计算方法误差PPT课件

1、数值分析数值分析是数学与计算机技术结合的 一门学科，是利用计算机解决数学问题的理论和方法，是计算数学的一个重要分支。 第1页/共38页现代复杂工程技术问题的解决步骤工程问题上机计算数学模型结果分析问题解答设计算法第2页/共38页数值分析涉及的主要内容计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算（即使函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成的小型软件包）1.数值代数：求解线性方程组和非线性方程组的解法，分直接方法和间接方法 2.插值和数值逼近。离散的点上的函数值，想办法得到点之间的值 3.数值微分和数值积分。很多函数无法求出积分，利用数值方法求解 4.常微分方程和偏微分方程的数值

2、解法 第3页/共38页数值分析需要考虑哪些问题1.计算速度 例如：求解一个20阶线性方程组，20个未知量，用加减消原法需3000次乘法运算，用行列式求解需进行9.7*1020次运算，如果用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。 说明了算法方法的重要性2. 存储量。大型问题有必要考虑 例如算法所需要保留的中间结果比较少，则可以省下为保留中间结果所需要的额外的存储空间。第4页/共38页数值分析需要考虑哪些问题3.数值稳定性 在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关。例：一元二次方程 299(101)100 xx其精确解为91210 ,1xx如用求根公式：21,242bbacxa 和字长

3、为8位的计算器求解，有21891894104 101010bac 又9910110 ; 则9999912( 10 ) 10( 10 ) 1010 ,022xx 第5页/共38页数值分析需要考虑哪些问题 2x 的值与精确解有天壤之别。若22299942242 101( 10 ) 10bbaccxabbac 与精确解相等第6页/共38页误差的来源和基本概念误差的来源1.模型误差：在建立数学模型过程中，不可能将所有因素都考虑，必然要进行必要的简化，带来了与实际问题的误差。不是数值方法考虑的问题 2.测量误差：测量已知参数时，数据带来的误差。也不是数值方法考虑的问题 3.截断误差：在设计算法时，必然要

4、近似处理，寻求简化。这是计算数学考虑问题 4.舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算均需四舍五入，由此产生的误差称舍入误差。 数值分析主要讨论截断误差。测量误差看成初始的舍入误差，数值分析也要从整体上讨论舍入误差的影响 第7页/共38页误差的基本概念 绝对误差和绝对误差限 X*是精确值，x是它的一个近似值，称e=x-x*是近似值x的绝对误差，简称误差。绝对误差可正可负，是有量纲的。误差是无法计算的，但可以估计出它的一个上界。即 ：*,xxx称 是近似值 的误差限*xxx即第8页/共38页例如： 有毫米刻度的尺子， 读出的近似值的误差，不会超过毫米的一半（半个毫米） 。 读出 35 毫米代表

5、 34.5 到 35.5 之间。误差是半个毫米，误差限是末位的半个单位。 第9页/共38页相对误差和相对误差限 相对误差和相对误差限*exxxxx称为相近似值 的对误差，记作re相对误差是个相对数，是无量纲的，也可正可负。相对误差的估计rrer相称 为对误差限，即：*rxxxx实际计算中，x*未知，用x代替，两者的差为： 222*rxxxxxxxx xx x 第10页/共38页例：用 3.14 作为的近似值，求其相对误差。 解：四舍五入的近似值 3.14 的绝对误差 限21102， 相 对 误 差211020.159%3.14rx 第11页/共38页9.80,980gg22米 秒厘米 秒29.

6、800.5 10g2米 秒9800.5g 2厘米 秒例：重力加速度常数g。两者均有三位有效数字后者的绝对误差大，而相对误差分别为20.5 100.59.80980和两者相等，与量纲的选取无关第12页/共38页有效数字 若近似值x的绝对误差限是某一位数的半个单位，则说 x 精确到该位，若从该位到 x的左面第一位非零数字一共有n位，则称近似值x有n位有效数字。第13页/共38页0.005误差限3.1415926535,60.5 10例：3.14有三位有效数字；3.1416有五位有效数字，误差限为0.00005又例：0.003529是四位有效数字，0.00352900是六位有效数字。前者的误差限为，

7、后者为80.5 10，写成标准的浮点数为：220.3529 100.352900 10，第14页/共38页1210.10 ,01290.mlnixa aaaaa为数字 ， ， ， ， ，1,laa是有效的。当其中，有效数字的个数是l,即*0.5 10m lexx则第15页/共38页有效数字：由绝对误差决定定义定义 设x*的近似值12x0.10mnx xx ，10 x ，若x的绝对误差nm*x-x1021 则称近似值x为*x的有n位有效数字的近似值。 其中12,nx xx是x的有效数字。近似值x具有n位有效数字，它准确到第n位。 第16页/共38页例：求 3.142 和 3.141 作为圆周率的

