第三章符号计算

1、1符号运算是符号运算是MATLAB的重要组成部分。应用符号计算功能，可的重要组成部分。应用符号计算功能，可以直接对抽象的符号对象进行微积分或代数计算，并获得问题的以直接对抽象的符号对象进行微积分或代数计算，并获得问题的解析结果。解析结果。第三章第三章 MATLAB的符号运算的符号运算什么是符号运算呢？它和数值计算有什么区别？什么是符号运算呢？它和数值计算有什么区别？u 符号运算的操作对象是非数值的符号对象。符号运算的操作对象是非数值的符号对象。u 与数值运算的区别：数值运算中必须先对变量赋值，然后才与数值运算的区别：数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。符号运算无须事先对独立变量赋值，

2、运算结果能参与运算。符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。以标准的符号形式表达。2符号对象符号对象(symbolic object)是一种数据类型是一种数据类型(sym类型类型)，用来存储，用来存储代表非数值的字符符号。可以是符号常量、符号变量、符号函代表非数值的字符符号。可以是符号常量、符号变量、符号函数及各种符号表达式及符号矩阵等。符号变量要先定义再引用。数及各种符号表达式及符号矩阵等。符号变量要先定义再引用。3.1 3.1 符号运算基符号运算基础础1、创建符号变量、符号常量、创建符号变量、符号常量在在MATLAB中，用函数命令中，用函数命令sym和和syms来创建

3、符号对象。来创建符号对象。符号对象符号对象u 符号变量是符号可变的符号对象。符号变量通常是指一个或符号变量是符号可变的符号对象。符号变量通常是指一个或几个特定的字符，不是指符号表达式。但有时可以将符号表几个特定的字符，不是指符号表达式。但有时可以将符号表达式赋值给一个符号变量，它的命名规则和达式赋值给一个符号变量，它的命名规则和MATLAB数值变数值变量的命名规则相同。量的命名规则相同。3u 用用sym( )函数输入的数值常数叫符号常量。函数输入的数值常数叫符号常量。(1) sym函数：用来建立单个符号变量或符号常量。其调用格式函数：用来建立单个符号变量或符号常量。其调用格式为：为：x=sym

4、 (x)， x为创建的符号变量，为创建的符号变量，x为输出的变量名。为输出的变量名。符号变量和数值变量是不同的。数值变量参与运算前必须先进符号变量和数值变量是不同的。数值变量参与运算前必须先进行赋值，变量的运算实际上是该变量所对应的值进行运算，其行赋值，变量的运算实际上是该变量所对应的值进行运算，其运算结果是一个和变量类型对应的值。符号变量运算前不需要运算结果是一个和变量类型对应的值。符号变量运算前不需要赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。如如a=sym (a);b=sym (b);c=sym (c);d=sym (d); %定义

5、定义4个符号变量个符号变量w=1; x=2; y=3; z=4; %定义定义4个数值变量个数值变量A=a, b; c, d %建立符号矩阵建立符号矩阵A4A = a, b c, dB=w, x; y, z %建立数值矩阵建立数值矩阵BB= 1 2 3 4det (A) %计算符号矩阵计算符号矩阵A的行列式的行列式ans= a*d - b*cdet (B) %计算数值矩阵计算数值矩阵B的行列式的行列式ans= -25u 应用应用sym( )函数还可以定义符号常量。其运算是数值常量是函数还可以定义符号常量。其运算是数值常量是有差别的。符号常量进行计算得到的是精确的数学表达式；有差别的。符号常量进行

6、计算得到的是精确的数学表达式；而数值计算得到的是一个近似值。而数值计算得到的是一个近似值。如如a=sym (8);b=8; %定义定义1个符号常量和个符号常量和1个数值常量个数值常量sqrt (a); %求符号常量求符号常量a的平方根的平方根ans= 2*2(1/2)sqrt (b); %求数值常量求数值常量b的平方根的平方根ans= 2.8284u 应用应用sym( )函数一次只能定义一个符号变量。函数一次只能定义一个符号变量。6(2) syms函数：可以在一个语句中同时定义多个符号变量，其一函数：可以在一个语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为：般格式为：syms arg1 arg2 a

