武汉理工大学《流体力学》课件3流体运动学和动力学基础1

1、动力学基础动力学基础流体力学基本方程流体力学基本方程 动量矩方程动量矩方程 能量方程能量方程第三章第三章 流体运动学和动力学基础流体运动学和动力学基础 3.1 研究流体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 控制体与输运公式 3.4 连续方程 3.5 动量方程和动量矩方程 3.6 伯努利能量方程及其应用 几几 个个 概概 念念1、流体运动学：从几何学的观点来研究流体运动所、流体运动学：从几何学的观点来研究流体运动所 遵循规律的流体力学分支。遵循规律的流体力学分支。2、流、流 场：流体运动所占据的空间；用欧拉法描场：流体运动所占据的空间；用欧拉法描 述的流体质点运动，其流速、压强等述

2、的流体质点运动，其流速、压强等 函数定义在时间和空间点坐标场上的函数定义在时间和空间点坐标场上的 流速场、压力场等的总称。流速场、压力场等的总称。3.1 研究流体运动的两种方法描述流体运动就是表达流动参数在空间不同位置上随时描述流体运动就是表达流动参数在空间不同位置上随时间连续变化的规律。间连续变化的规律。流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流体的流流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流体的流动参数。包括：流动速度动参数。包括：流动速度u u、压力、压力P P 、位移、位移(x,y,z)(x,y,z)、密、密度、动量、动能等。度、动量、动能等。描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，

3、还是着描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，还是着眼于研究流场空间点上流动参数的变化出发，可分为：眼于研究流场空间点上流动参数的变化出发，可分为：拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）法和法和欧拉（欧拉（EulerEuler）法。法。 液体运动有两个特征。一个是液体运动有两个特征。一个是“多多”，即液体是由众多质点组成的连续介质；另一即液体是由众多质点组成的连续介质；另一个是个是“不同不同”，即不同液体质点的运动规律，即不同液体质点的运动规律各不相同。各不相同。 因此，液体运动的描述方法与理因此，液体运动的描述方法与理论力学中刚体运动的描述方法就不可能论力学中刚体运动的描述

4、方法就不可能相同。那么，这就给液体运动的描述带相同。那么，这就给液体运动的描述带来了困难。来了困难。 怎样描述整个液体的运动规律呢？怎样描述整个液体的运动规律呢？拉格朗日法拉格朗日法: 质点系法质点系法 以液体质点作为研究对象，跟踪所以液体质点作为研究对象，跟踪所有质点，描述其运动过程，即可获得有质点，描述其运动过程，即可获得整个液体运动的规律。整个液体运动的规律。 图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 设某一液体质点设某一液体质点 在在 t = t0 占据起始坐标（占据起始坐标（a，b，c） （a，b，c，t0） 图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOa

5、xbyzct0tMt0 ：质点占据起始坐标：质点占据起始坐标： （a，b，c）t ： 质点运动到空间坐标：质点运动到空间坐标： （x，y，z）（a，b，c，t0） （x，y，z，t） 图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 跟踪这个液体质点，跟踪这个液体质点，得到其运动规律为得到其运动规律为 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 改变液体质点的初始坐标（改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪这，并跟踪这个液体质点，就可得到另一个液体质点的运动规律。个液体质点，就可得到另一个液

6、体质点的运动规律。图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 这样就得到液体整体的运动规律。这样就得到液体整体的运动规律。反复改变液体反复改变液体质点的初始坐质点的初始坐标（标（a，b，c)，并跟踪不同液并跟踪不同液体质点，就可体质点，就可得到不同液体得到不同液体质点的运动规质点的运动规律，律，图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 现在看看数学上怎么能做到这一点现在看看数学上怎么能做到这一点 。 （a，b，c，t）= 拉格朗日变数拉格朗日变数 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zx

7、yOaxbyzct0tM ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM （a，b，c） 对应液体微团对应液体微团 或液体质点起始坐标或液体质点起始坐标图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM给定（给定（a，b，c），）， 该质点轨迹方程该质点轨迹方程不同（不同（a，b，c），）， 不同质点轨迹方程不同质点轨迹方程 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx图图3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 因此，用这个公式就可描述液体因此，用这个公式就可描述液体

8、所有液体质点的运动轨迹。所有液体质点的运动轨迹。 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx 上式对上式对t 求导，得到液体质点的速度求导，得到液体质点的速度xyzx a b c tutxx a b c ty a b c tyy a b c tuttzz a b c tz a b c tutd ( , , , )d( , , , )dd ( , , , )( , , , )dd( , , , )d ( , , , )d xyzxxyyzx a b c tutxx(a b c t )y a b c tyy(a b c t ) utdtz z(a b c t )z a b c tut

