概率论与数理统计：3-2二维 r-v-的条件分布

1、3.2 二维 r.v.的条件分布设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布若则称为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律二维离散 r.v.的条件分布律 3.2离散条件分布 若则称为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律类似乘法公式类似于全概率公式例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求例1(1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律；(2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律.解 先求联合分布，其联合分布与边缘分布如下表所示XY pij0 1 2 301230000

2、00pi1p j X 0 1 2 3将表中第一行数据代入得条件分布(1) Y 0 1(2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1.将表中第三列数据代入下式得Y 的条件分布解例2例2 已知一射手每次击中目标概率为 p ( 0 p 0, 则称为Y = y 时，X 的条件分布函数, 记作定义类似地, 称为X = x 的条件下Y 的条件分布函数; 为 X = x 的条件下Y 的条件 p.d.f.称为 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f.称注意y是常数, 对每一 fY (y) 0 的 y 处, 只要相仿论述.仅是 x 的函数, 类似于乘法公式：符合定义的条件, 都能定义相应的函数.类似

3、于全概率公式类似于Bayes公式例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求r解x-r=例3同理，边缘分布不是均匀分布！当 r y r 时，y 这里 y 是常数，当Y = y 时，当 r x r 时， 这里 x 是常数，当X = x 时，x事实上正态性质3正态分布的条件分布仍为正态分布正态分布性质3同理，例5 设求解y = x11例5y = x11当0 y 1 时，y当0 x 0 时，即 0 x 1 时，当f X(x) = 0 时，f (x,y) = 0故x + y =11y = x10.5y = x110.5y = x110.5设(X,Y )为二维 r.v. 若对任

4、何则称 r.v. X 和Y 相互独立 两个 r.v. 的相互独立性 将事件独立性推广到 r.v.实数 x, y 都有3.3定义由定义知二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立X与Y 独立即连续型二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立,则边缘分布完全确定联合分布对一切 i , j 有离散型X与Y 独立对任何 x ,y 有二维连续 r.v. ( X,Y ) 相互独立设离散 r.v. X ,Y 相互独立, 且服XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5问题从同一分布, 是否有 X = Y ？为简单计不妨假设-1 1 -1 10.25 0.250.25 0.250.5 0.50.5 0

5、.5XY 由X ,Y 独立性问题故不能说 X = Y .由上表易得:（即使概率为1的事件未必是必然事件）证对任何 x, y 有取X与Y 相互独立正态分布性质4(必要性)正态性质4故充分性 将代入即得例1 已知 ( X, Y ) 的联合 d. f.为(1)(2)讨论X ,Y 是否独立？例1解(1) 由图知边缘 d.f. 为11显然，故 X ,Y 相互独立(2) 由图知边缘 d. f. 为显然，故 X ,Y 不独立11判独立的一个重要命题 设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y)为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也相互独立.即独立 r.v.的连续函数仍独立

6、.若 X ,Y 为相互独立的 r.v.则a X + b, cY + d 也相互独立；X 2, Y 2 也相互独立；随机变量相互独立的概念可以推广到 n 维随机变量若则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立由命题知算出罪犯的身高. 这个公式是 公安人员根据收集到的罪犯脚印，通过公式 由脚印估计罪犯身高 如何推导出来的?估身高显然，两者之间是有统计关系的，故设一个人身高为 ,脚印长度为 . 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故应作为二维随机变量 来研究. 由中心极限定理知 可以近似看成服从二维正态分布其中参数 因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化 ，但它们都能通过统计方法而获得.密度为现已知罪犯的脚印长度为 , 要估计其身高就需计算条件期望 , 条件 的密度函数, 因此 这正是正态分布