7、rgN，用于将，用于将rg1, arg2,argN等符号创建为符号型数据。等符号创建为符号型数据。各变量名间用空格间隔，不能加各变量名间用空格间隔，不能加其它分隔符。其它分隔符。u 符号表达式由符号常量、符号变量、符号函数、算术运算符符号表达式由符号常量、符号变量、符号函数、算术运算符等组成。创建符号表达式等组成。创建符号表达式/方程的方法有两种：一种是直接用方程的方法有两种：一种是直接用sym函数创建，二是用已经定义的符号变量创建符号表达式。函数创建，二是用已经定义的符号变量创建符号表达式。2、创建符号表达式、创建符号表达式/方程和符号矩阵方程和符号矩阵如如f=sym (a*x2+b*x+

8、c) f= a*x2+b*x+ csyms x a b cf= a*x2+b*x+ cf= a*x2+b*x+ c7符号表达式一定要用符号表达式一定要用 (双单引号双单引号)括起来括起来MATLAB才能识别。才能识别。u 创建符号矩阵的方法也有两种：一种是直接用创建符号矩阵的方法也有两种：一种是直接用sym函数创建，函数创建，命令格式：命令格式：A=sym( ) ；二是用已经定义的符号变量创建。；二是用已经定义的符号变量创建。例如：例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 这就完成了一个符号矩阵的创建。这就完成了一个符号矩阵的创建。syms

9、 a bA=a 2*b; 3*a 0A = a, 2*b 3*a, 0注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵数值矩阵的一个重要区别。的一个重要区别。8符号对象的基本运算包括算术运算与关系运算。符号对象的基本运算包括算术运算与关系运算。符号对象无逻符号对象无逻辑运算辑运算。3.2 3.2 符号对象的基本运算符号对象的基本运算与数值计算相同，运算符与数值计算相同，运算符“+”、“-”、“*”、“”、“/”与与“”也能用于符号对象的加、减也能用于符号对象的加、减 、乘、左除、右除与求幂运算。运、乘、左除、右除与求幂运算。运算

10、符算符“.*”、“.”、“./”、“.”分别用来实现符号数组的乘、左分别用来实现符号数组的乘、左除、右除与求幂运算。除、右除与求幂运算。一、算术运算一、算术运算符号对象的关系运算只有是否符号对象的关系运算只有是否“等于等于”，没有，没有“大于、小于大于、小于”等。等。运算符运算符“=”和和“ =”分别对运算符两端的对象进行分别对运算符两端的对象进行“相等相等”与与“不等不等”的比较。当结果为真，语句执行后返回的比较。当结果为真，语句执行后返回“1”。否则返回。否则返回“0”。二、关系运算二、关系运算91. 符号变量替换函数符号变量替换函数subs ( )：其调用格式为：其调用格式为subs (

11、S, old, new)，其功能是将符号表达式其功能是将符号表达式S中的中的old替换为替换为new。old为符号表达为符号表达式中的符号变量，而式中的符号变量，而new可以是符号变量、符号常量等。可以是符号变量、符号常量等。三、基本运算函数三、基本运算函数例：已知例：已知 ，试对其进行符号变量替换：，试对其进行符号变量替换：kbyaxfn dtcekwbta ,ln,sin符号常量替换：符号常量替换：n=5, k=与数值数组替换：与数值数组替换：k=1:4syms a b c d k n x y w t;f=a*x n+ b* y+ k;f1=subs (f, a b k, sin (t)

12、log (w) c* exp (-d*t)f2=subs (f, n k, 5 pi)f3=subs (f, k, 1:4)程序运行结果为：程序运行结果为：f1 =sin(t)*xn+log(w)*y+c*exp(-d*t) 10f2 = a*x5+b*y+pi f3 = a*xn+b*y+1, a*xn+b*y+2, a*xn+b*y+3, a*xn+b*y+4即符号变量替换结果为：即符号变量替换结果为： dtnceywxtf lnsin1符号常量替换结果为：符号常量替换结果为： ybxaf52符号常量替换结果为：符号常量替换结果为： 4, 3, 2, 13 byaxbyaxbyaxbyax

13、fnnnn112. 符号表达式因式分解函数符号表达式因式分解函数factor ( )：其调用格式为：其调用格式为factor (f)。例：已知例：已知 ,试对其进行因式分解。试对其进行因式分解。 abcbacacbcbaf2222 syms a b c;f=a2*(b+ c)+ b2*(c+ a)+ c2*(a+ b)+2*a*b*c;factor (f)程序运行结果为：程序运行结果为：ans =(b+c)*(c+a)*(a+b) 即即 accbbaabcbacacbcbaf 22223. 符号表达式展开函数符号表达式展开函数expand ( )：其调用格式为：其调用格式为expand (f)

