概率论第二章随机变量

1、第二章第二章 随机变量随机变量第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第四节随机变量函数的分布第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数.),(,)(, 随随机机变变量量称称之之为为上上的的单单值值函函数数得得到到一一个个定定义义在在这这样样就就与与之之对对应应有有一一个个实实数数中中每每一一个个元元素素如如果果对对空空间间为为是是随随机机试试验验，它它的的样样本本设设eXXeXeE 定义定义1:)(xXPxF 称为随机变量称为随机

2、变量X的分布的分布函数。函数。定义定义2:设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，函数为任意实数，函数上一页上一页下一页下一页返回返回0 xX ，有有实实数数是是右右连连续续的的。即即对对任任意意且且是是一一个个单单调调不不减减函函数数；xxFxFxFxFxFxx)3(; 1lim, 0lim, 10)2()1( xFxF 0证明：证明：:,)1(2121得得则则如如xXxXxx 21xXPxXP :分分布布函函数数的的性性质质 21xFxF 上一页上一页下一页下一页返回返回0 xX 11(2) 01lim0lim01 2xnnnnnnF xF xF xF xFnAXnnAAA 由的定

3、义易得。利用的单调性为证，只要证。考虑事件，则，由概率的连续性得)(lim)(lim)(limnnnxAPnFxF 0)(1 nnAP的的类类似似证证明明极极限限1)(lim xFx上一页上一页下一页下一页返回返回 xFnxFn )1(lim110lim()lim()nnnnF xF xPAn xFxXP 只只须须证证明明：的的单单调调性性，为为证证此此性性质质由由xF)3(，令令211 nnxXAn，则则11xXAAAnnnn 上一页上一页下一页下一页返回返回有有例例1： 口袋里装有口袋里装有3个白球个白球2个红球，从中任取三个球，个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数求

4、取出的三个球中的白球数的分布函数解：解： 设设X表示取出的表示取出的3个球中的白球数。个球中的白球数。X的可能的可能取值为取值为1，2，3。而且由古典概率可算得。而且由古典概率可算得3 . 0/1351322 CCCXP6 . 0/2352312 CCCXP1 . 0/33533 CCXP 0 xXPxF 3 . 01 XPxXPxF是是不不可可能能事事件件，因因而而时时当当1xXx ，因因而而时时，当当121 XxXx上一页上一页下一页下一页返回返回 9 . 021 XPXPxXPxF因因而而且且时时当当,21,21 ,32 XXXXxXx为一必然事件，因而为一必然事件，因而时，时，当当3x

5、Xx 1 xF于是，于是，X 的分布函数为：的分布函数为： 31329 . 0213 . 010 xxxxxF上一页上一页下一页下一页返回返回0y1321x 例例2: 考虑如下试验：在区间考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录它上任取一点，记录它的坐标的坐标X。那么那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到取到0，1上任一点的可能性相同。求上任一点的可能性相同。求X的分布函数。的分布函数。 当当x0时时 0 xF时时当当10 x xxXPxXPxF 0时时当当1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由几何概率的计算不难求出由几何概率的计算不难求出X的分

6、布函数的分布函数 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：上一页上一页下一页下一页返回返回yx011.21概率还能算出其它各事件的的概率，计算事件即：利用分布函数，能xXx 0 0 0 1 :1221 xFxXPxFxFxXxPxFxFxXPxFxXP例例如如上一页上一页下一页下一页返回返回 121221xFxFxXPxXPxXxP :,21122121得且时xXxXxXxXxXxxx 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无如果随机变量所有

7、的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。,.2 , 1 kpxXPkk 设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk (k=1,2,),事事件件 发生的概率为发生的概率为pk ,即即称为称为随机变量随机变量X的概率分布或分布律的概率分布或分布律。kxX 上一页上一页下一页下一页返回返回公式形式公式形式分布律的两个分布律的两个基本要素基本要素： , 2 , 1)()2,) 121kpxXPxxxXkkk，的概率求对应于每个取值点的所有可能取值确定随机变量分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质：完备性11)2(

