徐芝纶版弹性力学第五章精品课件张量分析

1、第一节第一节 问题的提出问题的提出第二节第二节 矢量的基本运算矢量的基本运算第三节第三节 坐标变换及张量的定义坐标变换及张量的定义第一节第一节 问题的提出问题的提出第二节第二节 矢量的基本运算矢量的基本运算第三节第三节 坐标变换及张量的定义坐标变换及张量的定义自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长坐标系引入后的相关表达式冗长 引入张量方法引入张量方法 A A1 指标符号指标符号)n,.,i (xi21下标符号下标符号 i 称为指标；称为指标；n 为维数为维数指标指标 i 可以是下

2、标，如可以是下标，如 xi 也可以是上标，如也可以是上标，如 xi nx.x ,x21记作记作指标的取值范围如不作说明，均表示从指标的取值范围如不作说明，均表示从13定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标 xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(一若干约定一若干约定 哑标和自由标哑标和自由标 1. Einstein求和约定求和约定 凡在某一项内，凡在某一项内，重复一次且仅重复一次重复一次且仅

3、重复一次的的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为并称这样的指标为哑指标哑指标。如：。如： niiinniixaxaxaxa)n,i (xa1221121又如：又如： zyx332211jjii重复不止一次的指标，求和约定失败重复不止一次的指标，求和约定失败 求和约定仅对字母指标有效，对数字求和约定仅对字母指标有效，对数字指标不存在求和运算。如指标不存在求和运算。如 同一项内二对哑标应使用不同指标，如同一项内二对哑标应使用不同指标，如 31i31ijiijjiijxxaxxaz331234哑标可以换用不同的字母指标哑标可以换用不同的字母

4、指标2.2.求导记号的缩写约定求导记号的缩写约定 jijijjxuux, ) () (22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k3.3.自由标自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如 jijibxaj 为自由标为自由标 j=1 1313212111bxaxaxa同一个方程中各项自由标必须相同同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标，但所有项的不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变自由标可以改变 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：二二克罗内克（克罗内克（Kronecke

5、r-）符号）符号 定义定义： jijiij当当01由定义由定义 111213212223313233100010001ijIjiijiijjjjiijdxdxdxdxdzdydxdsAjjjAAAAAAA2222321332211321亦称为代替符号，代替哑标。亦称为代替符号，代替哑标。ij性质：性质： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3,三三Ricci 符号符号 kjie定义：定义： 011ekji即：即：011113112111321132213312231123.eeeeeeee

6、e共共27个分量，亦称为排列符号、置换符号个分量，亦称为排列符号、置换符号 ki ji jkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA)A(aaaeaaaeaaaaaaaaakjikjikjikji71 32132132231133211231221311321132213312231123eeeeee-恒等式恒等式 )(81Aeet is jt js it skjik由此得由此得 633ee23eejjkjjkkkjjkjikjiskkskskjjsksjjsjikjiA A2 矢量的基本

7、运算矢量的基本运算 ia分量矢量 a标方向的单位矢量） ( 个坐基矢量3 e e e321) 12( 33221Aaaaaiieeeea1说明说明任意矢量可以表示为基矢量的线性组合任意矢量可以表示为基矢量的线性组合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1.1.点积点积 基矢量点积基矢量点积 )22( A ijjiee 任意两矢量的点积任意两矢量的点积 3)2( A babababajjiiijjijijieeba1212.叉积叉积 基矢量的叉积基矢量的叉积 )A( ekji42 kjieee由于由于 kjkieeeekjki ktt321jieeeeeeeekjitjisjr itsrjjj

8、iiieee321321特别地：特别地： 33k21eeeee12312eektsrrstkjikjiaaaeaaaeaaaaaaaaaA321321333231232221131211比较：比较： 两个任意矢量的叉积两个任意矢量的叉积 ) 52(A baeebababajikjikjijijijic eeeeeebakkjiji23.混合混合积积 基矢量混合积基矢量混合积 )72( )(Aeeekjikrr jir jikrkjieeeee故也有定义故也有定义 )()(kjikjieeeeeekjie1 矢量混合积矢量混合积 () ( 26)i jkijri jkijrkri jkijkea

