：元时，则年获利为：z = (30- x)(x-40)-310 = - x2+34x-1510.当当z =1130时，即时，即1130 = - x2+34x -1510.整理，得整理，得 x2-340 x+26400=0.解得解得 x1=120, x2=220.函数函数z

14、= - x2+34x-1510的图象大致如图所示：由图的图象大致如图所示：由图象可以看出：当象可以看出：当120 x220时，时，z1130.所以第二年的销售单价应确定在不低于所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于元且不高于220元的范围内元的范围内. 110 110 110 110 110 110 O O120170 220 x(元)z(万元)13801130例：某机械租赁公司有同一型号的机械设备例：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部元时，恰好全部租出。

15、在此基础上，当每套设备的月租金每提高租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益租金收入支出费用）为司出租该型号设备的月收益（收益租金收入支出费用）为y（元）。（元）。（1）用含）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费租设备（套）的支出费（2）求）求

16、y与与x之间的二次函数关系式；之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为）当月租金分别为300元和元和350元式，租赁公司的月收益分别元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（）请把（2）中所求出的二次函数配方成）中所求出的二次函数配方成 的形式，并据此说明：当的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？的月收益最大？最大月收益是多少？224()24bacbya xaa解：（解：（1）未租出的设备为）未租出的设备

17、为 套，所有未出租设备支出的费套，所有未出租设备支出的费用为（用为（2x540）元；）元；（2）（3）当月租金为）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为元时，租赁公司的月收益为11040元，此时元，此时租出设备租出设备37套；当月租金为套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备元，此时租出设备32套。因为出租套。因为出租37套和套和32套设备获得同套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果套；如果考虑市场占有率，应该选择考虑市场占有率，应该选择37套；套；（4） 当当

18、x325时，时，y有最大值有最大值11102.5。但是当月租金为但是当月租金为325元时，出租设备的套数为元时，出租设备的套数为34. 5套，而套，而34.5不不是整数，故出租设备应为是整数，故出租设备应为34（套）或（套）或35（套）。即当月租金为（套）。即当月租金为330元（租出元（租出34套）或月租金为套）或月租金为320元（租出元（租出35套）时，租赁公套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为司的月收益最大，最大月收益均为11100元。元。27010 x22701(40)(2540)655401010 xyxxxx 221165540(325)11102.51010yxxx 例例：

19、（：（07河北）河北）某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在元，生产厂家要求每箱的售价在40元元70元之间市元之间市场调查发现：若每箱场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售元销售，平均每天可销售90箱，价格箱，价格每降低每降低1元，平均每天多销售元，平均每天多销售3箱；价格每升高箱；价格每升高1元，平均每元，平均每天少销售天少销售3箱箱（1）写出平均每天的销售量）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价（箱）与每箱售价x（元）之（元）之间的函数关系式（注明自变量间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）；的取值范围

20、）；（2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每（元）与每箱牛奶的售价箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润=售价进价）；售价进价）；（3）请把（）请把（2）中所求出的二次函数配方成）中所求出的二次函数配方成 的形式，并指出当的形式，并指出当x=40、70时，时，W的值的值（4）在坐标系中画出（）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图）中二次函数的图象，请你观察图象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？利润为多少？

21、abacabxay44)2(22解：（解：（1）y=2403x；（；（2）W=3x2+360 x9600（40 x70）；（）；（3）W=3（x60）2+ 1200当当x =40时，时，W=0；当；当x =70时，时，W=900（4）图象）图象略由图象可知：当售价为略由图象可知：当售价为60元时，最大销售利润元时，最大销售利润为为1 200元元 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高地面高 米，与篮圈中心的水平距离为米，与篮圈中心的水平距离为8 8米，当球米，当球出手后水平距离为出手后水平距离为4 4米时到达最大高度米时到达最大高度4 4米，

22、设篮米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3 3米。米。209 问此球能否投中？问此球能否投中？3米2098米4米4米048（4，4）920 xy如图，建立平面如图，建立平面 直角坐标系，直角坐标系，点（点（4，4）是图中这段抛物）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：物线对应的函数为：442xay(0 x8)9200，抛物线经过点4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx时，当篮圈中心距离地面篮圈中心距离地面3米米此球不能投中此球不能投中若假设出手的角度和力度都不变若假设出手的角度和力

23、度都不变, ,则如何才能使此球命中则如何才能使此球命中? ?探究（1）跳得高一点）跳得高一点（2）向前平移一点）向前平移一点-5510642-2-4-6yx（4，4）（8，3）200,9 在出手角度和力度都不变的情况下在出手角度和力度都不变的情况下, ,小明的出手高度小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈为多少时能将篮球投入篮圈? ?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9208,9-5510642-2-4-6yX（8，3）（5，4）（4，4）200,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向

24、前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？入篮圈？(，），）例：某跳水运动员进行例：某跳水运动员进行10米跳台训练时，身体（看成一点）在空米跳台训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线如图所示（图中标出的数据为已知条中的运动路线是一条抛物线如图所示（图中标出的数据为已知条件），在跳某个件），在跳某个 规范动作时，通常情况下，该运动员在空中的最规范动作时，通常情况下，该运动员在空中的最高处距水面高处距水面10 m,入水处距池边的距离为入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面，运动员在距水面高度为高度为5 m以前，必须完成规范的翻腾动作，