14、。例：已知例：已知 ，试对其进行展开。，试对其进行展开。 1*3*2 xyxfsyms x y; f=(2*x+3*y)*(x+1); expand (f)程序运行结果为：程序运行结果为：ans =2*x2+2*x+3*x*y+3*y函数函数expand ( )常用于多项式表达常用于多项式表达式、三角函数、指数函数和对数式、三角函数、指数函数和对数函数的展开式中。函数的展开式中。124. 符号表达式合并同类项函数符号表达式合并同类项函数collect ( )：其调用格式为：其调用格式为collect (f, v)，是将符号表达式，是将符号表达式f中变量中变量v的同幂项系数合并。的同幂项系数合并

15、。例：已知例：已知 ,试对其同类项进行合并。试对其同类项进行合并。bxaxxyyxf 22syms a b x y; f=x2*y+ x* y-a* x2- b*x;collect (f, x) %对对f按按x进行合并同类项进行合并同类项程序运行结果为：程序运行结果为：ans =(y-a)*x2+ (y-b)*x 即即 xbyxaybxaxxyyxf 222注意：上述函数注意：上述函数factor ( )、expand ( )、collect ( )都可以用于符号矩阵，都可以用于符号矩阵，但需注意的是，这些函数用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一但需注意的是，这些函数用于符号矩阵时，是分别作

16、用于矩阵的每一个元素的。还有用于符号矩阵的函数：个元素的。还有用于符号矩阵的函数：transpose (A)是返回矩阵是返回矩阵A的转的转置矩阵；置矩阵；p, q=eigensys (A)，其中，其中p返回矩阵返回矩阵A的特征向量，的特征向量，q返回特返回特征值。还有前面介绍的征值。还有前面介绍的diag、triu、tril、det等函数也可直接用于符号等函数也可直接用于符号矩阵。矩阵。135. 符号表达式通分函数符号表达式通分函数numden ( )：其调用格式为：其调用格式为numden (f), N, D=numden (f)，其中，其中N为通分后的分子，为通分后的分子，D为分母。计算为

17、分母。计算N/D则得符号表达式通分的结果。第一种调用格式则仅获得通则得符号表达式通分的结果。第一种调用格式则仅获得通分后的分子分后的分子N。例：已知例：已知 ，试对其进行通分。，试对其进行通分。pxykyxf syms k p x y; f=x/ (k*y)+ y/ (p*x); n, d=numden (f)f1=n /dnumden ( f )程序运行结果为：程序运行结果为：n = x2*p+y2*k d = k*y*p*x 14f1 = (x2*p+y2*k)/k/y/p/x ans = x2*p+y2*k即即kpxykypxpxykyxf22 6. 符号表达式化简函数符号表达式化简函数

18、simplify ( )和和simple ( )：其功能是将符号：其功能是将符号表达式进行综合化简。表达式进行综合化简。 simplify (S)是应用函数规则对是应用函数规则对S进行化进行化简。简。Simple (S)则是调用则是调用MATLAB的其他函数对表达式进行综的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程，得到表达式长度最短的简化形式。合化简，并显示化简过程，得到表达式长度最短的简化形式。例：试对例：试对 进行综合化简。进行综合化简。 ln2221cossinceexxe与与syms x c alph beta; e1=sin (x)2+cos(x)2; e10=simplify

19、(e1)e2=exp (c* log (alph+ beta); e20=simplify (e2) 15u 符号运算可以获得任意精度值的解。符号运算可以获得任意精度值的解。程序运行结果为：程序运行结果为：e10 = 1 e20 = (alph+beta)c 在在symbolic中有三种不同的算术运算：中有三种不同的算术运算：数值类型数值类型 matlab的浮点算术运算的浮点算术运算有理数类型有理数类型 maple的的精确符号运算精确符号运算 vpa类型类型 maple的任意精度算术运算的任意精度算术运算 浮点算术运算浮点算术运算如：如：1/2+1/3 (定义输出格式定义输出格式format

20、long) ans = 0.8333333333333316符号运算符号运算如：如：sym(1/2)+(1/3) ans = 5/6 精确解精确解任意精度算术运算任意精度算术运算digits (n) 设置有效数字个数为设置有效数字个数为n的近似解精度，缺省的近似解精度，缺省16位位vpa (f, n) 求得符号表达式求得符号表达式f的的n位精度的数值解。位精度的数值解。如：如：digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333 函数函数numeric ( )可将不含变量的符号对象转换为数值形式。可将不含变量的符号对象转换为数值形式。

