毕业论文正项级数敛散性

1、目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11正项级数相关概念11.1定义11.2收敛的充要条件12正项级数敛散性判别法22.1判别级数发散的简单方法22.2比较判别法22.3柯西判别法32.4达朗贝尔判别法42.5积分判别法52.6拉贝判别法52.7其他判别法63判别方法的比较 73.1不同方法的比较及应用73.2判别正项级数敛散性方法的总结8致谢8参考文献89正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学 赵云炳指导教师 郭英新摘要：正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数

2、收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍.关键词：正项级数 收敛性 判别法 比较 应用Positive Series Convergence Criterion of Comparison and Its ApplicationMathematics and Applied Mathematics ZhaoYunbing Tutor GuoYingxinAbstract：Positive series is a series of important theoretical component

3、and its convergence is the core issue of series theory .Although positive series convergence judgment methods more ,there still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed

4、up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency.Key words: positive series ; convergence; methods; compare；application 引言 级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数

5、中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.1.正项级数相关概念1.1定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数 1.2收敛的充要条件定理1 正项级数收敛它的部分和数列有上界.证明 由于,所以是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理积分判别法、比较判

6、别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2 正项级数敛散性判别法21 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理柯西收敛准则:级数收敛有.取特殊的,可得推论:若级数收敛,则.定理2 该推论的逆否命题:若,则级数发散.22 比较判别法 定理及其极限形式 定理3 (比较判别法) 有两个正项级数与,且,有,c是正常数. 1）若级数收敛,则级数也收敛;2）若级数发散,则级数也发散.比较判别法的极限形式 有两个正项级数与,且 1）若级数收敛,且,则级数也收敛; 2）若级数发散,且,则级数也发散.例1 设，讨论的敛散性。 解：由于，且，故，即，由比较判别法知当时，收敛；当时，发

7、散。注：对通项以乘积或方幂的形式出现的级数，常常对通项取对数然后判定敛散性。在求极限、求导数运算中也常常先取对数再运算。例2 判别级数的敛散性.解: 由于,又因为是发散的,则原级数也发散.23 柯西判别法(根值判别法) 定理及其极限形式 定理4 (柯西判别法) 有正项级数,存在常数. 1）若,有 ,则级数收敛; 2）若存在无限个n,有 ,则级数发散.证明 1）已知有 或 .又已知几何级数收敛,于是级数收敛.2）已知存在无限个n,有 或 ,即不趋近于,于是级数发散.根值判别法的极限形式 有正项级数,若 ,则 1）当时,级数收敛; 2）当时,级数发散.例1 判别级数的敛散性。解: 由于,所以根据柯

8、西判别法的推论知,级数发散.24 达朗贝尔判别法(比值判别法) 定理及其极限形式 定理5 (达朗贝尔判别法) 有正项级数,存在常数. 1）若,有 ,则级数收敛; 2）若,有 ,则级数发散.比值判别法的极限形式 有正项级数,且1）当时,级数收敛;2）当时,级数发散.例1 判级别数的敛散性.解: 由于,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数收敛.例2 判别级数的敛散性.解: 由于,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数发散.25 积分判别法 定理 (积分判别法) 设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散. 例1 判别级数的敛散性.解:将原级数换成积分形式,由于,即收敛,根据积分判别法可知

9、,级数也收敛.例2 讨论级数的敛散性 解：设则在上为非负递减，而 故由积分判别法知发散。26 拉贝判别法定理及其极限形式 (拉贝判别法) 有正项级数,存在常数.1) 若,有,则级数收敛；2) 若,有,则级数发散.拉贝判别法极限形式 有正项级数,且极限存在,若1) 当时,级数收敛;2) 当时,级数发散.例 讨论级数当时的敛散性.解: 当时,由于,所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当时,由于,所以原级数是发散的.当时,由于,所以原级数收敛.27其它判别法 （一）阿贝尔判别法若数列，且（）为单调有界数列，级数收敛，则级数收敛。 （二）狄利克雷判别法若数列，且数列（）单调递减，又级数的部分和数列有

10、界，则级数收敛。（三）Abel变换（分部求和公式） 设，是两数列，记，k=1,2,3则。事实上，Abel变换就是离散形式的分部积分公式。记，则分部积分公式可以写为。将数列的通项类比于函数，求和类比于求积分，求差类比于求微分，对应于，两者是一致的。应用此变换与Cauchy准则结合可以判断一些低级的敛散性。 3 判别方法的比较31 不同方法的比较及应用 （一）当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。（二）当级数表达式型如，为任意函数、级数一般项如含有或等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P

11、级数、调和级数进行比较、不易算出或、等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例：（1） 级数收敛（2） 级数收敛比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。（三）当级数含有阶层、n次幂，型如或或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比式判别法。当通项含与的函数可以选用比式判别法的极限形式进行判断。（五）当级数表达式型如，为含有的表达式或可以找到原函数，或级数为上非负单调递减函数，含有等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。例：（六）当级数同时含有阶层与n次幂，型如与时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其

12、敛散性的时候，选用拉贝判别法。例 （七）当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有等三角函数、等；或可化为，如；也可以型如，为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。例：32 判别正项级数敛散性方法的总结综上所述,判别正项级数的敛散性有多种方法,比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、积分判别法。但是它们各自适用于不同的形式的正项级数,根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决.如果原级数容易找到一个常用的比较因子,判断出它们之间的大小关系,则用

13、比较判别法;如果原级数含有次幂的形式,则可考虑用柯西判别法;如果原级数含有等形式,则可试用达朗贝尔判别法;如果用上面三种方法都不容易判断敛散性,可试用拉贝判别法。致谢作为即将从曲阜师范大学数学与应用数学专业毕业的我,在四年的大学生活里,认真学习各科专业知识,积极参加社会实践活动.对我的学习方面有了显著的提高,特别是在学习态度、学习方法、学习过程与老师的沟通技能方面有了明显的提高. 回首大学四年的时光,匆匆而过,我要诚挚的感谢教育和培养我的老师们，感谢郭英新老师对本论文的悉心指导。指导老师在学习上，思想上都给予我极大的关怀和帮助，在传授我知识的同时，更注重培养我解决问题的思路和方法及创新能力，为我今后学习和工作打下了坚实的基，并开阔了我的视野。指导教师敏捷的思维和孜孜不倦的探索精神是我永远学习的榜样，我所取得的每一点进步无不凝聚着指导老师的心血,我将最诚挚的谢意奉献给我的指导教师