25、并调整好入水姿势，以前，必须完成规范的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。否则就会出现失误。23（1）求这条抛物线对应）求这条抛物线对应的二次函数解析式的二次函数解析式（2)在某次试跳时，测得运动员在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（在空中的运动路线是（1）中的抛物线且）中的抛物线且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为的水平距离为3 m，问此次跳水会不会失误，问此次跳水会不会失误，通过计算说明理由。通过计算说明理由。253m10m1m跳台支柱水面池边ByAx解解：（：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为）在给定的直角坐标系下，

26、设最高点为A，入水，入水点位点位B，抛物线的关系式为：，抛物线的关系式为：y=ax2+bx+c由题意知，由题意知，O、B两点的坐标依次为（两点的坐标依次为（0，0），（），（2，-10）且顶点的纵坐标为）且顶点的纵坐标为23c=04a4ac-b2=234a+2b+c=-10解得：解得：a=-256b=103c=0或或a=-32b=-2c=0抛物线对称轴在抛物线对称轴在 y轴右轴右侧，侧，- 0b2a又又抛物线开口向下，抛物线开口向下，a0,b0a=- b= c=0256103 抛物线关系式为抛物线关系式为y=- x2+ x256103 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为当运动员在空中距池边

27、的水平距离为3 m,即即3 -2= 时，时，y=(- ) ( )2+ =-53538525685103 85316此时运动员距水面的高为此时运动员距水面的高为10- =316143因此此次跳水会出现失误因此此次跳水会出现失误例：例： （05河北）某食品零售店为仪器厂代销一种面河北）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为当这种面包的单价定为7角时，每天卖出角时，每天卖出160个。在个。在此基础上，这种面包的单价每提高此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店角时，该零售店每天就会少卖出

28、每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是每个面包的成本是5角。角。设这种面包的单价为设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为面包所获得的利润为y（角）。（角）。用含用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；的面包个数；求求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？包获得的利润最大？最大利润为多少？解：解：每个面包的利润为每

29、个面包的利润为(x5)角，卖出的面包个数为角，卖出的面包个数为（30020 x）（或）（或160（x7）20） （2）150040020)5)(20300(2xxxxy即：即：1500400202xxy（3）500)10(2015004002022xxxy当当x=10时，时，y的最大值为的最大值为500。当每个面包单价定为当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为的利润最大，最大利润为500角角例：例： （06河北）河北）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结

30、算，里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售元时，月销售量为量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售元时，月销售量就会增加量就会增加7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为元设每吨材料售价为x（元），（元），该经销店的月利润为该经

31、销店的月利润为y（元）（元）（1）当每吨售价是）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；元时，计算此时的月销售量；（2）求出）求出y与与x的函数关系式（不要求写出的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大当月利润最大时，月销售额也最大”你认你认为对吗？请说明理由为对吗？请说明理由解：（解：（1） =60（吨）（吨）（2）化简得：化简得： （3）利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨利达经销店要获得最大月利润，材

32、料的售价应定为每吨21元元 （4）我认为，小静说的不对）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，理由：方法一：当月利润最大时，x为为210元，元，而对于月销售额而对于月销售额 来说，当来说，当x为为160元时，月销售额元时，月销售额W最大最大当当x为为210元时，月元时，月销售额销售额W不是最大不是最大小静说的不对小静说的不对 方法二：当月利润最大时，方法二：当月利润最大时，x为为210元，此时，月销售额为元，此时，月销售额为17325元；而当元；而当x为为200元时，月销售额为元时，月销售额为18000元元1732518000，当月利润最大时，月销售额当月利润最大时，月销售额W不是

33、最大不是最大小静说的不对小静说的不对5 . 71024026045260(100)(457.5)10 xyx23315240004yxx 24000315432xxy23(210)90754x )5 . 71026045(xxW23(160)192004x例：图例：图141是某段河床横断面的示意图查阅该河段的水文资料，得到下表中是某段河床横断面的示意图查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：的数据： （1）请你以上表中的各对数据（）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图）作为点的坐标，尝试在图142所示的所示的坐标系中画出坐标系中画出y关于关于x的函数图象；的函数图象； （2）

34、 填写下表：填写下表： 60 x /m图142y/ m20461012141030 40O5028 根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示表示y的二次函数表达式：的二次函数表达式： （3）当水面宽度为）当水面宽度为36 m时，一艘吃水深度（船底部到水时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为面的距离）为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过？为什的货船能否在这个河段安全通过？为什么？么？ 解：（解：（1）图象如下图所示）图象如下图所示. O102030405060 x/m2141210864y/m（2）2xyx5102030405020020020020020020021.200yx（3）当水面宽度为）当水面宽度为36m时，相应的时，相应的x=18，则，则 此时该河段的最大水深为此时该河段的最大水深为1.62m 因为货船吃水深因为货船吃水深为为1.8m，而，而1.621.8, 所以当水面宽度为所以当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个时，该货船不能通过这个河段河段. 21181.62,200y 例例（08河北）河北）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第为投资商在甲