林群院士的《微积分魔术》简介

1、林群院士微积分简介讲稿 史月杰 2021年6月微积分魔术 摘要 算术拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，微积分也有这么一招微积分何用一、引入：微积分躲不开、绕不过，高中学它能快速解题、有利减负，对大学理工科学习都有好处。而对于文史类就不要学吗？托尔斯泰对?战争与和平?的解读：只有采取无限小的观察单位历史的微分，并运用积分的方法得到这些无限小的总和，我们才能得到问题的答案历史的规律正是这种微积分，纠正了人类由于只观察个别单位所不能不犯下的和无法防止的错误。例1，买菜只用初等算术，但存款利息的算法？ 复利或利滚利，底数每分秒在变化，要用微积分；例2，人口

2、预测。2000年大陆人口普查，挨家挨户总发动，查了一年多，得 12.66亿，又慢又费；假设用微积分，只要一个大学生花5分钟，得13.45亿，又快又省，相差8000万6.4%可解释为人口流动和少报造成此例凸显了微积分的效率例3，有天气预报、地震预报。 2021年6月日本宣布滨冈核电地带在30年内发生8级地震的概率高达87% 该核电因此被叫停，从而可能挽救多少人，像2021年3月日本地震引发核泄漏，全世界为之买单，中国的菠菜也测到污染简言之，从人间、天上直到地下，许多事都会用到微积分 二、微积分与算术对照计算买菜之类日常只需要初等算术，有加减乘除表，但是预报地震之类人命关天之事需要一种全新的算术，

3、叫微积分，专门来计算函数的导数与积分，有导数与积分表简称两张表，见本文第一篇末，其功能就像加减乘除表一样，高中学生不可不知知其然且知其所以然这就是微积分中压倒一切的重点，破解微积分先破解两张表 上天偏袒，最重要的东西反而容易：这两张表的真相被缩小到两条代数式书中式1-141-15上，完全的证明或推导又缩小到几步高中数学甚或几个裸例上没有更多概念或定理，复杂度猛降甚或变走，高中学生也能明白知其所以然，微积分高中化了，这是当务之急将传统的论证从数百页缩小到几页上？秘密何在？幼儿在计算2+9时由2出发用手掰9下才算出来，一旦变到9+2时由9出发只要掰2下，难度降低了，甚或把困难变走了 初等算术如此，

4、比照高等的微积分，也有同理：一旦变个角度，偶然的火花， 能把计算导数/积分的困难小除数/无穷次相加变走，改变形势打破僵局，所以也被比作变魔术。 过去盛行的系统法：先要讲极限、连续性、实数等，概念定理多、证明推导长，数百页，迂回周折图0-1下捉不住要领，让人难以琢磨改变方法，走其他的路子。如图右图0-1系统法(盘山公路迂回战) 和 直接法(抄近路速战速决) 用第一篇短短的几页取代以往数百页！简单地破获了两张表，让人及时知情知其所以然这是最原始的资本，以后的微积分便从此展开，不断地使用， 所以有了这两张表，虽不说一劳永逸，也是一通百通、一本万利！把微积分的最初原因缩小到平面三角上：有三部曲，初中高

5、中大学，图0-2 微积分三部曲 第篇 微积分微积分压倒一切的两件事，求导数和求积分当今盛行的课本要改变：求导数退出极限过程改用高中代数式；求积分退出函数的面积改求导数的面积理想的世界里，万物终于简单，动态过程终于静态结局也称极限状态例如，割线OS变动的终结极限状态是切线(OT)，切线是割线的简化，代表了这个过程函数从来都不是一成不变的，要度量它在一点处的变化，必须考虑与之相邻的点，于是想到利用差商 1-1但注意到，上式随着的变化会产生多个数，太复杂了我们需要找到一个数来“代表它们既然问题出在上，就要想方设法将其消去自然的想法令，但是遇到了小除数的问题，陷入了死胡同那么到底什么是我们要找的那个“

6、代表数呢？这个小除数问题，能否解决或避开？当今盛行的课本是通过一个所谓“取极限的过程找到一个所谓的“导数来解决的但要深究极限概念的哲学意义，其纷繁冗杂人所共知，我们要做的只是给中学生一个直接法，或者说一个更初等的标准来避开小除数，选出那个“代表记那个代表为，希望有近似式 1-2能把小除数变走像变魔术，但留有一个尾巴，误差= 1-3为中学生树立的标准就是要求这误差跟成比例： 1-4于是当，误差略去不计，真有式1-2成立 但这个和那个“导数之间有什么联系？事实上，我们发现对于初等函数它们结果是一致的详见1.1节，但是更快更直接因此我们仍记成，即 1-5经上面分析，有了度量函数在一点处变化的方法，那

