五节函数极值与最大值最小值PPT学习教案

1、会计学1五节函数极值与最大值最小值五节函数极值与最大值最小值一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxx

2、baxbaxf 定义定义2004-4-10第1页/共14页 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且在且在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. . 定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意: :.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, ,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值

3、点极值点. .2004-4-10第2页/共14页(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. . (2)(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. . (3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf 符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. . 定理定理2 2( (第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极

4、值点情形是极值点情形)2004-4-10第3页/共14页xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值( (不是极值点情形不是极值点情形) )2004-4-10第4页/共14页例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf

5、00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极极大大值值,10 )3)(1(3 xx2004-4-10第5页/共14页 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, , 且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, ,那末那末 (1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值; ; (2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. . 定理定理3 3( (第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异号，异号，与与故故xxfx

6、xf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).(2).2004-4-10第6页/共14页例例2 2解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点, ,也

7、可能是函数的极值点也可能是函数的极值点. .2004-4-10返回返回第7页/共14页oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题2004-4-10第8页/共14页步骤步骤: :1.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点; ;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2

8、 设设f(x)在在(a,b)内的驻点为内的驻点为 x1, x2, xn, 则比较则比较f(a), f(x1), , f(xn), f(b)的的大小大小, ,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值, 最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值2004-4-10第9页/共14页例例3 3解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142

9、)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值2004-4-10第10页/共14页例例4 4 把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁（图的圆木锯成截面为矩形的梁（图3 31717）. .问矩形截面的高问矩形截面的高h和宽和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大. .解解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题261bhw 由图由图3 31717看出，看出，b b与与h h有下面的关系：有下面的关系：222bdh 因而因而)(6132bbdw hbd图图317第11页/共14页0)3(6122 bdw解得解得db31 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0 0，d）内部取得；现在，内部取得；现在， 在（在（0 0，d) )内只有一个根内只有一个根0 w,31db 当当 时，时，w的值最大，这时，的值最大，这时，,31db 1:2:3:323231222222 bhddhdddbdh第