9、x a b c tx a b c tautty a b c ty a buattz a b c tut222d ( , , , )d, , ,dd ( , , , ), , ,d, , ,d ( , , , )dd( , , , )d ( , , , )dddd ( , , , )d( ,ddd ( , , , )d zc ttz a b c tat222, , )dd( , , , )d 速度对速度对 t 求导，得到液体质点的加速度求导，得到液体质点的加速度 222222),(),(),(),(),(),(),(),(),( ),( ),(),(dttcbazdadttcbaydadttcb

10、axdadttcbadzudttcbadyudttcbadxudtddttcbadzudttcbadyudttcbadxutcbazztcbayytcbaxxdtdzyxzyxzyx 222222dttcbazdadttcbaydadttcbaxdadttcbadzudttcbadyudttcbadxutcbazztcbayytcbaxxzyxzyx),(),(),(),(),(),( ),( ),(),( 因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动（轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的（轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的运动。运动。 问

11、题问题 l 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点l 数学上存在难以克服的困难数学上存在难以克服的困难l 实用上不需要知道每个质点的运动情况实用上不需要知道每个质点的运动情况 points fluid limited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx 问题问题 l 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点l 数学上存在难以克服的困难数学上存在难以克服的困难l 实用上不需要知道每个质点的运动情况实用上不需要知道每个质点的运动情况 points fluid li

12、mited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx 问题问题 l 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点l 数学上存在难以克服的困难数学上存在难以克服的困难l 实用上不需要知道每个质点的运动情况实用上不需要知道每个质点的运动情况例如：水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只要知道一定地点（水例如：水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只要知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面），而不需要了解某一质点，龙头处）一定断面（门窗洞口断面），而不需要了解某一质点， 或某一流或某一流体集团的全部流动过程体

13、集团的全部流动过程 points fluid limited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx 问题问题 l 每个液体质点的运动规律都不每个液体质点的运动规律都不 同，很难跟踪足够多质点。同，很难跟踪足够多质点。l 数学上存在难以克服的困难。数学上存在难以克服的困难。l 实用上不需要知道每个质点运实用上不需要知道每个质点运 动情况，只需要知道关键之处。动情况，只需要知道关键之处。 points fluid limited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx质点太多质点太多 做不到做不到 ！数学上困难数学上困难 做不到

14、做不到 ！实用上实用上 不必要！不必要！ 一般不用这个方法描述液体的运动，一般不用这个方法描述液体的运动，但对于一些特殊问题，要用这个方法，如但对于一些特殊问题，要用这个方法，如波浪运动、波浪运动、PIV测速（粒子成像测速）等。测速（粒子成像测速）等。欧拉法：欧拉法：流场法流场法核心是核心是研究运动要素的空间分布场研究运动要素的空间分布场 设一些固定空间点，其坐标为（设一些固定空间点，其坐标为（x, y, z)。 xz空间固定点空间固定点O 考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况，以此了解整个流动在空间的分布。况，以此了解整个流动在空间的分布

15、。 xz空间固定点空间固定点O 考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况。这句话包含两层意思：况。这句话包含两层意思： xz空间固定点空间固定点O “考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况动情况”这句话，包含两层意思：这句话，包含两层意思：研究同一时刻研究同一时刻t1、不同固定点（、不同固定点（x，y，z）上液体质）上液体质点的运动，将各固定点的运动信息综合，了解该时点的运动，将各固定点的运动信息综合，了解该时刻流场。刻流场。xz空间固定点空间固定点Ot1 时刻时刻 “考察不同固定点上、不同液体质

16、点通过时的运动情考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况况”这句话，包含两层意思：这句话，包含两层意思：2. 研究不同时刻的流场，得到不同时刻的流场，如图所研究不同时刻的流场，得到不同时刻的流场，如图所示。再将各时刻流场叠加，就可知道各所有固定点在不示。再将各时刻流场叠加，就可知道各所有固定点在不同时刻、不同质点通过时的流动参数，也就知道了流动同时刻、不同质点通过时的流动参数，也就知道了流动中各质点的运动轨迹。中各质点的运动轨迹。xz空间固定点空间固定点Ot2 ， t3， t4 欧拉法：相当于在流场中设置许多固定观察点欧拉法：相当于在流场中设置许多固定观察点（x，y，z），对于液体运动的