8、kkp为常数。为常数。0,.,2 , 1 , 0,!)( kkakXPk例例3: 设随机变量设随机变量X的分布律如下：的分布律如下：试求常数试求常数a.xkkekx0!., 1!11eaaekapkkkk得，解：由0) 1 (kp, 2 , 1 k非负性非负性内的概率为内的概率为区间区间落入落入离散型随机变量离散型随机变量为实轴上一区间，那么为实轴上一区间，那么设设IXI IxiipIXP的的分分布布函函数数的的计计算算公公式式量量由由此此可可得得离离散散型型随随机机变变X xxiipxXPxF 。跳跃的高度为处的在的第一类间断点，而且是，值的可能，的分布函数是阶梯函数离散型随机变量kkpxx

9、FxFxxXX21上一页上一页下一页下一页返回返回10kkkkkkxFxFxFxFxXPp的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量例例X:3（）确定常数（）确定常数a的值的值;（）求（）求的分布函数的分布函数得：得：61 a13121a解：（）由分布律的完备性知解：（）由分布律的完备性知的分布情况。能描述离散型随机变量用分布律和分布函数都分布函数。反之亦然。的的分布律，能确定已知离散型随机变量XX p31a21上一页上一页下一页下一页返回返回（2 2）由分布函数定义得的分布函数为：）由分布函数定义得的分布函数为： 2 1 21 65 10 21 0 0 xxxxxF上一页上一页下一页下一页返回

10、返回0y1321x5/61/21/21/31/616/13/12/1210)(26/53/12/110)(212/10)(100)(0XPXPXPxFxXPXPxFxXPxXPxFxxXPxFx 31329 . 0213 . 010 xxxxxF例：已知随机变例：已知随机变量量X分布函数是分布函数是求：求：X的分布律。的分布律。解解：X的所有取值就说分布函数的间断点的所有取值就说分布函数的间断点1，2，3。 3 . 003 . 00111FFXPp 1 . 09 . 0123; 6 . 003.9 . 01232FFpFFpX的分布律为：的分布律为：X 1 2 3 0.3 0.6 0.1kp两

11、点分布两点分布 若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只可能取x1 或或x2 两值两值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是则称则称X服从两点分布。服从两点分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP 当规定当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布。）分布。简记为简记为X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一页上一页下一页下一页返回返回 , 1 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为二项分布二项分布其中其中0p0是一常数，是一常数，n是任意整数，设是任意整数，设npn=，则则对任意一固定的非负

12、整数对任意一固定的非负整数k，有有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(时时，当当对对于于固固定定的的 nk证明证明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1上一页上一页下一页下一页返回返回定理的条件定理的条件npn=，意味着意味着n很大时候很大时候pn必定很小。必定很小。因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 （=np）作为作为 的近似值效果很好。的近似

13、值效果很好。而当而当 时效果更佳。时效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表可查。的值有表可查。 ekppCkknnknknn!1lim从而从而上一页上一页下一页下一页返回返回例例6： 有同类设备有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.0

14、1？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可得查表可得N+1=9，满足上式最小的，满足上式最小的N是是8。即：至少需配备即：至少需配备8个工人才能满足要求。个工人才能满足要求。 解：解： 设设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知Xb(300,0.01)，若配备若配备N位维修人员，所需解决的问题位维修人员，所需解决的问题是确定最小的是确定最小的N，使得：使得：PXN0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记的泊松分布，记为为X ( ) 或或 XP( )。上一页上一页下一页下一页

15、返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回) 1()0(1)2(1)2(XPXPXPXP)01. 0 ,400( BX kkkkCXP 400400400299. 001. 0)2( 40024!4kkke908. 0!424 kkke另解另解:908. 0511404144140eee！上一页上一页下一页下一页返回返回例例8:(进货问题）进货问题）由某商店过去的销售记录知道，某商由某商店过去的销售记录知道，某商品每月的销售数可用参数为品每月的销售数可用参数为=5=5的泊松分布来描述，的泊松分布来描述，为了以为了以95%95%以上的把握保证月底不脱销，问商店在月底以上的把握保证月底不脱销，问商店

