10.2排列与组合（基础教育）

1、10.2 排列与组合要点梳理1.排列 （1）排列的定义：从n个 的元素中取出m (m n)个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m（mn）个元素的 的个数叫做从n个 不同的元素中取出m个元素的排列数，用A 表示.不同顺序所有不同排列基础知识 自主学习1阳山书屋（3）排列数公式：A = . （4）全排列：n个不同的元素全部取出的 ，叫 做n个不同元素的一个全排列，A =n (n-1） （n-2）21= .于是排列数公式写成阶乘 的形式为 ，这里规定0！= .2.组合（1）组合的定义：从n个 的元素中取出m（m n）

2、个元素 叫做从n个不同的元素中取出 m（mn）个元素的一个组合.n(n-1)(n-2)(n-m+1)排列n！1不同合成一组2阳山书屋（2）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m n）个元素的 的个数，叫做从n个不同的元素中取出m（mn）个元素的组合数，用C 表示.（3）组合数的计算公式： = ，由于0！= ，所以 C = .（4）组合数的性质：C = ；C = + .所有不同组合113阳山书屋基础自测1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（） A.9个B.24个C.36个D.54个 解析 选出符合题意的三个数有 =9种

3、方法，每三个数可排成 =6个三位数， 共有96=54个符合题意的三位数.D4阳山书屋2.已知1，2X1,2,3,4,5，满足这个关系式的集合X共有（） A.2个B.6个C.4个D.8个 解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个. 故有 =8（个）.D5阳山书屋3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥 运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加， 则不同的选派方案共有（ ） A.25种B.35种C.840种D.820种 解析 若选男生甲，则有 =10种不同的选法；同 理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都不选有 =5种不同的选法，所以共

4、有25种不同的选派方案.A6阳山书屋4.（2009湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（） A.85B.56C.49D.28 解析 丙不入选的选法有 =84（种）, 甲乙丙都不入选的选法有 =35（种）. 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.C7阳山书屋5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（） A.36种B.48种C.72种D.96种 解析 恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第 三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共 =72种排法.C8阳山书屋题型一 排列问

5、题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选其中5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻； （6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.题型分类 深度剖析9阳山书屋 思维启迪 无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法. 解 （1）从7个人中选5个人来排列， 有 =76543=2 520种. （2）分两步完成，先

6、选3人排在前排，有 种方法，余下4人排在后排，有 种方法，故共有 =5 040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.10阳山书屋 （3）（优先法） 方法一 甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有 种方法，故共有5 =3 600种. 方法二 排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有 种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有 种方法，共有 =3 600种. （4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有 种方法，再将4名女生进行全排列,也有 种方法,故共有 =576种.11阳山书屋 （5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要

7、求，所以应先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有 种方法，故共有 =1 440种. （6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有 种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有 种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有 种方法，故共有 =720种.12阳山书屋 探究提高 排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.13阳山书屋知能迁移1

8、用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数： （1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数. 解 （1）先排个位，再排首位，共有 =144（个）. （2）以0结尾的四位偶数有 个，以2或4结尾的四位偶数有 个，则共有 =156（个）. （3）要比3 125大，4、5作千位时有2 个，3作千位，2、4、5作百位时有3 个，3作千位，1作百位时有2 个，所以共有2 =162(个).14阳山书屋题型二 组合问题【例2】 （12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运

9、动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.15阳山书屋思维启迪 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类.解 （1）第一步：选3名男运动员，有 种选法.第二步：选2名女运动员，有 种选法.共有 =120种选法.3分（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为 =246种.6分16阳山书屋方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.所以“至少有

10、1名女运动员”的选法为 =246种. 6分（3）方法一 可分类求解：“只有男队长”的选法为 ；“只有女队长”的选法为 ；“男、女队长都入选”的选法为 ；所以共有2 + =196种选法.9分17阳山书屋方法二 间接法：从10人中任选5人有 种选法.其中不选队长的方法有 种.所以“至少1名队长”的选法为 - =196种.9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 - 种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191种. 12分18阳山书屋 探究提高 解组合题时，常遇到“至多”、“至

