MathStudio使用方法入门9

1、MathStudioMathStudio for iPadfor iPad 使用方法入门使用方法入门 （9 9）大衍求一术大衍求一术 与与中国剩余定理（一）中国剩余定理（一） 2015年1月12日网购了一套网购了一套四库全书四库全书、续续 修四库全书修四库全书，有条件直接涉猎中，有条件直接涉猎中国古算原著了；近日查阅国古算原著了；近日查阅数书九章数书九章（南宋秦九韶（南宋秦九韶12471247），古奥难懂，），古奥难懂，又从网上找到又从网上找到数书九章新释数书九章新释（王守义遗著（王守义遗著 李俨审校），条析甚详；李俨审校），条析甚详；边看原著，边阅新释，边以边看原著，边阅新释，边以iPad

2、MathStudioiPad MathStudio演算，渐有所悟，记之，演算，渐有所悟，记之，备忘、共享。备忘、共享。我们从小接受的数学教育都是现代数学体系，算术我们从小接受的数学教育都是现代数学体系，算术- -代数代数- -几何几何- -三角三角- -微积分微积分，书写的是阿拉伯数字和外文数学符号，使用的计算工具以，书写的是阿拉伯数字和外文数学符号，使用的计算工具以前是计算尺，现在是计算器、电脑、纸笔前是计算尺，现在是计算器、电脑、纸笔，习惯了；对古算里的语，习惯了；对古算里的语言文字、解题思路、筹算珠算之类总觉得艰涩难懂，茫然无措。言文字、解题思路、筹算珠算之类总觉得艰涩难懂，茫然无措。如

3、果我们使用现代数学理论和数学工具来解析、演算中国古算题，则如果我们使用现代数学理论和数学工具来解析、演算中国古算题，则不仅有利于探求古算奥秘，促进中西文化的融汇，而且这种穿越时空的不仅有利于探求古算奥秘，促进中西文化的融汇，而且这种穿越时空的行为本身也是一件饶有兴趣的事。行为本身也是一件饶有兴趣的事。下面主要探讨的内容是：下面主要探讨的内容是：1.1.什么是大衍求一术？什么是大衍求一术？2.2.简述大衍求一术的具体演算方法简述大衍求一术的具体演算方法3.3.尝试在尝试在iPadiPad上用上用MathStudioMathStudio来演算来演算“大衍求一术大衍求一术”例题例题什么是大衍求一术？

4、什么是大衍求一术？所谓所谓“大衍求一术大衍求一术”, , 是一种解一次同余式或联立一次同是一种解一次同余式或联立一次同余式组的方法：简单说，就是对余式组的方法：简单说，就是对 B Bx 1 (mod A) 1 (mod A) 求整数求整数x, , 其中其中 A A、 B B是给定的互质自然数是给定的互质自然数, , 在在数学九章数学九章里里A A称为称为定母定母,B,B称为称为衍数衍数, , x称为称为乘率乘率。 如果如果 A B,A bab 如果如果ababab b b0 0右列右列 上下两数辗转相除上下两数辗转相除当当 右下右下 右上时，所得商数与左上相乘加右上时，所得商数与左上相乘加 左

5、下，左下，记入左下记入左下当当 右上右上 右下时，所得商数与左下相乘加右下时，所得商数与左下相乘加 左上，左上，记入左上记入左上当当 右上右上1, 1, 右下右下=1=1时，时， 为了为了mod (mod (右上，右上，右下）右下） 0 0 取取 商数商数= =（右上（右上-1-1）/1/1当当 右上为右上为1 1，计算结束，左上即为所求乘，计算结束，左上即为所求乘率率1 衍数 b (或 奇余 b1)0 定母 a置置奇奇右上，右上，定定居右下，立居右下，立天元一于左上天元一于左上先以右上除右下，所得商先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下数与左上一相生，入左下然后乃以右行上下，以少然后乃

6、以右行上下，以少除多，递互除之，所得商除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行数随即递互累乘，归左行上下上下须使右上末后奇一而止，须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率乃验左上所得，以为乘率大衍求一术大衍求一术 有什么神奇之处？有什么神奇之处？我们通过一个比较复杂的同余式题略窥一斑我们通过一个比较复杂的同余式题略窥一斑秦九韶秦九韶数学九章数学九章的的“古历会积古历会积”里，涉及计算里，涉及计算9253 9253 x1 1（mod 225600mod 225600）如果不用大衍求一术，怎么求解呢？如果不用大衍求一术，怎么求解呢？首先能想到的是用简单易行的首先能想到的是用简单易行的“笨办

7、法笨办法”- -穷举法穷举法在联想在联想 扬天扬天R4900dR4900d台式机上台式机上 主频主频3.3GHz 3.3GHz 内存内存4GB4GB CPU Intel Core i 5-4590CPU Intel Core i 5-4590， Matlab5Matlab5计算过程耗时计算过程耗时976.662976.662秒（超过秒（超过1616分钟）分钟）在同一台式机上在同一台式机上 Matlab5Matlab5按大衍求一术编程计算按大衍求一术编程计算 计算过程耗时计算过程耗时0.0320.032秒秒穷举法计算本题至少约需穷举法计算本题至少约需1212亿次以上，亿次以上，大衍求一术仅需大衍