9、bceab c eab cAkrabcee表示的是以表示的是以 为边长的平行六面体的体积。为边长的平行六面体的体积。 cb,a,24.4.并矢（并乘）并矢（并乘） 定义：定义： jijieeeeabjijibaba展开共展开共9项，项， 可视为并矢的基可视为并矢的基 ije ejiba为并矢的分解系数或分量为并矢的分解系数或分量 A A3 坐标变换坐标变换 与张量的定义与张量的定义 2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e1.平面笛卡儿坐标系旋转变换平面笛卡儿坐标系旋转变换1ee22x2x1x1x2x1x1x2x),j ,i ()cosji21 (jie ,e令：cossinsincosji)

10、cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e则：1e2ee21e)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同样：21121 xxxxji）式得由（1 :jiTji比较ji为正交矩阵为正交矩阵引用指标符号：引用指标符号：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 讨论讨论: :上式的几何意义上式的几何意义说明说明 1基矢量具有与坐标分量相同的变换规律基矢量具有与坐标分量相同的变换规律jijieeeeijji2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换矢量的分量

11、也具有与坐标分量相同的变换规律规律jijijjiivvvv2x2x1x1x2x1x1x2x1e2ee21e2. 三维情况三维情况jiijjijieeee 考虑一位置矢量考虑一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理同理jijixx同二维问题，可得同二维问题，可得ikkjij（正交性）（正交性）可试证：可试证：kijkji3. 张量定义张量定义 定义：在坐标变换时，满足如下变换关系定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量的量称为张量 lkjillkkjjiiijklijklkkjjiilkji自由标数目自由标数目n张量的阶

12、数；对于三维空间，张量的阶数；对于三维空间，张量分量的个数为张量分量的个数为3n个，变换式也有个，变换式也有3n个。个。采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）可写成上式的量也称为张量（第二种定义）可写成上式的量也称为张量（第二种定义）.ijkllkjieeee 讨论讨论 ijk lTTijklTe ee e12上述表达式具有不变性特征；上述表达式具有不变性特征；张量分量张量分量 与坐标系有关；与坐标系有关；ijT3 在坐标变换时遵循相同的变换规律在坐标变换时遵循相同的变换规律ijT小结：张量的含义及表示小结：张量的含义及表示jjiixxjijixx T Tij

13、jji iji )(jie ,ecosji T Tjijji iij ijk lTTijklTe ee e 符合符合 ,为一新张量为一新张量A A4 张量代数张量代数 以二阶张量为例说明以二阶张量为例说明1. 加减法加减法 只有同阶张量才能加减，仍为同阶张量只有同阶张量才能加减，仍为同阶张量如：张量如：张量 A,BjijijijieeeeBeeeeAjiijjiijBBAAeeeeBAjijiijijijT)BA(.ijkllkjieeee 另证：另证： jji iijijjji ijijiijjji ijiijjji iji)BA(BABBAAjiTijT 符合符合 ,为一新张量为一新张量.

14、ijklkkjjii.lkji.交换律：交换律：结合律：结合律：ABBACBACBA)()(2.矢量与张量的点积矢量与张量的点积 ijiTaijiTe eae12左点乘：左点乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右点乘右点乘 :kiikjieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i时相等只有一般jiijTT, aTTa3.矢量与张量的叉积矢量与张量的叉积左叉乘左叉乘 A krkrkjieeeeeeeTakjirjirjikjikjiTaeeTa)T()a(12右叉乘右叉乘 BeeeeeeeaTriikjikjirkjrrkjkjikj

