南航-线性系统控制理论-第三章线性系统的动态分析

1、第三章 线性系统的动态分析 系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能，对系统进行分析的目的是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。通常把对系统的分析区分为定性分析和定量分析，在定量分析中，我们对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定由外部激励作用引起的响应。本章以线性系统为对象，讨论系统的定量分析问题，指出它的运动规律。 本章在讨论中，删除第1，2节的内容，重点讲第3节。0001.( )( )( )( )( )( ),xA t xB t ux txyC t xD t uxuy t 一：动态分析的意义一：动态分析的意义问题的提出及其解的存在唯一性：问题的提出及其解的存在唯一性：

2、对于线性系统，动态方程为：对于线性系统，动态方程为：分析系统运动的目的，就是从其数学模型分析系统运动的目的，就是从其数学模型从工程上讲：出发，来定量地给出系统运动的变化规律，从工程上讲：出发，来定量地给出系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出估计。以便为系统的实际运动过程作出估计。对于给定初始状态和外输入作用 ，来求对于给定初始状态和外输入作用 ，来求从数学上讲：方程的解即由初始状态和外输入作用从数学上讲：方程的解即由初始状态和外输入作用引起的响应。引起的响应。 ( ),( )( )( ),( )( )0,)A tB tx tA tB tu t对于动态方程，首先确定是否有解，是否唯一

3、？对于动态方程，首先确定是否有解，是否唯一？尽管系统的运动是对初始状态和外输入作用的尽管系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形态却主要由系统的结构和参数响应，但运动的形态却主要由系统的结构和参数决定，即由系数矩阵所决定，状态决定，即由系数矩阵所决定，状态方程的解给出了系统运动形态对系统的结构方程的解给出了系统运动形态对系统的结构和参数的依赖关系，显然，只有当状态方程的满足和参数的依赖关系，显然，只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的分析才有初始条件的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义，从数学上看，如果系统矩阵，意义，从数学上看，如果系统矩阵，输入的所有元在时间上

4、有输入的所有元在时间上有( )tx t定义，且都是定义，且都是的实值连续函数，则状态方程的解存在且唯一，的实值连续函数，则状态方程的解存在且唯一，以后讨论中，都假定系统的解存在且唯一。以后讨论中，都假定系统的解存在且唯一。000000000( )( ,0)( )( )( )( ,0, )( )0( , )( ,xA t xt txx txxA t xB t ut tux tt tx ut tx 线性系统响应的特点：线性系统响应的特点：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，因此，线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，因此，系统在初始状态和输入向量作用下的运动分成为系统在初始状态和输入向量作用下的

5、运动分成为两个单独的运动，由初始状态引起的自由运动和由两个单独的运动，由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动，即输入作用引起的强迫运动，即的解的解和的解，和的解，则由初始状态和输入作用引起的整体响应为则由初始状态和输入作用引起的整体响应为00,0)( ,0, )t tu001212112210( ).( )( )3.7(1.2.)1.( ),( )( )( )( )2.,( )( )niiixA t xx txxA t xnnx tx txA t xx tx teenx tx te 先研究齐次动态方程 的解先研究齐次动态方程 的解考虑自主系统的解考虑自主系统的解定理系统的解构成一个

6、实数域上的 维线性空间。定理系统的解构成一个实数域上的 维线性空间。证明： 线性空间 维证明： 线性空间 维令为的任意解，对 实数和，令为的任意解，对 实数和，也是方程的解。也是方程的解。令为 个线性无关向量，是方程响应于令为 个线性无关向量，是方程响应于初始条件的解，现反设初始条件的解，现反设110101001( ),( )( ),( )0( ,)( ),( )0,0nnnnx txtx txttttttx txtee 线性相关，线性相关，则必存在非零向量 满足：则必存在非零向量 满足：当时，即当时，即11001 10111,( ),( )( ),1,( )( )( )( )3.8( )1,

7、( )( ),( )nninnniiiniiiineex txtx tinx teeex tx tx tx tinnntx txt 这与无关矛盾，故线性无关，这与无关矛盾，故线性无关，如果是方程的任一解，那么必存在常数如果是方程的任一解，那么必存在常数使使由微分方程初值问题解的唯一性，由微分方程初值问题解的唯一性，定义如果，是解空间的一组基，定义如果，是解空间的一组基，那么矩阵称为方程的一个那么矩阵称为方程的一个基本解矩阵。基本解矩阵。0( )( )( )( )EtA tttE 可以验证，基本解矩阵是下列矩阵微分方程的解，可以验证，基本解矩阵是下列矩阵微分方程的解，其中 是某一个非奇异实常量矩

8、阵，其中 是某一个非奇异实常量矩阵，011001110011( )(,)( )0( )( )0( )( )( )( )( )0( )( )0nniiinniiinniiiniiitttttttttttt 0 0性质方程的基本解阵对于中任何 均非奇异。（反证法）性质方程的基本解阵对于中任何 均非奇异。（反证法）证明：若对t ，奇异，则存在不全为 的实数证明：若对t ，奇异，则存在不全为 的实数， ，使， ，使又是方程的解，相应的初始条件又是方程的解，相应的初始条件为为则必有则必有01( ),( ),( )ntttttt 这与线性独立矛盾。因此，对任意非奇异。这与线性独立矛盾。因此，对任意非奇异。