17、分析可分为），对于液体运动的分析可分为（1）流场）流场（2）流场随时间变化）流场随时间变化 通过（通过（1）和（）和（2）综合，可得液体运动的信息。）综合，可得液体运动的信息。 欧拉法把任何一个运动要素表示为欧拉法把任何一个运动要素表示为空间坐标（空间坐标（x，y，z）和时间）和时间t 的函数。的函数。 液体质点在液体质点在t 时刻，通过任意空间固定点时刻，通过任意空间固定点 (x, y, z) 时的流速为时的流速为 ttzyxzuttzyxyuttzyxxuzyxd),(dd),(dd),(d式中，式中， (x, y, z, t ) : 欧拉变数欧拉变数 (ux uy uz) : 通过固定点

18、的流速分量通过固定点的流速分量(a, b, c) : 质点起始坐标质点起始坐标 t : 任意时刻任意时刻(x, y, z) : 质点运动的位置坐标质点运动的位置坐标(a, b, c , t ) : 拉格朗日变数拉格朗日变数(x, y, z) : 空间固定点（不动）空间固定点（不动） t : 任意时刻任意时刻(x, y, z , t ) : 欧拉变数欧拉变数拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法(a, b, c) : 质点起始坐标质点起始坐标 t : 任意时刻任意时刻 任意时刻任意时刻(x, y, z) : 质点运动轨迹坐标质点运动轨迹坐标 空间固定点（不动）空间固定点（不动）拉格朗日法拉格朗日法欧拉

19、法欧拉法 t = t0 给定时刻，（给定时刻，（x，y，z） 变数变数 同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，即流场。布，即流场。 欧拉法欧拉法（x，y，z） 给定点，给定点，t 变数变数 不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场随时间的变化。随时间的变化。欧拉法欧拉法 液体质点通过任意空间坐标时的加流速液体质点通过任意空间坐标时的加流速式中，式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量为通过空间点的加速度分量 ttzyxuattzyxuattzyxuazzyyxxd),(dd),(dd),

20、(d任一物理量任一物理量, 如压强、密度，用欧拉法表示为如压强、密度，用欧拉法表示为 ),(),(tzyxtzyxpp 一维流动，一维流动， 则则 ),(),(tspptsuu 从欧拉法来看，同一时刻不同空间位置上的流从欧拉法来看，同一时刻不同空间位置上的流速可以不同；同一空间点上，因时间先后不同，流速可以不同；同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分为速也可不同。因此，加速度分为 l 迁移加速度（位变加速度）迁移加速度（位变加速度）l 当地加速度（时变加速度）当地加速度（时变加速度）HABCD若若H H不变不变, , 则有则有 / / t=0t=0，即，即流动恒定流动恒定,

21、 , 或或定常流动定常流动, , 对等截面对等截面(A(A与与B), B), 位变导数为零位变导数为零, , 对非等截面对非等截面(C(C与与D), D), 位变导数一般不为零。位变导数一般不为零。若若H H是变化的是变化的, , 则则 / / t t不为零即不为零即非恒定流动非恒定流动, , 或或非定非定常流动，常流动，而对于位变导数而对于位变导数, , 与上述结论相同。与上述结论相同。 利用复合函数求导法，将（利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间看成是时间 t 的函数，则的函数，则 zuuyuuxuutut) t , z , y, x(uazuuyuuxuutut) t , z

22、, y, x(uazuuyuuxuutut) t , z , y, x(uazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxdddddd从数学上分析，利用复合函数求导的方从数学上分析，利用复合函数求导的方法，将法，将（x,y,z）看成是时间看成是时间t的函数，则的函数，则有加速度分量的表达式有加速度分量的表达式 zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuux

23、uututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 时变加速度分量（三项）时变加速度分量（三项） 位变加速度分量（九项）位变加速度分量（九项）l 迁移加速度（位变加速度）迁移加速度（位变加速度） 同一时刻，不同空间点上流速不同，而同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。产生的加速度。l 当地加速度（时变加速度）当地加速度（时变加速度） 同一空间点，不同时刻，流速不同，而同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度。产生的加速度。xy0(8,6)例例3.1.1 质点沿直线以速度质点沿直线以速度V=3 (m/s)运动运动, 求质点在

24、求质点在(8,6)点的加速度点的加速度 22yx u=Vcos=3 =3xv=3y2222yxxyxax= u/ t+u u/ x+v u/ y=0+3x3+3y0=9x=72m/s2ay= v/ t+u v/ x+v v/ y=0+3y0+3y3=9y=54m/s2 22222/905472smaaayx解解:kzjyiyxV2223例例3.1.2 试求点试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量处流体加速度的三个分量xduuuuuauvwdttxyz解解:ax= 0+x2y(2xy)-3y(x2)+2z2(0) = 2x3y2-3x2y = 2zvwyvvxvutvayay= 0