21、173.3 3.3 微积分运算微积分运算一、极限一、极限 limit (f, x, a)：求符号函数求符号函数f（x）的极限值。即计算当变量的极限值。即计算当变量x趋近于常数趋近于常数a时，时，f（x）函数的极限值。函数的极限值。 limit(f,a)：求符号函数求符号函数f( )的极限值。由于没有指定符号函的极限值。由于没有指定符号函数数f（）的自变量，则使用该格式时，符号函数（）的自变量，则使用该格式时，符号函数f（）的变量（）的变量为函数为函数findsym (f)确定的默认自变量。确定的默认自变量。limit(f)：求符号函数求符号函数f（x）的极限值。符号函数的极限值。符号函数f（）

22、的变量（）的变量为函数为函数findsym (f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，则相当于时，则相当于a=0，系统默认变量，系统默认变量a的情况。的情况。在在MATLAB软件中，利用软件中，利用limit函数计算函数极限。其调用格式函数计算函数极限。其调用格式有有5种：种：18 limit (f, x, a, right)：求符号函数求符号函数f的右极限值。的右极限值。right表示变表示变量量x从右边趋近于从右边趋近于a。limit (f, x, a, left)：求符号函数求符号函数f的左极限值。的左极限值。left表示变量表示变量x从左边趋近于

23、从左边趋近于a。syms x ; f1=(x2-4)/(x-2);a=limit (f1, x, 2)程序运行结果为：程序运行结果为：a =4例例1：试求：试求 的极限。的极限。24lim22 xxxsyms x; f2=(3*x3-4*x2+2)/(7*x3+5*x2-3);b=limit (f2, x, inf)程序运行结果为：程序运行结果为：b =3/7例例2：试求：试求 的极限。的极限。357243lim2323 xxxxx19c=limit(1/x, x ,0, left)程序运行结果为：程序运行结果为：c =-Inf例例3：试求：试求 的左极限。的左极限。xx1lim0 d=lim

24、it(1/x, x ,0, right)程序运行结果为：程序运行结果为：d =Inf例例4：试求：试求 的右极限。的右极限。xx1lim0 二、微分二、微分MATLAB中的微分运算，实际上是计算函数的导数。其系统提中的微分运算，实际上是计算函数的导数。其系统提供的函数命令供的函数命令diff ( )不仅能计算函数一阶导数，还能计算函数的不仅能计算函数一阶导数，还能计算函数的高阶导数和偏导数。高阶导数和偏导数。1. 一阶导数和偏导数：一阶导数和偏导数：diff (S, v)。v为自变量，对表达式为自变量，对表达式S求一求一阶导数或者偏导数。如果是阶导数或者偏导数。如果是diff (S)则系统按则

25、系统按findsym函数指示函数指示的默认变量对符号表达式的默认变量对符号表达式S求一阶导数或偏导数。求一阶导数或偏导数。20例例1：求函数：求函数 对对x的一阶导数：的一阶导数： 122 xxxfDf=diff (x2+2*x-1, x)程序运行结果为：程序运行结果为：Df =2*x+2 例例2：求二元函数：求二元函数 对对x的一阶偏导数：的一阶偏导数： 22,yxyxyxf Dfx=diff (x2+x*y+y2, x)程序运行结果为：程序运行结果为：Df =2*x+y 2. 复合函数的导数：利用复合函数的导数：利用diff函数和函数和compose函数进行复合函数函数进行复合函数导数的运

26、算。它们的格式分别为导数的运算。它们的格式分别为:diff (S, v), compose (f, g)。21例例3：构造复合函数：构造复合函数 并求复合函数对并求复合函数对x的一阶导数。的一阶导数。 xguf1sin,cos2Df10=diff (x5*exp (x), 10)程序运行结果为：程序运行结果为：Df10 =30240*exp(x)+25200*x*exp(x)+7200*x2*exp(x)+900*x3*exp(x)+50*x4*exp(x)+x5*exp(x) syms u x; f=cos (u); g=sin(1/x)2;h=compose (f, g);diff (h,