9、00000000001001200000( )( )( ) ( )( )( )0( ),( )( )( )( )( )( )ttttttttttx tx tAxdx txx txx txxAx dxxxAxAx ddxAx dAAx 0 0现在考虑用逐次逼近法解齐次方程，在其两边取现在考虑用逐次逼近法解齐次方程，在其两边取t t 到 的积分，得到 的积分，得对已给得初始状态，得的第 次近似为对已给得初始状态，得的第 次近似为将其代入上式积分的右边，得将其代入上式积分的右边，得，再将代入上式积分的右边，再将代入上式积分的右边，得（）得（）00000000000000)( )( )( )( )(

10、,)( )( )( )( )( ,)( ,)tttttttttttttddx tIAdAAddxt tIAdAAddx tt txt t 无穷多次逼近，无穷多次逼近，令令，称为方程的状态转移矩阵。，称为方程的状态转移矩阵。000000010010010055110( )( )( )( ), ( )( )( )( )( )( )( )( )( ,)( )( )(3.9)1( , )2)( ,) ( ,x txtMx tt Mxttx ttMx tx tMtx tttxt tttPt tIt tt t 由于任何满足初始条件的解都可用基本由于任何满足初始条件的解都可用基本解矩阵列线性组合来表示，即存

11、在常值非奇异解矩阵列线性组合来表示，即存在常值非奇异矩阵，成立有矩阵，成立有令令由的任意性，必有由的任意性，必有即即也就是定义也就是定义状态转移矩阵的性质：状态转移矩阵的性质：）00)( ,)3)( , )( ) ( , )4)( ,)( )t ttA tttt tt 与的选取无关。与的选取无关。0000012211-10220210-11101104( ,)( ,)( ) ( ,)( ,) ,( ,)nt tt tA tt tttIttPtt Pt ttttPtt PPttt 证明：前三个可以用定义证明证明：前三个可以用定义证明） 方法一：由积分和式看出） 方法一：由积分和式看出方法二：由方

12、程，方法二：由方程，唯一确定。唯一确定。设 （ 和 （ ）为方程的两个任取的基解矩阵，必设 （ 和 （ ）为方程的两个任取的基解矩阵，必存在非奇异阵 ，使 （ ）（则存在非奇异阵 ，使 （ ）（则（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（由状态转移矩阵可得由状态转移矩阵可得00( )( ,) ( )x tt tx t ，齐次方程的解为，齐次方程的解为00000( )( )( )( )( )0( )( , ) ( ) ( )( ,0, )( , ) ( ) ( )ttttxA t xB t uyC t xD t ux txx ttBudt tutBud 对对非非齐齐次次状状态态方方程程的的解解0(

13、)( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( )tty tC ttBudD t u t 0000000( )( )( )( )( )0( )( ) ( ,)( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( )(0)( )( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( , ) ( )( ) () (ttttttxA t xB t uyC t xD t ux txy tC tt txC ttBudD t u ty tC ttBudD t u ty tC ttBdD ttu 对对非非齐齐次次状状态态方方程程的的解解利利用用脉脉冲冲函函数数的的采采样样性性初初始始时时刻刻0)( ,

14、) ( ) ( , ) ( )( ) ()ttdG tC ttBdD tt 脉脉冲冲响响应应矩矩阵阵0cos01001txxu 例例 ：求求状状态态方方程程的的输输出出响响应应及及脉脉冲冲响响应应矩矩阵阵。00022330000()001( )( )( )( )( )( )A11( ,)()()()2!3!1()()!0,A t tkkixAx tBu ty tCx tDu txAxx txt tIA ttA ttA ttttAttek 0 0定常线性系统的解定常线性系统的解先考虑齐次方程的解先考虑齐次方程的解因为 为常阵，该系统的状态转移矩阵为因为 为常阵，该系统的状态转移矩阵为对于定常系统

15、，状态响应曲线的形状与起点的时间无关，对于定常系统，状态响应曲线的形状与起点的时间无关，不妨设t于是有不妨设t于是有 ( ,0)( )Attte 12120()()00()0012)3)( )( )( )( )( )AAtAtA ttAtAttAtA ttAtA teIeeedeAedtx texeBudy tCexCeBudDu 指数矩阵的基本性质：指数矩阵的基本性质：）状态空间描述解为状态空间描述解为1112 22 2-11111?,12!1()2!(1,2, ),.,nAtAttAttiiinttAtneAP PePe PeIAtA tP IttPPe PAinpAPppep ep eP

16、 如何求如何求根据矩阵的约当标准型来求解根据矩阵的约当标准型来求解用定义证明，用定义证明，命题一：设 具有互异特征值命题一：设 具有互异特征值为 对应于 的特征向量，记为 对应于 的特征向量，记则则11111111211111111A,1,2!,nnnnnttAtnnnntttnntppPepp ePttppIPtteppPp ep ePe 证明：由 证明：由 1-1121212,(1,2, ),1112!(1)!11(2)!11riiriJ tJ tAtppJ ttAJordanAPdiag JJJ PJ irePdiag eePtttpttpeet 一般情况下，矩阵 的分解为一般情况下，矩阵 的分解为其中为约当块，则其中为约当块，则其中其中0102-2-311(0)1( )-1xxuxut 例例 ： 已已知知系系统统求求其其在在初初始始状状态态下下的的零零输输入入响响应应和和在在作作用用下下的的零零初初始始状状态态响响应应。-203120( ), (0)130( )1( )( ,0, ).ttetbxeu ttt tu 例例 ： 已已知知定定常常系系统统的的状状态态转转移移矩矩阵阵为为求求时时的的状状态态响响应应22224( ,0)00( 0)0(12 )4,0(12 ).tttttxAxtett etetet eA