初中数学培优辅导资料(28—33)讲

1、初中数学竞赛辅导资料(28)三角形的边角性质内容提要三角形边角性质主要的有：边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：a,b,c是ABC的边长推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。推广到任意多边形：四边形内角和=2180， 五边形内角和=3180六边形内角和=4180 n边形内角和=(n2) 180边与角的关系在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边

2、。在直角三角形中，ABC中C=Rt(勾股定理及逆定理)ABC中a：b：c=1：2ABC中 a：b：c=1：1：例题3a1,4a+1,12a能组成一个三角形求a的取值范围。 (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 解得 1.5a5答当1.5a5时，三条线段3a1,4a+1,12a能组成一个三角形 A B C DAB=x，AC=y, AD=z 假设以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，以下不等式哪些必须满足？x,yx+,y解由AB=x, BC=yx, CD=zx要使AB，BC，CD组成三角形，必须满足以下不等式组： 即答yx+和y

3、必须满足。ABC的三边都是正整数，a=5,bac,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。解：由a=5，1b5，ca+b, 5c 9符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c排列)它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；555，556，557，558，559。例4. 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和 解：四边形EFMN 的内角和=360度 1=A+B，2=C+D 12EF 360度 A+B+C+D+E+F=360度 例5.ABC中，ABC，2C=5A，求B的取值范围 (1989年泉州市初二数学双基赛题)解：根据题意，得得C=(18

4、0B)，A(180B)(180B)B(180B)40B75例6.在凸四边形ABCD中，ABBCCD，A：B：C1：1：2求各内角的度数解：作BCD的平分线交AD于E，BCEDCESASDCBEBCEBAESSSCBEABED设DX度，那么2X2X4XX360X40度答DABABC80，BD160，D40练习28ABC中，a=5,b=7,那么第三边c和第三边上的高hc的取值范围是a,b,c是ABC的三边长，化简得ABC的两边长a和babc,那么C的度数是范围1987年泉州市初二数学双基赛题10.ABC中，C、B的平分线相交于O，BOC120，那么A11.ABC中，ABAC，A40，点D，E，F分

5、别在BC，AC，AB上，CEBD，BFDC， 那么EDF1986年泉州市初二数学双基赛题ABCDEF度1986年泉州市初二数学双基赛题ABCDEFH度ADE中，ADE140且ABBCCDDE，那么A ABCAED度 1988年泉州市初二数学双基赛题这里AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角16.ABC的ABACCD，ADBD，那么BAC度 1988年泉州市初二数学双基赛题17.ABC中，ARt，B60B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,那么边AC的长是cm (1988年泉州市初二数学双基赛题)CBAEBCDDA18.ABC中，ABAC，M是AC的中点，那么的值是

6、大于B大于C大于D大于19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，那么这样的三角形共有个，它们的边长是：。1989年泉州市初二数学双基赛题20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AEF为等边三角形，求C的度数。初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义内容提要和例题概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=，等等都是概念。概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果， 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有

7、丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，正确理解数学概念是掌握数学根底知识的前提。理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。例如“代数式这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。又如“三角形的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三

8、角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。就是说要正确理解名词或符号所反映的“质的特征和“量的范围。一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。数学概念的根本定义方式是种属定义法。在两个附属关系的概念中如三角形与等腰三角形，外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，如三角形，外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念如等腰三角形种属定义法可表示为：被定义的概念种概念类征或叫属差例如：方程等式含未知数又如：无理数小数无限不循环 或 无理数无限小数不循环再如 等腰三角形三角形有两条边相等根本概念即原始概

9、念是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是根本概念。不定义的根本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。例如：几何中的“点是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线我们用“拉紧的线和“纸张的折痕来描述它的“直，再用“直线是向两方无限延伸的以说明它的“无限长的本质属性。有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。

10、对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数可定义为有限小数和无限循环小数叫做有理数。整数和分数统称有理数。前者是用上位概念“小数加上类征“有限，无限循环来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数、“分数来定义上位概念的，它是外延法。正确的概念定义，要遵守几条规那么。不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角对，360度的角叫做周角错，这是循环定义定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如假设用“无限小数叫做无理数来定义无理数就不对了，因为“无限小数的外延比“无理数的外延宽。定义用语要简单明确，不要含混不清。一般不用否认语句或比喻方法定义。定义可以反叙。一般