8、求一术仅需1212次辗转相除和相应计算次辗转相除和相应计算大衍求一术大衍求一术 简化了运算过程，大大提升了求解速度简化了运算过程，大大提升了求解速度这在古代使用筹算的年代尤为重要这在古代使用筹算的年代尤为重要穷举法计算穷举法计算 92539253* *x = 225600 = 225600* *m+1m+1联想联想 扬天扬天R4900dR4900d台式机台式机 CPU Intel Core i 5-4590CPU Intel Core i 5-4590，Matlab5Matlab5耗时耗时976.662976.662秒秒台式机台式机 大衍求一术计算耗时大衍求一术计算耗时0.0320.032秒，

9、相差秒，相差 3 3万多倍万多倍iPad2 MathStudio（穷举法未能通过）（穷举法未能通过）按大衍求一术手工计算按大衍求一术手工计算1212次辗转相除运算过程的数据如左图次辗转相除运算过程的数据如左图每次辗转相除所得商数、余数按规定每次辗转相除所得商数、余数按规定的计算规则记入后页框图的计算规则记入后页框图这样的计算这样的计算在没有电脑和计算器的古代在没有电脑和计算器的古代也是很费时费力的也是很费时费力的1 9253 0 2256001 925324 352849 219724 352849 219773 1331122 86673 1331122 866195 465317 4011

10、95 465317 401512 643389 17512 643389 1710679 1314068 410679 1314068 452883 1172717 1 52883 1以上是运用大衍求一术手工计算以上是运用大衍求一术手工计算 92539253* *x=225600=225600* *m+1 m+1 全过程的数据框图，与全过程的数据框图，与MathStudioMathStudio的编程计算结果完全符合的编程计算结果完全符合iPad2 iPad2 用大衍求一术编程解：用大衍求一术编程解：92539253* *x=225600=225600* *m+1m+1答案：答案：x=17271

11、7 m=7084 =172717 m=7084 耗时耗时 2ms 2ms 循环计算次数循环计算次数t=12 t=12 在在iPadiPad上穷举法计算未能通过，可能是内存不堪重负吧上穷举法计算未能通过，可能是内存不堪重负吧大衍求一术算出的乘率究竟是个什么数？大衍求一术算出的乘率究竟是个什么数？ s=1 b s=1 b s st t r rt t=1=1 0 a 0 a s st-1 t-1 r rt-1t-1 左图是起始状态左图是起始状态 右图是终止状右图是终止状态态 右列上下两数每次辗转相除，得商数右列上下两数每次辗转相除，得商数q, q, 余数余数r,r,经经t t次计算次计算后后 s s

12、t t=q=qt ts st-1t-1 + s + st-2 t-2 以此逆推到起始状态以此逆推到起始状态 如果得到如果得到 b bs st t 1(mod a) 1(mod a) 即得证即得证网络上可以查到许多有关用现代通用数学语言符号全面深入探讨大衍求网络上可以查到许多有关用现代通用数学语言符号全面深入探讨大衍求一术的资料，给出了大衍求一术的证明，例如一术的资料，给出了大衍求一术的证明，例如秦九韶大衍术与高斯秦九韶大衍术与高斯 （沈康身）（沈康身）论论 大衍求一术大衍求一术 （未知作者）（未知作者）大衍求一术与二元一次不定方程大衍求一术与二元一次不定方程（文耀光）等（文耀光）等有兴趣请查阅

13、，在此不赘述。有兴趣请查阅，在此不赘述。秦九韶（秦九韶（1202120212611261）的算法非常严密，但他没有对）的算法非常严密，但他没有对这一算法给出证明。这一算法给出证明。到到1818、1919世纪欧拉（世纪欧拉（1707170717831783）和高斯（）和高斯（1777177718551855）分别对一次同余式组进行了详细研究，殊途同归地获得分别对一次同余式组进行了详细研究，殊途同归地获得了与秦九韶了与秦九韶“大衍术大衍术”相同的定理。相同的定理。18521852年英国传教士伟烈亚力发表年英国传教士伟烈亚力发表中国科学摘记中国科学摘记，介绍了介绍了孙子算经孙子算经物不知数题和秦九韶的解法，引起物不知数题和秦九韶的解法，引起欧洲学者的重视；欧洲学者的重视；18761876年德国人马蒂生首先指出秦九韶年德国人马蒂生首先指出秦九韶（12471247）的算法与高斯（）的算法与高斯（18011801）的算法是一致的，在时）的算法是一致的，在时间上秦九韶领先了五百多年；因此关于这一算法被称作间上秦九韶领先了五百多年；因此关于这一算法被称作“中国剩余定理中国剩余定理”今天我们漫步在中国古算的花园里，优哉游哉，兴趣今天我们漫步在中国古算的花园里，优哉游哉，兴趣盎然；同时我们不得不对先哲们的超凡睿智满怀敬仰，盎然；同时我们不得不对先哲们的超