25、+x2y(0)-3y(-3)+2z2(0) = 9y = 18zwwywvxwutwazaz= 0+x2y(0) 3y(0) +2z2(4z) = 8z3 = 216 3.2 流体运动的基本概念流体运动的基本概念一一. .定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动 流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，这些物理量仅为空间点（而变化，这些物理量仅为空间点（x,y,zx,y,z）的函数，则称此流）的函数，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。动为定常流动，反之为非定常流动。二二. .均匀流动和非均匀流动均匀流动和非均匀流动 流体运动

26、过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而变，流体运动过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而变，这些物理量仅为时间这些物理量仅为时间t t的函数，则称此流动为均匀流动，反之的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。为非均匀流动。四四. .迹线与流线迹线与流线 迹线迹线迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同一流体质点在不同时刻的空间位置。迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同一流体质点在不同时刻的空间位置。迹线的拉格朗日表示式迹线的拉格朗日表示式 迹线的欧拉表示式迹线的欧拉表示式或式中式中t t为自变量，为自变量，x,y,zx,y,z均为均为t t的函数。的函数。迹线的特点

27、：迹线的特点： 迹线是流场中实际存在的迹线是流场中实际存在的 迹线具有持续性（迹线具有持续性（t t是自变量）是自变量）流线流线 流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。的切线都与速度矢量相重合。0kdxvdyvjdzvdxvidyvdzvsdvyxxzzy0 sdv由流线定义可推出流线的微分方由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与流线相切，程：空间点的速度与流线相切，即空间点的速度矢量即空间点的速度矢量v v与流线上微与流线上微元弧矢量元弧矢量dsds的矢量积为零。的矢量积为零。所以：所以：000d

28、xvdyvdzvdxvdyvdzvyxxzzyzyxvdzvdyvdx即：即： 上式即为流线微分方程。因为流体中一点不能同时有两个上式即为流线微分方程。因为流体中一点不能同时有两个速度方向，流线除在绕流中的驻点等特殊情况外，流线不速度方向，流线除在绕流中的驻点等特殊情况外，流线不能相交，也不能转折，只能是光滑曲线。能相交，也不能转折，只能是光滑曲线。流线的特点：流线的特点： l 流线是假想的线流线是假想的线 l 流线具有瞬时性（流线具有瞬时性（t t是参数）是参数）l 在定常流场中流线与迹线重合在定常流场中流线与迹线重合zyxvdzvdyvdx例例3.2.1 已知流场速度为已知流场速度为 0,

29、2,22222wyxyqvyxxqu其中其中q为常数为常数, 求流线方程。求流线方程。222222yxyqdyyxxqdxdx/x=dy/y 积分积分 lnx=lny+c, 即即 y=cx为平面点源流动。为平面点源流动。解解:例例3.2.2: 已知平面流场速度分布为已知平面流场速度分布为 u = 2yt+t3 v = 2xt 求时刻求时刻 t = 2 过点过点 (0,1) 的流线的流线解解:xtdytytdx2232x dx = 2ydy +t2dy t作为参量作为参量(常数常数)处理处理积分积分 有有 x2 y2 = t2y +C 将将 t=2, x=0 , y=1 代入代入 得得 C =

30、-5所以有所以有 x2 y2 4y +5 =0五五. .流管和流束、流量、当量直径流管和流束、流量、当量直径流管流管：在流场中通过一任意的非流线的封闭曲线上每一点作流线所围成的在流场中通过一任意的非流线的封闭曲线上每一点作流线所围成的管状面管状面流管的特点：流管的特点： 具有流线的所有特点；具有流线的所有特点； 在定常流中，流管形状不变，像固定的管道。在定常流中，流管形状不变，像固定的管道。流束流束：流管内的流体。可看作无数流线的集束。：流管内的流体。可看作无数流线的集束。当流束内所有流线均相互平行时称为当流束内所有流线均相互平行时称为平行流平行流；虽不完全平行，但流线；虽不完全平行，但流线之

31、间夹角很小时称为之间夹角很小时称为缓变流缓变流。处处与流线垂直的截面称为。处处与流线垂直的截面称为有效截面有效截面，平行流和缓变流的有效截面是平面。平行流和缓变流的有效截面是平面。有效截面为无限小的流束称为有效截面为无限小的流束称为微元流束微元流束；所有微元流束之总和称为；所有微元流束之总和称为总总流流。工程上常将管道或渠道壁所围的流体流动称为。工程上常将管道或渠道壁所围的流体流动称为总流总流。 流量：流量：单位时间内通过有效截面的流体量称为流量。流体单位时间内通过有效截面的流体量称为流量。流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量分别是体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量分别是体