27、 x)ans = 2*sin(sin(1/x)2)*sin(1/x)*cos(1/x)/x23. 高阶导数和偏导数：二阶及以上的导数和偏导数统称为高阶导数高阶导数和偏导数：二阶及以上的导数和偏导数统称为高阶导数和偏导数。利用和偏导数。利用diff (S, v, n)来求高阶导数和偏导数。来求高阶导数和偏导数。v为自变量，为自变量，n为导数或者偏导数的阶数。如果是为导数或者偏导数的阶数。如果是diff (S, n)则系统按则系统按findsym函函数指示的默认变量对符号表达式数指示的默认变量对符号表达式S求求n阶导数或偏导数。阶导数或偏导数。例例4：已知函数：已知函数 ，求，求 。xexy5 1

28、0y22syms x y; f=x*y*(x4+4*x2*y2-y4)/(x2+y2);Dfxx=diff(f,x,2) Dfxx = 2*y*(4*x3+8*x*y2)/(x2+y2)-6*y*(x4+4*x2*y2-y4)/(x2+y2)2*x+x*y*(12*x2+8*y2)/(x2+y2)-4*x2*y*(4*x3+8*x*y2)/(x2+y2)2+8*x3*y*(x4+4*x2*y2-y4)/(x2+y2)3simple (Dfxx)ans = 2*x*y*(3*y2+x2)*(5*y4+3*x4)/(x2+y2)3其它的请自己操作解答。其它的请自己操作解答。例例5：已知二元函数：已

29、知二元函数 ，分别求，分别求 2242244,yxyyxxxyyxf yxfyxfyxfyxfyyyxxyxx, 23三、积分三、积分 int (S, v)：求符号函数求符号函数S的不定积分，的不定积分，v为变量。默认任意常为变量。默认任意常数数C为为0；v可以省略，此时符号函数可以省略，此时符号函数S的变量为函数的变量为函数findsym 确定的默认变量；确定的默认变量； int (S, v, a, b)：求符号函数求符号函数S的定积分，的定积分，v为变量。为变量。 a、b分分别表示定积分的下限和上限。别表示定积分的下限和上限。在在MATLAB软件中，利用软件中，利用int函数进行求不定积分

30、和定积分的运函数进行求不定积分和定积分的运算。其调用格式有以下几种：算。其调用格式有以下几种：syms x;R=int(x+1)*(x-2)/x,x)程序运行结果为：程序运行结果为：R = 1/2*x2-x-2*log(x)例例1：求不定积分：求不定积分 dxxxx 2124在在MATLAB中，多次使用中，多次使用int ( )时，计算的就是重积分，当有一时，计算的就是重积分，当有一个或两个积分限是无穷大时，计算的就是广义积分。个或两个积分限是无穷大时，计算的就是广义积分。syms x; R=int(x/sqrt(1+x),x,0,3)程序运行结果为：程序运行结果为：R = 8/3例例2：求定

31、积分：求定积分dxxx 130syms x y; int(int(x2/y2,y,1/x,x),x,1,2)程序运行结果为：程序运行结果为：ans = 9/4例例3：求二重积分：求二重积分 ，其中，其中D是由直线是由直线x=2，y=x以及双曲线以及双曲线xy=1围成围成的区域。的区域。 dxdyyxD 22253.4 3.4 符号方程求解符号方程求解一、符号代数方程求解一、符号代数方程求解对方程组求解变量对方程组求解变量x0,x1,xn称为解方程组。称为解方程组。在在MATLAB软件中，利用软件中，利用solve函数进行对方程组求解。其调用函数进行对方程组求解。其调用格式有以下几种：格式有以下

32、几种：由数学定义，已知方程组由数学定义，已知方程组 0,.,.0,.,0,.,10102101 nnnnxxxfxxxfxxxf26 solve (eq)：计算单一方程，：计算单一方程，eq为输入的方程。为输入的方程。 solve (eq, var)：计算单一方程，：计算单一方程，eq为输入的方程，为输入的方程，var用用来指明待求变量。来指明待求变量。solve (eq1, eq2, , eqn)：计算方程组，：计算方程组，eq1,eqn为输为输入的方程组。变量为默认变量。入的方程组。变量为默认变量。solve (eq1, eq2, , eqn, var1, , varn)：计算方程：计算方