11、地，定义既是判定又是性质。 例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。所以由定义可得等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。数学概念要尽可能地用数学符号表示。例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在ABC中，ABAC直角三角形，要写出哪个是直角，在RtABC中，CRt又如实数a的绝对值是非负数，记作0，“读作大于或等于。运用定义解题是最本质的解题方法例如：绝对值的定义，可转化为

12、数学式子表示含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。如：化简：可等于解方程：2x+1可化为当x-1 (B) a=1 (C) a1D非以上答案 1987年全国初中数学联赛题初中数学竞赛辅导资料(30)概念的分类内容提要概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。分别表示

13、如下：整数整数整数整数一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如正整数按以下分类是正确的正整数正整数如果只分为质数和合数，那么外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数那么外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，而不能是三类：不等边，等腰，等边如果这样，三边相等的三角形将落入两类等腰，等边，所以概念的分类与概念的定义有直接联系。二分法是常用的分类法。即把一种

14、概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形平面内两条直线位置实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。附属关系的概念上下位概念是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是附属关系。例如：等边三角形附属于等腰三角形，而等腰三角形又附属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：三角形代数式等腰三角形有理式等边三角形整式单项式6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念同位概念。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；

15、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一局部重叠。一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的局部，叫做等腰直角三角形。图示如下:例题30例1.把一元一次不等式axb(a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：axb的解集15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。解：设底边长为xcm,那么腰长是cm

16、 当腰比底大时是x=3 x=36当腰比底小时是x=3 x=7 =4答略2解：要使有意义，必须且只需x+10，即x12x+12x1当1xn),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。如果a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。例题例1.线段a a a2a 3a a求作线段a a 分析一：a 2a a是以2a和a为两条直角边的直角三

17、角形的斜边。分析二：aa是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图略DAB60，BDRt，BC1，CD2求对角线AC的长解：延长BC和AD相交于E，那么E30CE2CD4，在RtABE中设AB为x,那么AE2x根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2=在RtABC中，ACABC中，ABAC，B2A求证：AB2BC2ABBC证明：作B的平分线交AC于D， 那么AABD， BDC2ACADBDBC作BMAC于M，那么CMDMAB2BC2BM2AM2BM2CM2AM2CM2AMCMAMCMACADABBCABC中，ADBC，ABCDACBD求证：ABAC证明：设AB，AC，BD

18、，CD分别为b,c,m,n那么c+n=b+m, c-b=m-nADBC，根据勾股定理，得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b) (c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+bm+n, c-b=0 即c=bABAC例5.梯形ABCD中，ABCD，ADBC 求证：ACBD证明：作DEAC，DFBC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形DEAC，DFBC，AECDBF作DHAB于H，根据勾股定理AH，FHADBC，ADDFAHFH，EHBHDE

19、，BDDEBD即ACBD例6.：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH求：的值2001年希望杯数学邀请赛，初二解：根据勾股定理a2+b2=EF2SEFGH ; 4SAEFSABCDSEFGH2ab=得a-b2= 练习31以以下数字为一边，写出一组勾股数：7，8，9，10，11，12，根据勾股数的规律直接写出以下各式的值：252242，52122，ABC中，AB25，BC20，CA15，CM和CH分别是中线和高。那么SABC， CH，MH4.梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，那么S梯形5.：ABC中，AD是高，BEAB，BECD，CFA

20、C，CFBD求证：AEAF6.：M是ABC内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且BDBF，CDCE求证：AEAFABC中，C是钝角，a2-b2=bc 求证A2B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。用反证法9.直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2BP22CP2ABC中，ARt，M是BC的中点，E，F分别在AB，ACMEMF求证：EF2BE2CF2ABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，那么DF的长是。2002年希望杯数学

21、邀请赛，初二试题13.ABC中，ABAC2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，p100, 记mi=APi2+BPiPiC (I=1,2，100)，那么m1+m2+m100=_ (1990年全国初中数学联赛题)初中数学竞赛辅导资料32中位线内容提要三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理

22、及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰有关线段中点的其他定理还有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。例题：ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PMPN 1991年泉州市初二数学双基赛题证明：作MEAB，NFAC，垂足E，FABM、CAN是等腰直角三角形AEEBME，A