32、积流量积流量q qv v（由于体积流量使用较多，故简写为（由于体积流量使用较多，故简写为q q） 、质量、质量流量流量q qm m和重量流量和重量流量q qG G。 对于元流，由于有效截面对于元流，由于有效截面dAdA非常小，可以近似认为元非常小，可以近似认为元流有效截面上各点的流速在同一时刻是相同的，因此元流流有效截面上各点的流速在同一时刻是相同的，因此元流的流量为的流量为 。式中。式中v v为点流速。为点流速。 总流的流量则为：总流的流量则为：vdAdq3(/ )AqvdAmsl s单位：或 平均流速：平均流速：作为一维流动，常采用作为一维流动，常采用有效截面有效截面平均速度值代平均速度值

33、代替各点的实际流速，称为替各点的实际流速，称为有效截面有效截面平均流速。平均流速是平均流速。平均流速是体积流量与体积流量与有效截面有效截面面积之比，即面积之比，即 水力半径：水力半径：在总流的在总流的有效截面有效截面上与流体相接触的固体边壁上与流体相接触的固体边壁周长称为周长称为湿周湿周，用，用表示。总流有效截面面积与湿周表示。总流有效截面面积与湿周之之比称为水力半径比称为水力半径R，即，即AudAAqvAAR 当量直径当量直径：总流总流有效截面有效截面面积的四倍与湿周之比。面积的四倍与湿周之比。Ade4常见常见有效截面有效截面的湿周、水力半径和当量直径的计算式的湿周、水力半径和当量直径的计算

34、式有效截面有效截面 r22rr2rcbdba 2cbdhba22rbaab2r2cbdhba2baab2Redabdbcah系统系统: : 包含确定不变的物质的集合称为系统包含确定不变的物质的集合称为系统基本方程利用系统导出基本方程利用系统导出, , 可通过可通过输运公式输运公式, ,以控制体的形式以控制体的形式表达出来表达出来 3.3 控制体与输运公式控制体控制体: :研究流体运动的连续的空间区域称为控制体。研究流体运动的连续的空间区域称为控制体。 相对于坐标系有固定位置、有任意确定形状的空间区域，控制体的表相对于坐标系有固定位置、有任意确定形状的空间区域，控制体的表面也称为控制面，流体质点

35、系可以按照自身运动规律穿越控制面自由面也称为控制面，流体质点系可以按照自身运动规律穿越控制面自由出入于控制体。出入于控制体。控制体与质点系的区别控制体与质点系的区别：质点系相对于坐标系不但可以有位移，而且也可以有变形；但对于控质点系相对于坐标系不但可以有位移，而且也可以有变形；但对于控制体，在运动过程中相对于坐标系的位置与形状都是固定不变的。制体，在运动过程中相对于坐标系的位置与形状都是固定不变的。t t时刻位于时刻位于(x, y, z)(x, y, z)的流体质点，在的流体质点，在t+t+ t t时刻移动至时刻移动至(x+(x+ x, y+x, y+ y, z+y, z+ z)z)处，其中满

36、足处，其中满足流体系统（质量体）在流体系统（质量体）在t t时刻占据空间（时刻占据空间（I+III+II）（总体以）（总体以 表示，取为控制体），表示，取为控制体），t+t+ t t时刻系统内流体质点移动至（时刻系统内流体质点移动至（I+IIII+III）体积中，见图。设系统）体积中，见图。设系统t t时刻携带的物理量为时刻携带的物理量为Q(x, Q(x, y, z, t)y, z, t)，则系统物理量，则系统物理量Q Q总和随时间的变化率即称为随体总和随时间的变化率即称为随体导数，可表示为导数，可表示为 twztvytuxIIItIIIt+tIIItIIIt+t由式取极限，得到输运公式为由式

37、取极限，得到输运公式为)()(1tIItIttIIIttIQQQQtQdDtD)()(1ttIIttIIItIIIttIIIQQQQtQdDtDAdAnVQdtQQdDtD)(AdAnVQdtQQdDtD)(0AndAVdtQ若流动定常若流动定常, ,则则00AnAndAVdAV不可压不可压, , 则则以上积分形式可以化为微分形式以上积分形式可以化为微分形式, , 亦可由微元亦可由微元六面体进行推导而得到六面体进行推导而得到3.4 3.4 连续方程连续方程YZXObdydzdxca2dxxuu2dxxuuu流出前表面的流出前表面的流体质量流体质量流进后表面的流进后表面的流体质量流体质量bdyd