15、iaTeeaTaT)()(aTTa 一般4. 张量与张量的点积张量与张量的点积SeeeeeeeeeeeeeeBAtsjitsjitsrkji.BA.BA).B().A(t.skk.jirkt.srk.jit.srk.ji两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减是原两个张量的阶数之和减2。 5. 张量的双点积张量的双点积tititsrkjieeeeeeeeeeBAtjkjkiskjrstrjkistrjkiBABABA)( : )(:两个张量双点积的结果仍为张量，新张量的阶两个张量双点积的结果仍为张量，新张量的阶数是原两个张量的阶数

16、之和减数是原两个张量的阶数之和减4。 6. 张量的双叉乘张量的双叉乘tnmitnmitsrkjieeeeeeeeeeeeeeBArstjkiksnjrmksnstrjrmjkistrjkiBAeeeBeA)B()A( 两个张量双叉乘的结果仍为张量，新张量的阶两个张量双叉乘的结果仍为张量，新张量的阶数为原两个张量的阶数之和减数为原两个张量的阶数之和减2。 7. 张量缩并张量缩并jieejiA A对对A进行缩并进行缩并 332211AAAAAAAi ijijijijiee将其中的二个基矢量点乘，得到比原张量低二阶将其中的二个基矢量点乘，得到比原张量低二阶的新张量。二阶张量相当于将对角元素求和，高的

17、新张量。二阶张量相当于将对角元素求和，高阶张量相当于分量的某两个指标相同。阶张量相当于分量的某两个指标相同。8. 指标置换 kjieeekjiA A若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如：一个与原张量同阶的新张量。如： kjikjieeeeeekjiki jBA 指标置换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到。指标置换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到。 kjikjikijeeeeeeeeekjiki jkjiBAA 9. 对称化和反称化 对于二阶张量：对于二阶张量：i jjiTT 对称，有对称，有6个独立分量个独立

18、分量 i jjiWW反对称，有反对称，有3个独立分量个独立分量 高阶：对称形式多样高阶：对称形式多样 ikjlijklEE关于关于j, ,k对称的四阶张量对称的四阶张量jikijkBB关于关于j, ,i反反对称的三阶张对称的三阶张量量对称化：对称化：对称jijii jjijiTTAA21T ),(反对称化：反对称化：反对称jijii jjijiTTAA21T ),(10.10.商法则商法则阶张量的分量是（则：若有：阶张量的分量是阶张量的分量是设：)nmABACnBmCnmnnmmnmj.jji.i ij.jjj.jji.i ii.i ij.jji.i i2121212121212121 证明证

19、明next证明证明:)(B.A.BA(.C.C)(BACnnnnmmmnnmmmmmmmnnmmj.jljljl.lk.kkikil.ll.lk.kkikik.kkikii.ij.jj.ji.ii.i11111111111111111111 ) 又：任意性），且）与（比较（nj.jB1nmnnmmnml.lk.kljljkikij.ji.iA.A11111111 举例举例A A5 二阶二阶张量张量 二阶张量也称二阶张量也称仿射量仿射量，它相当于一个方矩阵，它相当于一个方矩阵，在向量空间，类似线性变换算子的作用。如：在向量空间，类似线性变换算子的作用。如： ueeeeeviikji ijjikj

20、iuvBvBBjijvB结果为一矢量，分量为 B的作用如同一个算子，将空间内一个向量的作用如同一个算子，将空间内一个向量变换成另一个向量。或者说变换成另一个向量。或者说B能把一个向量空间能把一个向量空间映射为另一向量空间。映射为另一向量空间。 baba BBB)(B 是一个线性算子是一个线性算子1.1.转置转置定义：定义：jijieeeei jTjiBB TB为反对称张量即如果为对称张量即如果B B,BB B,BTT jiijjiijBBBBjieeBjiB对于:性质：性质：T1TTT)(B)(BB)(BAB)(ABBBAB)(A1TTTTTTT aaabba TBB2. 逆 IBB1 jij

