热学课件：第1章 导论4

1、二、单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数 处于平衡态下的理想气体在单位时间内碰撞在单位面积上的平均分子数称为气体分子碰撞频率或气体分子碰壁数，以 表示。 若气体分子数密度为n，按照分子混沌性假设，单位体积中垂直指向长方形容器任一器壁运动的平均分子数均为 。每一分子均以平均速率 运动所以单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数(没考虑速度分布) 用较严密的方法导出，所得结果为 虽然上面推导中，假设容器的形状是长方体，实际上上式可适于任何形状的容器，只要其中理想气体处于平衡态。例:设某气体在标准状况下的平均速率为 ,试分 别计算1s内碰在1cm2面积及10-19m2面积器壁上的平均分子数。解:

2、 上述结果说明气体分子碰撞器壁非常频繁，即使在一个分子截面积的大小范围内（10-19m2），1s内还平均碰上4.5108次。 (考虑速度分布) 说明:三、理想气体压强公式 假定，长方体容器的单位体积中均各有n/6个分子以平均速率向 6个方向运动，因而在单位时间内垂直碰撞在单位面积器壁上的分子数为 早在1738年,伯努利(DBernoulli)就设想气体压强来自粒子碰撞器壁所产生的冲量，在历史上首次建立了分子理论的基本概念。 器壁所受到的气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁的平均总冲量。 与推导气体分子碰壁数一样，也可采用不同近似程度的模型来推导理想气体压强公式。 若每个分

3、子与器壁碰撞是完全弹性的，每次碰撞产生的动量改变 (即向器壁施予 的冲量)故注意:用较严密的方法所得到的气体压强公式仍然是(克劳修斯)说明1.平衡态，统计结果2. 分子间碰撞不影响 ?3. 速度分布 4. 另一模型下压强公式推导:对任意形状容器，计算气体分子施于器壁的宏观压强.首先，考虑单个分子在一次碰撞中对面积元dS的作用. 第二步，计算dt时间内速度为 的分子施于器壁的冲量.第三步，所有速度求和，得到各种速度的分子在dt内对器壁面积元dS的总冲量.xdSvivixdtvidt( vix0 )第四步，气体对器壁的宏观压强在数值上应等于大量气体分子单位时间内施于器壁单位面积上的平均冲量即所以而

4、 思考:比较两种模型下的推导？四、气体分子平均平动动能设 为每个气体分子的平均平动动能（ 其中下标 t 表示平动），即 早在1857年，克劳修斯（Clausius）即得到这一重要关系式。 称为理想气体压强公式，它们都分别表示了宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动能或方均速率）之间的关系。物理意义?说明五、理想气体物态方程的另一形式 p= nkT理想气体物态方程可改写为 玻尔兹曼常量 。 虽然玻尔兹曼常量是从气体普适常量中引出的，但其重要性却远超出气体范畴，而可用于一切与热相联系的物理系统。玻尔兹曼常量k与其它普适常量e（基本电荷量）、G（引力常量）、c（光速）、h（普朗克常量）一样，

5、都是具有特征性的常量 只要在任一公式或方程中出现某一普适常量，即可看出该方程具有与之对应的某方面特征。 例如凡出现 k 即表示与热物理学有关；出现e 表示与电学有关；出现 G 表示与万有引力有关；出现c表示与相对论有关；出现 h 表示是量子问题等。六、温度的微观意义从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运动程度强弱的度量。 分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。绝对温度越高，分子热运动越剧烈。绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量，这是温度的微观意义所在。1.是分子杂乱无章热运动的平均平动动能，它不包括整体定向运动动能。 说明2.粒子的平均热运动动能与粒子质量无关，而仅与温度有关思考题: 容

6、器作匀速直线运动时，气体的温度改变吗(为什么?)七、气体分子的方均根速率分子的方均根速率例:试求T=273K时氢分子的方均根速率vrms及空气分子的方均根速率vrms解:氢分子的方均根速率空气分子的方均根速率求在多高温度下，理想气体分子的平均平动动能等于1 eV？例：电子伏特是近代物理中常用的一种能量单位，用eV表示.(是一个电子在电场中通过电势差为1V 的区间时，电场力做功而获得的能量)。 1eV1.60218921019J解：由此可知，1 eV的能量相当于7730K时的分子平均平动动能. 在气体动理论中通常用因子kT表示热运动的能量例如室温290K时设气体的温度为T 时，其分子的平均平动动

7、能等于1 eV.思考题：氢原子基态电子具有-13.6eV能量，试问氢原子电离需要多高温度的数量级。太阳中心的温度为1.5107K，试问在太阳中心，氢原子将以什么形态出现?例：试求氢分子的方均根速率等于离开地球表面的逃逸速率时的温度. 分子的方均根速率 ，当氢分子的方均根速率等于离开地球表面的逃逸速率 时，解：由可解出 1.7 分子间作用力势能与真实气体物态方程 由玻意耳定律知, 当T不变时pV=常量。若以 为纵坐标，p为横坐标画出等温线，这些等温线都平行于横轴，然而实验结果并非如此。 这是因为分子固有体积及分子之间的相互作用力不能忽略所致。 一、分子作用力曲线（intermolecular a