16、在月底至少应进多少台？至少应进多少台？解：设每月的销售数为解：设每月的销售数为X，月底进，月底进N台，则台，则“月底不脱销”即求满足即求满足 P(XN)0.95 的最小的的最小的N由于由于 P(XN)=1-P(XN)，即求，即求”“NX 05. 0!5)1()(15 NkkkeNXPNXP查表知：查表知：N+1=10,所以所以第三节第三节 连续随机变量及其分布连续随机变量及其分布非负性0)() 1 (xf完备性1)()2(dxxf 21)()3(21xxdxxfxXxP（4）若）若x为为f(x)的连续点，则有的连续点，则有 xfxF 概率密度概率密度f(x)具有以下具有以下性质性质：定义定义3

17、: 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，若存在非负若存在非负函数函数f(t),使得对于任意实数使得对于任意实数x，有有 xdttfxF)(则称则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称f(t)为为X的概率密度函数，的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。简称概率密度或分布密度。上一页上一页下一页下一页返回返回由性质（由性质（2）知：）知：介于曲线介于曲线y=f(x)与与Ox轴之间的面积等于轴之间的面积等于1（见图（见图1）。）。由性质（由性质（3）知：）知： X落在区间（落在区间（x1,x2）的概率等于区间（的概率等于区间（x1,x2）上曲线上曲线y=f(x)之下的曲边

18、梯形的面积（见图之下的曲边梯形的面积（见图2）。）。由性质（由性质（4）知：）知：若已知连续型随机变量若已知连续型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，求导得概率，求导得概率密度密度f(x)。)(xfxO1图图)(xfxO1x2x图图上一页上一页下一页下一页返回返回(1)若若X为具有概率密度为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。的连续型随机变量。则有则有 xxxdxxfxxxxXxPxxFxxF00)(10000如果如果x0为为f(x)的连续点，有的连续点，有 )(lim0000 xfxxxXxPx f(x)在在x0处的函数值处的函数值f(x0)反映了概率在反映了概率在x0点处的点处的“密

19、密集程度集程度”，而不表示，而不表示X在在x0处的概率。设想一条极细处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各，概率密度相当于各点的质量密度。点的质量密度。（2）若）若X为连续型随机变量，由定义知为连续型随机变量，由定义知X的分布函数的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。为连续函数（注意：反之不然）。两点说明两点说明badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(然而，事件然而，事件X=a 并非不可能事件并非不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为概率为1的事件不一定是必然事件。的事件不一

20、定是必然事件。 上一页上一页下一页下一页返回返回 X取一个点取一个点a的概率的概率 为零，事实上为零，事实上 在计算连续型随机变量在计算连续型随机变量X落落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有：间或闭区间或半开半闭区间，即有： aXP 00 aFaFaXP求：（求：（1）常数）常数a；（；（2） （3）X的分布函数的分布函数F(x) 40P X（1）由概率密度的性质可知）由概率密度的性质可知aaxdxadxxf2)2sin(2sincos)(1222222所以所以 a1/ 2 42cos21)(40)2(4400

21、 xdxdxxfXP 其其他他20cos)( xxaxf例例1：设随机变量：设随机变量X具有概率密度具有概率密度 解：解：上一页上一页下一页下一页返回返回22221)sin1(210)( xxxxxFX的分布函数为的分布函数为于是于是 xdttfxF)()(310cos210)(时22-222xdxxdxdxxFx当00)(2xdxxFx时当)sin1 (21cos210)(2222xxdxdxxFxx时当上一页上一页下一页下一页返回返回例例: (P42)的密度函数。）（内的概率；，落在）；（）系数试求：（的分布函数为设连续性随机变量XXAxxAxxxFX37 . 03 . 0211, 110

22、 ,0, 0)(21lim)(lim) 1 (11211AAAxxFFxx）由连续性，解：（其他的密度函数, 010,2)()()3(4 . 03 . 07 . 0)3 . 0()7 . 0(7 . 03 . 0)2(/22xxxFxfXFFXP例例: (P43)413)(21, 043,2230,)(XPxFkxxxkxxfX）求（；）求（；）确定（其他具有密度函数设随机变量6114129)22()(14330kkdxxkxdxdxxf）由完备性，解：（x61xdttfxXPxF)()(2）（4,)22(643,)22(630,610,0443300330000 xdxxdxxxdxxdxx