7、么函数在一个线段上又怎样呢？自然想法就是取一批点，然后将函数在这些点上的变化，求平均的但是取哪些点，取多少点呢？我们面临着和刚刚同样的问题：当今课本仍用极限无穷次求和，而我们就是要避开极限，选出那个代表元： ，把无穷次求和的困难变走了但仍按上面树立的标准，要求误差跟成比例： ， 另一方面，函数在区间上总变化为，但二者之间有什么联系？事实上，我们发现确有 ， 假设满足式(1-5)， 1-6 所以确实可以做代表元，符合我们的标准此即根本公式1.1 导数：微积分之首微积分是近代数学之首，求导数又是微积分之首，擒贼先擒首那么什么是导数呢？过去一直将函数在定点的导数即切线的斜率定义为差商即割线的斜率，式

8、(1-1)， 当 的“极限但有小除数，怎么算？这是长期以来高中学生学习的难点或困惑, 过去只能不明不白地算，如下例 例1 = 例2 前面看作常数,后面又令略去不计，中间各种极限运算，不明不白、百思难解！而遇到例3更是不能往下计算，成了死棋。例3 三角函数如高中教师只让学生死背三角函数的导数公式，知其然不知其所以然不能学好微分学 退出极限过程，回到差商：由于做题或考试，碰到的都是显式函数，那就把式1-1写出来，看看是什么样？例4 多项式如，那么式1-1在定点经约简 1-7左式有小除数，但右式不再有小除数了：将代入已有意义，并有，这里误差为符合我们的标准1-4上例虽过简单，但凸显求导数的要领：式1

9、-7从左到右，把小除数变走了，像2+9=9+2把困难变走了！ 下面几例想法过程一样，只是计算稍复杂例5 根式如，那么式1-1在定点经约简 从左到右，把小除数变走了：将代入已有意义，你可以大胆设想式1-2，或希望有? 当， 1-8但有 是否符合我们的标准1-4。分子有以后还会看到,分母中的没有影响，误差只跟成比例于是当，误差略去不计，1-8 成立，右边就定义为导数，代表了在的变化例6 有理多项式如，那么式1-1在定点经约简从左到右，把小除数变走了：将代入已有意义，你可以大胆设想式1-2，或希望有？ 当， 1-9但有误差=符合我们的标准1-4。分子有以后还会看到,分母中的没有影响, 误差只跟成比例

10、于是当，误差略去不计，1-9或成立，右边就定义为导数，代表了在的变化总之，误差的共同点：分子有，虽然分母也含，但它可以去掉，终被分子的夹住： ， 1-10 符合我们的标准1-重要的是，其中常数与无关!于是当，误差略去不计，差商便简化为常数主项，称导数所以，导数是差商的简化！上面所说分母的怎么去掉？怎么找？先略去不讲，可参看林老师博客。如例5中定义在既然差商中出现，自然要求根号内只要，于是分母中这一项可去掉，所以误差终被夹住 即与及无关如例6中定义在，误差分母中只要可换掉，所以误差终被夹住 即与及无关。 注 在前一例中因为分母中出现的是加法，所以和有关的项可以直接放缩到0；而本例中分母中是乘法，

11、必须放缩到正常数。三角函数与上面各例又有所不同，并用到面积不等式如下例7 三角函数如，那么式1-1在就是 有小除数，不能再约简，但留意到分子见图1-2， 图1-2 面积不等式 当还是把小除数变走了：？ 1-11但有误差=符合我们的标准1-4。由图1-7的不等式有，所以误差终被夹住：|误差|于是当，误差略去不计，真有式1-11成立，右边就定义为导数当，计算几乎一样，只是长些：=，其中常数怎么得来？因为剩下就是误差 外表复杂，最终仍被夹住：于是当，误差略去不计，所以下节定义了积分之后，我们还能定义对数函数和指数函数的导数，它们的误差也符合标准1-10，其中常数C与无关，也不难找第篇由此捕获灵感，有

12、了一般概念：初等函数在点求导数，有差商近似式1-2： 右边为常数项，把小除数变走了，但有式(1-3):误差被夹住，符合标准1-10，与无关，不难找于是当，误差略去不计，真有式1-2成立，差商便简化为常数主项两个变数简化为一个变数，它是唯一 反证：假设在一点有两条切线分别有两个斜率与,令, 又令误差，那么存在使，结果导致，矛盾！的结局，称为在点的导数所以导出显式的导数式(1-5):根据就是以例4-7，几步高中数学，把小除数变走了！ 更重要的是，有了这几个裸例，不用再试其它函数了它们的导数由以下套法生成为什么？别小看几个裸例，它们是最根本的初等函数，代表了99%以上的初等函数除了个别点外，在有定义