23、FFCNF， 根据三角形中位线性质PEACNF，PFABMEPEAC，PFABPEBBACPFC即PEMPFNPEMPFNPMPNABC中，AB10，AC7，AD是角平分线，CMAD于M，且N是BC的中点。求MN的长。分析：N是BC的中点，假设M是另一边中点， 那么可运用中位线的性质求MN的长，根据轴称性质作出AMC的全等三角形即可。辅助线是：延长CM交AB于E证明略例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。：梯形ABCD中，ABCD，M、N分别是AC、BD的中点求证：MNABCD，MNABCD分析一：M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质。连

24、结CN并延长交AB于E如图1证BNEDNC可得N是CE的中点。证明略分析二：图2与图1思路一样。分析三：直接选择ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。如图：ABC中，AD是角平分线，BECF，M、N分别是BC和EF的中点求证：MNAD证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PNMPAB，MPAB，NPAC，NPACBECF，MPNP3=4=MPNBAC180两边分平行的两个角相等或互补1=2=， 2=3NPAC MNAD证明二：连结并延长EM到G，使MGME连结CG，FG那么MNFG，MCGMBECGBECFBBCGABCG，BACF

25、CG180CAD180FCGCFG180FCG=CAD MNAD：ABC中，ABAC，AD是高，CE是角平分线，EFBC于F，GECE交CB的延长线于G求证：FDCG证明要点是：延长GE交AC于H， 可证E是GH的中点过点E作EMGC交HC于M， 那么M是HC的中点，EMGC，EMGC由矩形EFDO可得FDEOEMGC练习321.E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点那么四边形EFGH是形当ACBD时，四边形EFGH是形当ACBD时，四边形EFGH是形当AC和BD时，四边形EFGH是正方形形。2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。3.AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，

26、CA，AB的中点，证明顺次连结E，F，G，H所成的四边形是等腰梯形。：经过ABC顶点A任作一直线a,过B，C两点作直线a的垂线段BB，和CC，设M是BC的中点，求证：MB，MC， ABC中，ADBE，DMENBC求证BCDMEN6.如图：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE，BF，CG，DH。求证AECGBFDH7.如图D是AB的中点，F是DE的中点，求证BC2CE8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MNABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，MN的中点，求证直线PQ平分BD。10.等腰梯形ABCD中，ABCD，

27、ADBC，点O是AC和BD的交点，AOB60，P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证PQR是等边三角形。11.：ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分BAC，求证：ABC是Rt。12.：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O，BOD60，求证ADBE13.如图：四边形ABCD中，ADBC， 点E、F分别是AB、CD的中点，MNEF求证：DMNCNM初中数学竞赛辅导资料33同一法内容提要1.“同一法是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法那么的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。2.同一法那么的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的

28、事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法那么。互逆两个命题一般是不等价的。例如原命题：福建是中国的一个省真命题逆命题：中国的一个省是福建假命题但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它们是等效的。例如原命题：中国的首都是北京真命题逆命题：北京是中国的首都真命题因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。真命题逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。真命题因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命

29、题符合同一法那么，那么可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：作出符合命题结论的图形即假设命题的结论成立证明这一图形与命题题设相同即证明它符合原题设例题求证三角形的三条中线相交于一点：ABC中，AD，BE，CF都是中线求证：AD，BE，CF相交于同一点分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，证明CF，就是第三条中线即证明AF，F，B证明：DABEBA180AD和BE相交，设交点为G连结并延长CG交AB于F， 连结DE交CF，于MDEAB， 即， 即， AF，BF，AF，是BC边上的中线，BC边上的中

30、线只有一条， AF，和AD是同一条中线AD，BE，CF相交于一点G。例2.：ABC中，D在BC上，AB2AC2BD2DC2求证：AD是ABC的高分析：从题设AB2AC2BD2DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AEBC，证明在题设的条件下AE就是AD。证明：作AEBC交BC于E A根据勾股定理AB2AC2AE2BE2AE2EC2 BE2EC2AB2AC2BD2DC2BEDCBD2DC2 BE2EC2BDDCBDDCBEECBEECBDDCBEEC BDDCBEEC：2BD2BE即点D和点E重合，即AD是ABC的高例3如图：四边形ABCD中，ABDADB15CBD45，CDB30求证：ABC是等边三角形证明：在BC或延长线上取点E，使BEAB连结AE，DE，那么ABE是等边三角形AEABAD，EAD1506090，ADE45ADC45，且DE，DC在DA的同一侧，DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合A