38、zdxca2dxxuu2dxxuuudxdydzxudydzdxxuudydzdxxuu)2()2(X方向:净流量=流出-流进=dxdydzzwdxdydzyv同理y方向:Z方向:bdydzdxca2dxxuu2dxxuuu质量守恒: 净流量=流出-流进=微元体内质量的减少dxdydztdxdydzzwyvxu)(0zwyvxut0Vt0zwyvxut0Vt某些条件下, 连续性微分方程的具体形式(1) 恒定(定常)00Vzwyvxu(2) 不可压缩流体 即 =const 00Vzwyvxu(3)不可压缩平面(二维) 连续性方程有00Vyvxu由连续介质的概念和质量由连续介质的概念和质量守恒原理

39、出发，即可导出守恒原理出发，即可导出流速和过水断面之间的关流速和过水断面之间的关系式，即恒定总流连续方系式，即恒定总流连续方程。程。在恒定流条件下，元流的形状和元流段的流体质量在恒定流条件下，元流的形状和元流段的流体质量均不随时间变化；流面上不可能有流体的流进或流均不随时间变化；流面上不可能有流体的流进或流出；液流是连续介质，元流内部不存在空隙，据质出；液流是连续介质，元流内部不存在空隙，据质量守恒原理，得：量守恒原理，得： 常数 对于不可压缩的流体， ，则 常数 常数 对上式积分，可得：对上式积分，可得：引入断面平均流速得：引入断面平均流速得： 对于不可压管流对于不可压管流 , 截面小流速大

40、截面小流速大, 截面大流速小截面大流速小而对于可压缩管流而对于可压缩管流, 情况要复杂得多情况要复杂得多注意：注意：对于有固定边界的管流，即使是对于有固定边界的管流，即使是非恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然非恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然适用。适用。适用于理想流体，也可用于实际流体。适用于理想流体，也可用于实际流体。若沿流程有流量的流进或流出，则应相若沿流程有流量的流进或流出，则应相应地加上或减去。应地加上或减去。 对于以上第三点，连续性方程在形式上应对于以上第三点，连续性方程在形式上应作相应的变化。作相应的变化。当有流量汇入时当有流量汇入时：当有流量分出时当有流量分出时 ：例题例题

41、1 1、有一变直径圆管（如图），已知、有一变直径圆管（如图），已知1-11-1断面断面直径直径d1=200mm, ,断面平均流速断面平均流速v1=0.5m/s；2-2断面断面直径直径d2=100mm。试求：。试求：（1 1）2-2断面平均流速断面平均流速v2；（2）管中流量）管中流量Q 。例题例题2 2、一分岔管路一分岔管路(如图如图),已知管径已知管径d1=d2=200mm,d3=100mm,断面平均流速断面平均流速v1=4m/s,v2=3m/s，试求断面平均流速，试求断面平均流速v3。 d2d12121例例3、管道中水的质量流量为管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若若d1=300

42、mm, d2=200mm, 求流量和过流断面求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速。的平均流速。解解:smQQm/3 .010003003smdQAQV/24.43 .0413 .04122111smdQAQV/55.92.0413.041222223.5 动量方程和动量矩方程动量方程和动量矩方程 一、动量方程一、动量方程 动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。本节动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。本节讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的外力之讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的外力之间的关系。一般力学中动量定理表述为：物体动量的时间变间的关系。

43、一般力学中动量定理表述为：物体动量的时间变化率等于作用在该物体上的所有外力的矢量和。化率等于作用在该物体上的所有外力的矢量和。 vmkdtkdFvmtFdd上式是针对系统而言的，通常称为拉格朗日型动量上式是针对系统而言的，通常称为拉格朗日型动量方程方程.现应用控制体概念，将其转换成欧拉型动量方现应用控制体概念，将其转换成欧拉型动量方程。程。1212 在恒定总流中，取一流段在恒定总流中，取一流段进行研究，如图所示，分析进行研究，如图所示，分析其运动的变化。把这块流体其运动的变化。把这块流体加以放大，便于分析。加以放大，便于分析。A1A2dA1dA2u1u2121212121212经过时间经过时间

44、t 后，流体从后，流体从1-2运动至运动至1 21212112212121122 经过时间经过时间t 后，流体从后，流体从1-2运动至运动至1 212121221-21-21-21-22-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1KKKKKKKKKKKKKKKKKK d dt t 时间内水流动量变化时间内水流动量变化K K112121221-21-21-22-21-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKd dt t 时间内水流动量变化时间内水流动量变化K K1t+dtt12121221-21-21-2

45、2-21-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKd dt t 时间内水流动量变化时间内水流动量变化K K1t+dtt)( )d( : flow steady afor 2121tKttK 1-21-21-22-21-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKu1dA1A1A2d dt t 时间内水流动量的变化时间内水流动量的变化12121122dA2u2dtu1dtu2 d dt t 时间内水流动量的变化时间内水流动量的变化1u1dA1A1A22121122dA2

