数理方程第一讲 定解问题1-1

1、数学物理方程 数学和物理的关系 课程的内容数学和物理从来是没有分开过的三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法 数学物理方程定义 用数学方程来描述一定的物理现象。2 222222222 45 , y 0 , ln , 45 ( , ) , 3 2, 0 , xxtxxttuuxypy qy ay x xuuf xtyy xyyxuuuxyz二 阶 线 性 非 齐 次 偏 微 分 方 程二 阶 线 性 齐 次 常 微 分 方 程一 阶 线 性 非 齐 次 常 微 分 方 程二 阶 线 性 非 齐 次 偏 微 分 方 程二 阶 非 线 性 非

2、 齐 次 常 微 分 方 程二 阶 线 性 齐 次 偏 微 分 方 程一、一、 波动方程的建立波动方程的建立条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。例例1、弦的振动、弦的振动研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。( , )u x t简化假设：(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscosTT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx t

3、x其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )ux tu x tTgxt22222uuagtx一维波动方程2Ta令：-非齐次方程非齐次方程自由项22222uuatx-齐次方程

4、齐次方程忽略重力作用：设作用在该弧段上的外力密度函数为 ，那末该弧段 在时刻 所受沿轴方向的外力近似地等于 ，于是纵向方程为 ( (, )( , )( , ),xxt tTu xxtu xtF xt xu x ( ,)Fxttt( , ).F x tx由微分中值定理得 MM (, )( , ),x xt tTuxx tx F x txux 01. , x0 x 消去 并取 极限得 ( , )( , ),x xt tTux tF x tu2 ( , ),t tx xuauf x t0,0,xL t即( , ,)()zzxxyytttux y zT uuu，2( , )( , )ttttur tT

5、uur tau 设物体在设物体在内无热源内无热源. 在在中任取一闭曲面中任取一闭曲面 S， 以函数以函数u(x, y,z,t )表示物体在表示物体在t 时刻时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度处的温度. 根据根据Fourier 热传导定律热传导定律, 在无穷小时段在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面内流过物体的一个无穷小面积积dS 的热量的热量dQ 与时间与时间dt 、曲面面积、曲面面积dS 以及以及物体温度物体温度u 沿曲面沿曲面dS 的外法线的外法线n 的方向导数的方向导数三者成正比三者成正比, 即即,ud Qkd S d tn 三维热传导方程的导出三维热传导方程的导出

6、对于对于内任一封闭曲面内任一封闭曲面S，设其所包围的空间，设其所包围的空间区域为区域为V，那么从时刻，那么从时刻t1到时刻到时刻t2经曲面经曲面S流出的热流出的热量为量为设物体的比热为设物体的比热为c(x, y, z)，密度为，密度为(x, y, z)，则在，则在区域区域V内，温度由内，温度由u(x, y, z, t1)变化到变化到u(x, y, z, t2)所所需的热量为需的热量为211ttSuQkdSdtn 21212 ( , , , )( , , , )ttVVuQcu x y z tu x y z tdvcdvdtt 其中其中k=k(x, y, z)是物体在是物体在M(x, y, z)

7、处处的热传导系数，取正值。我们规定的热传导系数，取正值。我们规定外法线方向外法线方向n所指的那一侧为所指的那一侧为dS的正的正侧。上式中负号的出现是由于热量侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低的地方。由温度高的地方流向温度低的地方。故当故当 时，时， 热量实际上热量实际上是向是向-n方向流去。方向流去。0un根据热量守恒定律，有根据热量守恒定律，有21QQ 即即2112 ( , , , )( , , , )ttVSucu x y z tu x y z tdvkdSdtn 假设函数假设函数u(x, y, z, t)关于关于x, y, z具有二阶连续偏导具有二阶连续偏导数，关于数

8、，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯具有一阶连续偏导数，那么由高斯（Gauss）公式得）公式得由于时间间隔由于时间间隔t1,t2及区域及区域V是任意的，且被是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻积函数是连续的，因此在任何时刻t，在，在内内任意一点都有任意一点都有方程方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传称为非均匀的各向同性体的热传导方程，如果物体是均匀的，此时导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及及均均为常数为常数210.ttVuuuuckkkdvdttxxyyzz .uuuuckkktxxyyzz(1.2.6)令令 ，则方程，则方程(1.2.6)化为化为它称为三维热传导方程

9、。它称为三维热传导方程。若考虑物体内有热源，其热源密度函数为若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则，则有热源的热传导方程为有热源的热传导方程为2kac22222222.uuuuaautxyz2( , , , ).tuauf x y z t (1.2.7)(1.2.8)其中其中.Ffc( , ,)()zzxxyytc u x y ztk uuu，2( , )( , )ttcu r tkuu r tau同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。边界条件：

10、能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。定解条件定解条件其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件只含边界条件A、 波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用, 其为： A、 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx，0 x aux，

11、( , )0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承, 其为:x ax auTkux或0 x auuxB、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|sufS给定区域v 的边界(2) 绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn交换系数； 周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件.uf,ufnuufn2000 (,0)|( ) ()|( )ttxxtt tuauxtuxxux 弦振动的Cauchy问题200 (,0)|( ) ()txxtua uxtuxx 包含初值条件的定解问题称为初边值问题初边值问题（Cauchy Cauchy 问题）问题） ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题混合问题 (初边值问题初边值问题) )热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题 0, 0)0( )(),()0,