13、的闭区间上，因为后者只是前者的各种复合前者符合显式导数式或标准1-5，可证后者也会符合同样的标准前书附录2然后只要利用极少数几个最根本初等函数的导数，根据套法-微分法前书附录2，即可生成任何初等函数的导数，不需要一个一个地找导数了这样，把微分学缩小到几个裸例上，然后由微分法按套路去操作，高中学生也能求出99%以上初等函数的导数了这就圆了导数高中化之梦那么，对任何初等函数，它的导数总能计算出来，而且也是初等函数微积分的首道关口前半壁江山，导数的计算，几步攻破。1.2 积分：微积分的顶峰积分公式1-13可得：在区间各段上列出导数式或斜率差1-5，再借此做一下平均式1-12或图1-3即是 图1-3

14、各段斜率差微分学或求导数只占微积分的半壁江山费马就知道了，已由1.1节解决了另一半是积分学是牛顿-莱布尼茨的杰作，微积分的封顶之作 过去盛行的一直是：求函数的积分，无法直接算如今偶然的火花见57或图0-20改道去求导数的积分，马上找出结果既然在一段上已有导数式1-10：，或式1-5：(注意:与也无关)，那么，在全段上分成段后图1-11，对各段的误差作平均即乘以权再相加图1-4 求导数只需在你站的地方，求积分那么需一排人站在各分点还能得到： ，或标准 式1-12左边是缩写：取绝对值，由定义式1-5，放大为式1-12的右边： ， 1-12(因为式，但左边转换为(因为也分成份：)，结果式(1-12)

15、 转换为标准(1-6): 假设为初等函数 这是什么？不就是可积，把无穷次相加的困难变走了：微分和，或的面积，对随便的分割当都会趋于共同的常数 以及我们一门心思想要得到、出尽了风头的根本公式 ，或缩写为 式1-13只是上面长句的缩写，但它确实给出了面积的严格定义即无论怎么分割，结局都是一个数这就是为什么托马斯的微积分直到最后都不用积分号！ 1-13 其中积分号对应于式1-6的和号，微分号对应于吗？还要什么别的证明？ 再短没有了：由式1-5到式1-12只是平均一下，由式1-12到式1-13只是换个说法，或同义语，唾手可致事情的巨变猛然登上微积分的顶峰！怎么就这么容易？因为借助了导数式1-5做平台(

16、不必从零开始)! 初等函数微积分，剩两条相属的公式初等函数微分学:=， 1-14 初等函数积分学:= 1-15即把小除数以及无穷次相加的困难变走了，留有误差跟成比例；或几何意义， 前式站在一点又缩小到几个裸例上，后式站在各分点借助于前式自动推论：只是平均一下，青出于蓝而胜于蓝一门学问被两条相属的公式点破了，不再百思难解以上针对初等函数，似乎太窄但做题碰到的99%都是初等函数除了个别点外，在有定义的闭区间上第一遍微积分，或主流方法或直接法，在于抓大面上99%，像西瓜放小个别1%，像芝麻大踏步朝前走但毕竟遗漏了边边角角芝麻，接下来如何修修补补，且看下篇反之，对学过传统微积分的人，先入为主，更习惯于

17、系统法但也有研究生说，要是先学这个版本再学传统的微积分课本，估计就不会像当初那么吃力了有的数学家张立群等也赞同，说微分积分作为一种运算，应该像加减乘除一样，教给中学生，本书不用极限来教他们，对于涉及到的初等函数的微分和积分都可以求出来，从而极大地丰富了过去的运算附 根本初等函数的导数表以及积分表：1. 常数的导数为02. 3. ，4. 5. 以及1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 特别，第2篇微积分普遍化 本篇，对一切可能的函数做微积分，将保持第篇对初等函数的框架，只改语言，将式1-141-15右端由显式，改为隐式： 可微， 2-1可积 2-2这是自然推广没有难度这里的符号，其实就是的代替词，所以该为正名平反，只是初学先回避由可微，式2-1，不能推出可积，式2-2前者只是导数存在，后者还要求导数几乎处处连续，需要用“几乎的概念，所以头几遍的微积分还不够！有关可积条件的探讨将放到第四遍微积分 第3篇根本公式的