33、程组，组，eq1,eqn为输入的方程组；为输入的方程组；var1,varn用来指明每个用来指明每个方程待求的变量。方程待求的变量。27二、微分方程求解二、微分方程求解在在MATLAB软件中，利用软件中，利用dsolve函数进行对微分方程求解。其函数进行对微分方程求解。其调用格式为：调用格式为：dsolve (eq1, eq2, , cond1,cond2, v1, v2 , . )，该函数求解常微分方程，该函数求解常微分方程eq在初始条件在初始条件cond下的特解下的特解.参数参数v描述方程中的自变量描述方程中的自变量,省略时按默认原则处理省略时按默认原则处理,若没有给出若没有给出初值条件初值

34、条件cond，则求方程的通解。其中，则求方程的通解。其中eq1,为输入的微分方为输入的微分方程，程，cond1,为定解条件，为定解条件，v为自变量。为自变量。 0,., nyyyxF在数学中，表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系在数学中，表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程称为微分方程。未知函数最高阶的导数称为微分方程的的方程称为微分方程。未知函数最高阶的导数称为微分方程的阶。阶。n阶方程一般表示为：阶方程一般表示为：28在在MATLAB中，用大写字母中，用大写字母D表示导数。当表示导数。当y为因变量时，为因变量时，Dny表示表示y的的n阶导函数。初始条件的书写格式规定：

35、初始条件阶导函数。初始条件的书写格式规定：初始条件注意：每一个微分方程两端必须加英文输入状态下的单引号，注意：每一个微分方程两端必须加英文输入状态下的单引号，同等成分间用英文输入状态下的逗号加以分隔。同等成分间用英文输入状态下的逗号加以分隔。byax |写成：写成： bay dycx |写成：写成： dcDy 293.5 3.5 排列组合与级数排列组合与级数1 1、阶乘函数、阶乘函数 在在MATLAB软件中，用软件中，用factorial (n)进行求阶乘函数的运算。进行求阶乘函数的运算。n为输入自然数。为输入自然数。阶乘函数的表达形式为阶乘函数的表达形式为 nkkn1!如：如：factori

36、al(10)ans =36288002 2、二项式系数、二项式系数 在在MATLAB软件中，用软件中，用nchoosek (n, k)进行求二项式系数的运进行求二项式系数的运算。算。n和和k为输入自然数。为输入自然数。二项式系数的表达形式为二项式系数的表达形式为 !kknnCkn 303 3、级数求和、级数求和其中其中f (k)表示级数函数，表示级数函数，k为整数，为整数，a和和b是级数的下界和上界。是级数的下界和上界。 在在MATLAB软件中，用软件中，用symsums函数进行级数求和的运算。函数进行级数求和的运算。其调用格式为：其调用格式为：级数求和的表达形式为级数求和的表达形式为 bak

37、kf如：如：C=nchoosek(6,3)C = 20symsum (s)：s为级数函数。为级数函数。symsum (s, v)：s为级数函数，为级数函数，v表示上界表示上界b，下界为，下界为1。symsum (s, a, b)：s为级数函数，为级数函数，b表示上界，表示上界，a表示下界。表示下界。314 4、泰勒公式、泰勒公式称为函数称为函数f (x)在点在点x0处的处的n阶泰勒公式。其右端为阶泰勒公式。其右端为f (x)在点在点x0处处的的n阶泰勒展开式。阶泰勒展开式。 当当x0=0时称为麦克劳林公式。在时称为麦克劳林公式。在MATLAB软件中，用软件中，用taylor函数进行泰勒公式的运

38、算。其调用格式为：函数进行泰勒公式的运算。其调用格式为：设函数设函数f (x)在在x0的邻域内具有的邻域内具有n阶导数，则阶导数，则 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 00200 000!.! 2! 1syms n x; r=symsum(x(n/2)/(2*n),1,5)r =1/2/n+1/2*2(1/2*n)/n+1/2*3(1/2*n)/n+1/2*4(1/2*n)/n+1/2*5(1/2*n)/n例：求级数例：求级数 5122nnnx32syms x; taylor(1/x,10,-1)ans =-2-x-(x+1)2-(x+1)3-(x+1)4-(x+1)5-(x+1)6-(x+1)7-(x+1)8-(x+1)9taylor (f)：用来求麦克劳林公式，默认阶数为：用来求麦克劳林公式，默认阶数为6。taylor (f, n, v)：用来求麦克劳林公式，：用来求麦克劳林公式，n为阶数，为阶数，v为独立变为独立变量；量；taylor (f, n, v, a) ：用来求泰勒公式，：用来求泰勒公式， n为阶数，为阶数，v为独立变为独立变量，量，a为为