46、u2dtu1dtu2AdtuuuAdtuutQuVumKd d dd :body small infinitely anfor d dt t 时间内水流动量的变化时间内水流动量的变化1u1dA1A1A22121122dA2u2dtu1dtu2 AAAuudtAdtuuKdd :body entire anfor d dt t 时间内水流动量的变化时间内水流动量的变化111 22 KKK11221 11111112 222222AA2AAKu u dtdAdtu u dAKu u dtdAdtu u dA u1dA1A1A22121122dA2u2dtu1dtu2AAAAKu u dtdAdtu

47、 u dAKu u dtdAdtu uA11221 111111122222222d 因为断面上的流速分布一般因为断面上的流速分布一般不知道，所以上述积分不能完成。不知道，所以上述积分不能完成。如何解决这个积分问题？如何解决这个积分问题？tvQQvtAuvtAuvtAuutKAAAd d dd d)(d dd11111111111111111 1-1111 用断面平均流速代替用断面平均流速代替点流速分布，造成的误差点流速分布，造成的误差用一个动量修正系数用一个动量修正系数 ( (常常系数）修正，则系数）修正，则 QvAuuQvAuuQvAuuQvAuutvQAuutKtvQtvQAuutKtv

48、QtvQAuutKAAAAAAA2222 flow varied gradually afor 222221111 flow varied gradually afor 1111122222222 2-211111111 1-1221111d dd dd dd dd dddd dd :way same the in 11111-1111111112-222222222111111111dd dddd dd dd ddd for a gradually varied flow AAAAAKtu u AQvtQvtKtu uAQvtQvtKt uu AQ v tu u Au u Av Qv Q 2

49、2222222for a gradually varied flow 222dd AAu uAu uAv Qv Q 11111-1111111112-222222222111111 111dd dddd dd dd ddd d for a gradAAAAAAKtu u AQvtQvtKtu uAQvtQvtKt uu AQ v tu u Au u Av Qv Quu AvQ dually varied flow Auu AvQ 按照动量原理按照动量原理2 21 1222111222111dddKKKQvtQvtF tQvQvF 按照动量原理按照动量原理2 21 1222111222111dd

50、dKKKQvtQvtF tQvQvF zzzyyyxxxF)vv(QF)vV(QF)vv(Q112211221122 Fx ,Fy ,Fz：作用于控制体上所有外力：作用于控制体上所有外力（不包括惯性力）（不包括惯性力）在三在三 个坐标方向的投影个坐标方向的投影： 动量修正系数，渐变流断面取动量修正系数，渐变流断面取1.021.05 ， 一般取为一般取为1 zzzyyyxxxF)vv(QF)vV(QF)vv(Q112211221122 过水断面 zzzyyyxxxFvQvQFvQVQFvQvQ112211221122 流出项流出项流入项流入项外力项外力项不包括惯不包括惯性力性力不可改不可改动动的

51、的负负号号动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒 动量方程推导时，要求流量沿程相等。但是，动量方程推导时，要求流量沿程相等。但是，实际应用时，流量沿程可不等（例如，有汇流或分实际应用时，流量沿程可不等（例如，有汇流或分叉情况），动量方程应改为下列形式叉情况），动量方程应改为下列形式 ziiziijzjjjyiiyiijjyjjxiixiijxjjjFvQvQFvQvQFvQvQ )()( )()( )()(121212 流出控制体的流出控制体的 j 股水流动量和股水流动量和流入控制体的流入控制体的 i 股水流动量和股水流动量和应用动量方程解题时要注意以下几点：

52、应用动量方程解题时要注意以下几点：动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。注意外力、动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。注意外力、速度和方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。速度和方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断面对控制体内流体的作用力。面对控制体内流体的作用力。外力中包含了壁面对流体作用力外力中包含了壁面对流体作用力 ，而求解问题中往往需，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力要确定流体作用在壁面上的力 ，这两个力按牛顿第三定，这两个力按牛顿第三定理理 。动量修

53、正系数动量修正系数在计算要求精度不高时，常取在计算要求精度不高时，常取1.0。RRRRzzzyyyxxxvvqFvvqFvvqF112211221122方程中流速和作用力都是有方向的。写动量方程中流速和作用力都是有方向的。写动量方程之前，首先选择坐标轴，并注明其正向。方程之前，首先选择坐标轴，并注明其正向。 凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。坐标轴是可以任意选择的（但是必须是笛则为负。坐标轴是可以任意选择的（但是必须是笛卡儿坐标），以计算方便为宜。卡儿坐标），以计算方便为宜。 坐标轴的选择是有技巧的，坐标轴的选择应使坐标轴的选择是有技巧