8、近似值有几位有效数字。 解：313.1420.0004070.0005102，1m， 3,4mnn 。有 4 位有效数字。 213.1410.000590.005102，1m， 2,3mnn 。有 3 位有效数字。 第17页/共38页例： 以722作为圆周率的近似值有几位有效数字。 解解:7223.142857， 3.141592。 2102100126. 0722。因为 m=1，m-n=-2 ，所以 n=3，有 3 位有效数字。 第18页/共38页有效数字与相对误差绝对误差限、 相对误差限、 有效数字三者关系。 和 n 的关系 1102m n 和r的关系 rx n 和r的关系有两个定理。 第

9、19页/共38页定理 1： 若近似数120.10mnxx xx 具有 n 位有效数字，则其相对误差限 (1)11102nrx 证 因120.10mnxx xx ，有1110mxx， 又，x有 n 位有效数字，即1*102m nxx，因此 (1)111110*1210*102m nnrmxxexxx，即(1)11102nrx 此定理说明，相对误差限是由有效数字决定。第20页/共38页例：用 3.14 作为的近似值，求其相对误差。 解：四舍五入的近似值各位都是有效数字，即 n=3,由定理 (3 1)1100.17%2 3r 和前例比较，思考结果不同的原因。 第21页/共38页已知近似数x有两位有效

10、数字，求其相对误差限。 解解 因 n=2, (1)11102nrx第 1 位1x未给出， 11x (1)(1)11110105%22 1nnrx 91x (1)(1)11110100.56%229nnrx， 取 5%r。 第22页/共38页定理 2 若近似数12x0.10mnx xx ，的相对误差限 (1)11102(1)nrx 则它至少具有n位有效数字。 证 12x0.10mnx xx 有11(1) 10mxx 则 xxxxxx(1)1111110(1)10102(1)2nmm nxx， 即它至少具有n位有效数字。 第23页/共38页例 已知近似数x的相对误差限为0.25%， 问x至少有几位

11、有效数字？ 解解 由0.25%r，根据定理，有 (1)110.25%102(1)nx x1的取值范围是 1 到 9，由于x1未给出，取 x1=1，n= 3 x1=9，n=2 按最不利情况，x至少有 2 位有效数字。 第24页/共38页数值计算中误差的传播1. 对函数的计算：22*( ( )( )( *),( )1( ( )( )(*)( )(*)21( ( )( )( )( )( )2( ( )( )( )xxe f xf xf xf xe f xfx xxfxxe f xfxe xfexe f xfxe x设 是的近似值。如果可微,由泰勒公式得:故：忽略高项阶后可以得：第25页/共38页数值

12、计算中误差的传播2. 对多元函数的计算：1212*1212121( ,),( ,)( ( ,)()nnnnnnkkkf x xxx xxx xxf x xxf x xxxx对多元函数若分别是的近似值，则第26页/共38页数值计算中误差的传播3. 四则运算中误差的传播：121212122112211222()()();()()()()()xxxxx xxxxxxxxxxxx第27页/共38页证明第二条如下：*1212121212*122211*121222111221()()()()()()e x xx xx xx xx xx xxx xxe x xx xxxxxxxxx第28页/共38页数值计

13、算中的若干准则1. 关于数值稳定性的算法 一个程序往往需要进行大量的四则运算才能得出结果，每一步的运算均会产生舍入误差。在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法，否则就称之为不稳定的算法。第29页/共38页110110010213243546576870,1,2,1,1.0.632110.3679,1 20.26421 30.2074,1 40.17041 40.1480,1 50.11201 60.2160,1 70.72nxnnnIex e dxnInIIeIIIIIIIIIIIIIIIII 例：，用分部积分公式得递推式：用四位有效数字计算：80第30页/共38页

1404600.12500.04090.11110.5 1040320 ,4neInnIIIeIee可以估计出：故：这是由于如果 有误差不计中间再产生的舍入误差，该误差随着计算过程分别乘以2,3, ,7,8，到 时已经变成8!误差扩大了 万倍，因为该算法不稳定第31页/共38页17650701(1),0.1124,0.6321,117!5040nnIIInIIIIeIee如果递推式改为由逐步计算直到。计算结果有四位有效数字，如果 有误差 其传播到所引起的误差仅为，故该算法稳定第32页/共38页数值计算中的若干准则22511.759760110.1318 100.1316 1

15、00.2 10759760例：用四位浮点数计算解：结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的5611110.1734 10759760759 7600.5768 10结果仍然有四位有效数字。这说明算法设计的重要性2. 注意避免两个相近数的减法第33页/共38页数值计算中的若干准则255x255248163264128xxx x x x x x x3. 简化计算步骤，减少运算次数例：计算 的值。 只需14次乘法。100111)111()1(11000110001 nnnnnn又如：第34页/共38页采用“秦九韶算法”0111)(axaxaxaxpnnnnn 0121)()(axaxaxaxaxpnnnn 例：计算多项式只需n次乘法和n次加法。01 1 2nkknkuauuxak,n一般要注意，能在循环外计算就不要放在循环内计算第35页/共38页数值计算中的若干准则4. 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值377311