11、少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.19阳山书屋知能迁移2 在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A，B必须当选； （2）A，B必不当选； （3）A，B不全当选； （4）至少有2名女生当选； （5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.20阳山书屋解 （1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有 =120种.（2）从除去的A，B两人的10人中选5人即可，有 =252种.（3）全部选法有 种，A，B全当选有

12、种，故A，B不全当选有 - =672种.21阳山书屋（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，有 =596种选法.（5）分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为 ；第二步：选2男1女补足5人有 种；第三步：为这3人安排工作有 .由分步乘法计数原理共有 =12 600种选法.22阳山书屋题型三 排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 把不放球的盒子先拿走，再放球到余 下的盒子中并且不空. 解 （

13、1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒 子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒 子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1 个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分 步乘法计数原理，共有 =144种.思维启迪23阳山书屋（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有 种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有 种方法

14、；第二类有序均匀分组有 种方法.故共有 （ ）=84种.24阳山书屋 探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？25阳山书屋 解 （1）先排前4次测试，只能取正品，有 种不同测试方法，再从4件次

15、品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有 = 种测法，再排余下4件的测试位置，有 种测法.所以共有不同排法 =103 680种. （2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以不同测试方法共有 （ ） =576种.26阳山书屋方法与技巧1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.3.对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.思想方法 感悟提高27

16、阳山书屋4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.失误与防范 要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不 要重复计数.28阳山书屋一、选择题1.（2009辽宁理，5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（） A.70种B.80种 C.100种D.140种 解析 对此问题可分类：男2女1和男1女2，故总共有 =70种不同的组队方案.A定时检测29阳山书屋2.（2009北京理，7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A.324B.328

17、 C.360D.648 解析 若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：当个位上是0时，共有98=72种情况；当个位上是不为0的偶数时，共有488=256种情况. 综上，共有72+256=328种情况.B30阳山书屋3.高三（一）班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个 舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节 目不连排，则不同排法的种数是（） A.1 800 B.3 600C.4 320D.5 040 解析 4个音乐节目和1个曲艺节目的排列共 种. 两个舞蹈节目不连排，用插空法，不同的排法种 数是 =3 600.B31阳山书屋4.摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，

18、2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（） A.1 440种B.960种 C.720种D.480种 解析 2位老师作为一个整体与5名学生排队，相当于6个元素排在6个位置，且老师不排两端，先安排老师，有 种排法，5名学生排在剩下的5个位置,有 种，所以共有 =960种排法.B32阳山书屋5.（2009广东理，7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A.36种B.12种C.18种D.48种 解析 小张和小赵选派一人参加有

19、=24种方案，小张和小赵都参加有 =12种方案， 共有不同的选派方案24+12=36种.A33阳山书屋6.2008年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到 3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至 少分配一名志愿者的方案种数为（） A.540B.300C.150D.180 解析 每个场馆至少一名志愿者，相当于将5人分成三组，然后排列，三组的人数分别为3，1，1或2，2，1，这样,分组方法共有 种，然后三组进行排列，有 种. 所以共有 =150种方案.C34阳山书屋二、填空题7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不

20、同的排法共有 种. 解析 甲、乙排在一起，用“捆绑”排列，丙丁 不排在一起，用插空法，不同的排法共有 =24种.2435阳山书屋8.宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为 .（用数字作答） 解析 可以先将五盏灯排列，然后将3盏将要熄灭的灯分成三组插空，共有20种不同的熄灯方法.2036阳山书屋9.（2009浙江理，16）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）. 解析 当每个台阶上各站1人时有 种站法，当两个人站在同一个台阶上时有 种站法，因此不同的站法种数有 =210+126 =336（种）.33637阳山书屋三、解答题10.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ （4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解（1）只需从其他18人中选3人即可， 共有 =816（种）；38阳山书屋（2）只需从其他18人中选5人即可，共有 =8 568（种）；（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，