54、的，坐标轴的选择应使得未知数数目越少越好，最好一个方程一个。得未知数数目越少越好，最好一个方程一个。 运用动量方程的解题要点运用动量方程的解题要点取一个控制体。控制体可任意选择，通常由下列取一个控制体。控制体可任意选择，通常由下列部分组成部分组成: : 底部、侧部：底部、侧部： 固体边壁，例如，管壁，渠底固体边壁，例如，管壁，渠底 表面：表面： 自由水面等自由水面等 横向边界：横向边界： 渐变流过水断面渐变流过水断面 控制体控制体控制体取出后，在控制面上画出未知力控制体取出后，在控制面上画出未知力例如，明渠水流：控制体包括有底板、侧边界，自例如，明渠水流：控制体包括有底板、侧边界，自由水面，过

55、水断面由水面，过水断面 做出受力图，图上画上所有受力、流量、流速、做出受力图，图上画上所有受力、流量、流速、压力等矢量。压力等矢量。 未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；反之，则说明实际力的方向和假定相反。定正确；反之，则说明实际力的方向和假定相反。 动量方程只能求解三个未知数（或者三个分量），动量方程只能求解三个未知数（或者三个分量），如果未知数的数目多于三，必须联合其他方程（连如果未知数的数目多于三，必须联合其他方程（连续方程、或能量方程）方可求解。续方程、或能量方程）方可求解。 1 1 选择坐标轴，并注明其正向选择坐标轴，并注明

56、其正向2 2 取一个控制体取一个控制体3 3 做受力图，画上受力、流量、流速、压力等矢量做受力图，画上受力、流量、流速、压力等矢量4 4 动量方程是流出项减去流入项，不可颠倒动量方程是流出项减去流入项，不可颠倒5 5未知力的方向可假定未知力的方向可假定6 6 动量方程只能求解三个未知数。未知数数目多于三，须联合动量方程只能求解三个未知数。未知数数目多于三，须联合 连续方程、或能量方程，方可求解。连续方程、或能量方程，方可求解。7 7 有汇流或分叉情况，动量方程形式改变有汇流或分叉情况，动量方程形式改变平面弯管平面弯管 l 弯管水流对平面管壁的作用力弯管水流对平面管壁的作用力 1122RxRzR

57、v1v2p1p2A1A2 取控制体，画受力图取控制体，画受力图yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2p2= 0yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2p2= 0yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2列出沿列出沿 x、y 方向的动量方程方向的动量方程 2211112221111(cos ) cos(0sin ) sinxyQvvp Ap ARQvp AR 2211=,=AQvAQvyxO sinsincos)cos(111222111221ApAQRApApAAQRyx1122RxRyRv1v2p1p2A1A2 yxRApvQRApApvvQ sin)sin(cos

58、)cos(111122211112202211AQv ,AQv yxOz1122 zxOl 弯管水流对立面管壁的作用力弯管水流对立面管壁的作用力 有一垂直立面有一垂直立面90 弯管，轴线弧长弯管，轴线弧长 L=3.14m，两断面高程，两断面高程差差 z = 2m，11 断面断面中心压强中心压强 p1 = 117.6 kN/m2 ，水头损失，水头损失hw = 0.1m，管径，管径 d = 0.2m，Q = 0.06 m3/s，试求水，试求水流对弯管的作用力。流对弯管的作用力。 11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R

59、-111222:(0) :(0) xxzzxQvFPRzQvFPGR 11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R221122121222()wwpvpvzzhggppzh = = = = -12:(0) :(0) xxzzxQvFPRzQvFPGR 11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R21112222 444xzpdRPQ vQ vpddRPGQ vLQ v = =v0Rxvv001122yO000000QvRRQ v v00.5Q0.5Q 从喷嘴中喷出的水流，以速度从喷嘴中喷出的水流，以速度v0 射向与水射向与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面阻

60、挡流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面阻挡后对称分开。若流动在一个水平面内，求射流后对称分开。若流动在一个水平面内，求射流对壁面的冲击力。对壁面的冲击力。l 水流对垂直固定平面壁的冲击力水流对垂直固定平面壁的冲击力 从喷嘴中喷出的水流，以速度从喷嘴中喷出的水流，以速度v0 射向与水射向与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面阻挡流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面阻挡以后，对称地分开。沿壁面的流速为以后，对称地分开。沿壁面的流速为v，若所，若所考虑的流动在一个水平面内上，则重力不起作考虑的流动在一个水平面内上，则重力不起作用，求此时射流对壁面的冲击力。用，求此时射流对壁面的冲击力。v0Rxvv