23、xxdxxdxxxxx4143,324/30,12/0,022xxxxxxx12111211) 1 ()4(413FFXP）（其他其他bxaabxf 01)(则称则称X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XU(a,b)，bxbxaaxabaxxF 10)(均匀分布均匀分布设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 X的分布函数为的分布函数为 ：上一页上一页下一页下一页返回返回概率密度函数概率密度函数f(x)与分布函数与分布函数F(x)的图形可用图示的图形可用图示上一页上一页下一页下一页返回返回abO xF1abO xff(x)F(x)设连续型随

24、机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度0( )(0)00 xxef xx为常数则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。0001)( xxexFx 指数分布指数分布X的分布函数为的分布函数为 上一页上一页下一页下一页返回返回f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示)(xfxO )(xFxO1上一页上一页下一页下一页返回返回指数函数具有指数函数具有“无记忆性无记忆性”, 即：即：|,0,tXPsXtsXPts有)(1)(1,|)(tXPeeesFtsFsXPtsXPsXPtsXsXPsXtsXPtsts事实上，利用利用 可以证明可以证明 ，,222 dxex 1)(d

25、xxf正态分布正态分布 dxedxxfx 22221)( 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 xexfx222)(21)( 其中其中 , ( 0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 , 的正态分的正态分布或高斯分布布或高斯分布,记为记为XN( , 2).X的分布函数为的分布函数为 dtexFxt 222)(21)( 则则令令tx 122121)(22 dtedxxft上一页上一页下一页下一页返回返回（1） 最大值在最大值在x=处，最大值为处，最大值为 ; 21（3）曲线）曲线y=f(x)在在 处有拐点；处有拐点； x正态分布的密度函数正态分布的密度函数f(x)的几何特征：

26、的几何特征： hXPXhP （2） 曲线曲线y=f(x)关于直线关于直线x= 对称，于是对于任对称，于是对于任意意h0，有有x（4）当）当 时，曲线时，曲线y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线 上一页上一页下一页下一页返回返回xO h h 当当 固定，改变固定，改变 的值，的值，y=f(x)的图形沿的图形沿Ox轴平移而不轴平移而不改变形状，故改变形状，故 又称为位置参数。若又称为位置参数。若 固定，改变固定，改变 的的值，值，y=f(x)的图形的形状随的图形的形状随 的增大而变得平坦。的增大而变得平坦。 越小，越小，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。)(xfxO )(xfxO1h

27、h 1 5 . 0 1 2 上一页上一页下一页下一页返回返回参数参数 =0， =1的正态分布称为标准正态分布，记为的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用其概率密度函数和分布函数分别用 和和 表示，即表示，即)(x )( x 2221)(xex dtexxt 2221)( 和和 的图形如图所示。的图形如图所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa 上一页上一页下一页下一页返回返回1定理定理 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态

28、分布标准正态分布. .),(2NXXY, ,则则 N(0,1) 设设由标准正态密度函数的几何特性知由标准正态密度函数的几何特性知 )(1)(xx )(x 函数函数 写不出它的解析表达式，人们已编制了它写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。的函数表，可供查用。根据定理：一般的正态分布，其分布函数根据定理：一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标可用标准正态分布的分布函数表达。若准正态分布的分布函数表达。若X , X的分的分布函数为布函数为),(2 NdtexFxt 222)(21)( 则则令令st )(21)(22 xdsexFxs因此，对于任意的实数因此，对于任意的实数a,b

29、(ab)，有有 abaFbFbXaP)()(上一页上一页下一页下一页返回返回例例2： 设设XN(0,1),求求P1X2,P . 设设XN(1.5,4),求求P-1X0.99,(2.33)=0.99010.99,所以所以)(184 cmh ”“hX 99. 0)( hXP99. 0)6170()61706170(hhXP33. 26170h例例: (P49)的概率。误差的绝对值不超过次测量中至少有一次），试求在时发生的随机误差测量到某个目标的距离mNX30340,20(24931. 0)8944. 01 (5987. 0)25. 1()25. 0()402030()402030(30303030