8、ction force curve）在r=r0时分子力为零，相当于两分子刚好“接触”。 l 当rr0时,两分子在受到 “挤压”过程中产生强斥力，这时F（r）0且随r0减少而剧烈增大。 l当rr0时两分子分离，产生吸引力，F（r）0。当r超过某一数值时R0，F（r）即接近于零，R0就是分子间引力作用半径，简称吸引力作用半径。 R0R02r0分子力是一种保守力 在rr0处，F(r)0，势能曲线斜率是正的，这时是吸引力。 如右图所示。在平衡位置 r=r0处，分子力F(r)=0，势能有极小值。 在rr0处，F0，势能曲线有很陡的负斜率，相当于有很强斥力。 两分子在平衡位置附近的吸引和排斥。气体液体固体

9、二、分子互作用势能曲线（intermolecular potential energy curve） 三、用分子势能曲线来解释分子间的对心碰撞 利用势能曲线能定性地解释气体分子间对心碰撞过程。 设一分子质心a1静止不动，另一分子质心a2从极远处（这时势能为零）以相对运动动能EK0向a1运动。当 a2向 a1靠近时，受到分子引力作用的 a2具有数值越来越大的负势能，所减少势能变为动能的增量，总能量是一恒量。 当r = r0时，两分子相互“接触”，这时势能达极小，动能达极大。由于惯性，a2还要继续向前运动，两分子相互“挤压”产生骤增的斥力。d是两分子对心碰撞时相互接近最短质心间距离d = 分子碰撞

10、有效直径l当温度升高时，EK0也增加，因而横轴升高，d 将减小，说明d与气体温度有关。温度越高，d 越小。l需要说明，由于原子核外的电子呈电子云分布，因而原子或分子没有明确的边界，也就谈不上有什么明确的直径。l通常提到的分子直径有两种理解：（1）一种指分子的大小，这主要是指由它们组成固体时，最邻近分子间的平均距离。 由于固体中的分子（或原子）处于密堆积状态，分子（或原子）均在平衡位置附近。这时把平衡位置时两分子质心间平均距离r0视作分子直径（2）另一种理解的分子直径是指两分子相互对心碰撞时，两分子质心间最短距离，这就是分子碰撞有效直径 d。显然 r0 与 d 是不同的，但在通常情况下， 两者差

11、异不大。四、范德瓦斯方程 1873年荷兰物理学家范德瓦耳斯（Waals,van der）在克劳修斯论文启发下，对理想气体的两条基本假定（即忽略分子固有体积、忽略除碰撞外分子间相互作用力）作出两条重要修正，得出了能描述真实气体行为的范德瓦耳斯方程。（1） 分子固有体积修正 理想气体不考虑分子的固有体积，说明理想气体方程中容器的体积V就是每个分子可以自由活动的空间。如果把分子看作有一定大小的刚性球，则每个分子能有效活动的空间不再是V。若1mol气体占有Vm体积，分子能自由活动空间的体积为Vm 。则有 当压强p 时，气体体积V m b（2） 分子吸引力修正 设分子在相互分离时的吸引力为球对称分布，吸

12、引力作用半径为R0，每一分子均有以R0为半径的吸引力作用球， 气体分子只发生俩俩成对碰撞，而三个分子或更多分子同时碰在一起的情况几乎不发生。思考： 器壁实际受到压强要比气体内部的压强小，使气体施于器壁的压强减少了一个量值 ，这称为气体内压修正量。 若仪器所测出的气体压强为p,气体内部的压强为p内，则 同时考虑到分子固有体积修正及分子间吸引力修后得到的真实气体状态方程 若令k 表示每一分子进入界 面层时由于受到指向气内部的平均拉力作用所产生的平均动量减少量( )。 由于分子与器壁作完全弹性碰撞，使气体分子每与器壁碰撞一次所导致器壁的冲量减少了2k的数值。因为pi为分子吸引力存在而导致的压强修正量

13、，故 k与分子数密度n成正比，设比例系数为K， 则k= Kn a是与温度及气体种类有关的常数. （3）范德瓦尔斯方程（Van der Waals equation of state） 这是表示1mol气体的范德瓦耳斯方程.常量a 和b 分别表示1mol范氏气体分子固有体积修正量及吸引力改正量，其数值随气体种类不同而异，通常由实验确定。 若气体不是1mol，质量为m,体积为V，则范氏方程可写为例，氧气：真实气体(CO2)等温线范德瓦耳斯等温线 说明1. 范氏方程比理想气体方程进了一步，但它仍然是个近似方程2. 从范氏方程可知，当 时，Vm b，所有气体分子都被压到相互紧密“接触”而像固体一样，则b应等于分子固有体积。但理论和实验指出，b等于分子体积的四倍而不是一倍。 3. 由界面层中分子吸引力而产生，这里并未考虑到运动分子在界面层中还受到器壁分子吸引力这一因素.由于器壁分子数密度比气体分子数密度大2到3个数量级，器壁分子对碰撞分子作用比边界分子对碰壁分子作用强得多，为什么不予考虑？ 范氏方程最重要的特点是它的物理图像十分鲜明，它能同时描述气体,液体及气液相互转变的性质，也能说明临界点的特征，从而揭示相变与临界现象的特点。范德瓦耳斯是20世纪十分热门的相变理论的创始人，他于19