30、XPXPm的概率为不超过解：一次误差的绝对值)4931. 0 , 3(303bYmY则：的次数超次测量误差的绝对值不为设：8698. 05069. 010113YPYP分位点的定义。，我们引入对于标准正态随机变量分位点。为标准正态分布的上则称点）（满足若设：zzXPzNX,10),1 , 0(z阴影部分阴影部分面积为面积为。和分位点分别是分位点与上上，可得标准正态分布的，查表01. 3654. 1001. 005. 001. 3645. 1001. 005. 0zz的值越大。越小，且：z第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设设X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是是X的函数

31、的函数Y=g(X)。那那么么Y也是离散型随机变量。也是离散型随机变量。 设设y=g(x)为一个通常的连续函数，为一个通常的连续函数，X为定义在概率为定义在概率空间上的随机变量，令空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一个定义在也是一个定义在概率空间上的随机变量。概率空间上的随机变量。上一页上一页下一页下一页返回返回(2) Y=-2X2分布律为分布律为Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1例例1： 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为X -1 0 1 2 3P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：（求：（1）Y=X-1； (2) Y=-2

32、X2的分布律。的分布律。 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18解：由解：由X的分的分布律可得布律可得由上表易得由上表易得Y的的 分布律分布律（1）Y=X-1的分布律为的分布律为Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3上一页上一页下一页下一页返回返回对此类问题，先由对此类问题，先由X的取值的取值xk，（，（k=1，2）求出求出Y=g(X)的取值的取值yk=g（xk），（），（k=1，2）；）；本例（本例（2）中，）中，X的两个取值的两个取值-1和和1都对应都对应Y的

33、一个值的一个值-2，这样：这样： PY=-2=PX=-1或或X=1 =PX=-1+PX=1 =0.2+0.1=03如果诸如果诸yk各不相同，各不相同，则由则由X的分布律的分布律PX= xk =pk, k=1，2，便可得便可得y的分布律：的分布律：PY= yk =pk, k=1，2。如诸如诸yk中有些值相同，则应把相同的值合并并将对应中有些值相同，则应把相同的值合并并将对应的概率加在一起。的概率加在一起。上一页上一页下一页下一页返回返回yxgXYdxxfyXgPyYPyF)()()()( 设设X为连续型随机变量，具有概率密度为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又又Y=g(X)，在大部分情况

34、下在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为也是连续型随机变量。为了求出了求出Y的概率密度的概率密度fY(y)，可以先求出可以先求出Y的分布函数的分布函数FY(y) yY 由由FY(y)便可求出便可求出Y的概率密度的概率密度fY(y)=FY(y)。计算的关键计算的关键是给出上式的积分区间。即将事件是给出上式的积分区间。即将事件 转化为用转化为用X表表示的事件示的事件 。其中。其中 。 yIX .)(yxgxIy 这种方法称之为这种方法称之为分布函数法分布函数法。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2: 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度其他其他4008)( xxxfX求求Y

35、=2X+1的概率密度的概率密度fY(y)。 2112)(yXPyXPyYPyFY解解 : 先求出先求出Y的分布函数的分布函数FY(y) 421,84210 ,8021,0)(4021021ydxxydxxydxxfyyX从而从而Y的概率密度为的概率密度为 其他其他910321)( yyyfY上一页上一页下一页下一页返回返回9911164) 1(02yyyy例例3 : 设随机变量设随机变量XN(0,1)，求求Y=X2的概率密度的概率密度fY(y)。当当y0时，时，FY(y)= PX2ydxedxedxxfyXyPxyxyyyyX2022221221)(2221)(xXexf 解解: X的概率密度为的概率密度为记记Y的分布函数为的分布函数为FY(y)，那么那么FY(y)=PYy= PX2y当当y0时，时，FY(y)=0Y的概率密度为的概率密度为其其他他0021)(2 yeyyfyY 上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理 设随机变