21、kkiBB1性质：性质：II1111BAA)(B 1BB)( 11定义：定义：3.对称仿射量的主向和主值 对于仿射量对于仿射量B，若存在三个相互垂直的方，若存在三个相互垂直的方向向i，其映象，其映象 Bi，B，B也相互也相互垂直，则称该三个方向为垂直，则称该三个方向为B的主向。的主向。 定义：定义： 对称仿射量对称仿射量 T 必存在三个主向和三个相应必存在三个主向和三个相应的主值。主值的主值。主值S满足如下特征方程。满足如下特征方程。 0IIIIII23SSS 其中，其中，称为仿射量称为仿射量T的第一、第的第一、第二、第三不变量二、第三不变量 3332312322211312113331131

22、13332232222211211332211IIIIIITTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT由特征方程由特征方程 可求解出可求解出三个主值为：三个主值为： 0IIIIII23SSSI31)32sin(32I31sin32I31)32sin(32321eSeSeSjijiTqeeqI31III3166,233arcsin31223 其中，其中， 4. 各向同性张量 定义：定义：在坐标任意变换时，各分量保持不变的张量，称为各向同性张量。 性质：性质：零阶张量零阶张量(即标量即标量)总是各向同性的。总是各向同性的。 一阶张量一阶张量(即矢量即矢量)总不是各向同性的。总不是各向同性的。

23、对于对称二阶张量，必存在三个主向和主值，如对于对称二阶张量，必存在三个主向和主值，如果其三个主值相等，即果其三个主值相等，即3，则，则是各向同性的。是各向同性的。 123TT j ijjjjjijieeeeeeeeeejijijiT因为：因为：jijijijiTT因此：因此：4可以证明：四阶各向同性张量有可以证明：四阶各向同性张量有 kjl il jkilkjilkjiAT 是各向同性的是各向同性的A A6 张量分析张量分析一一 梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度力学中：力学中：几何方程与位移场的梯度有关几何方程与位移场的梯度有关转动量与位移场的旋度有关转动量与位移场的旋度有关平衡方程与应力场的

24、散度有关平衡方程与应力场的散度有关1 哈密顿哈密顿(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表可以表示为示为:iixiiee 可以证明可以证明, Hamilton算子具有张量的属性算子具有张量的属性,相当相当于一阶张量。于一阶张量。2、梯度、梯度 1标量场标量场 iei321gradxxx,),( 为一阶张量矢量为一阶张量矢量 2张量场张量场 jieeijA A（1）左梯度）左梯度kjiijkkjjkiiAAeeeeee,A （2）右梯度）右梯度高一阶的张量场 ikjijkikjjkiAAeeeeee,A A

25、A 一般3、散度、散度 1矢量场矢量场 ueeujijijjuu,div为一标量为一标量2张量场张量场 （1）左散度）左散度kkkjieeeeejjkijijkjkiAAA,A （2）右散度）右散度kjjikjeeeeeejkjkjkkiijkjkiAAAA,A 4、旋度、旋度 1矢量场矢量场 ueeeeeeeeujijik321jijijikjiuuueuuuzyxcurl321jiee 2张量场张量场 （1）左旋度）左旋度jikrkrkjieeeeeeeeej,rkikrk,ijrjir jik,ijkjiAeAeeAA A（2）右旋度）右旋度jiijrjikjeeeeeeeeek,rij

26、rkk,rji rkk,ijr ikkjiAeAeAeA AAA 一般二二. 高斯高斯Gauss公式公式SipjkVipjkdsnTdvT.,.式中，式中，S S是空间体积的封闭边界面，是空间体积的封闭边界面，n ni i为边为边界面界面S S的外法向方向余弦。的外法向方向余弦。 ,SijVijdsnAdvA ,SiVidsndv SVdsdvn ,SjjVjjdsnAdvA SVdsdvAnA讨论：讨论：1、标量场、标量场2、矢量场、矢量场推广到任意阶张量的情形：推广到任意阶张量的情形： ,SlkjiVlkjidsnAdvA其不变性记法为其不变性记法为 : : SVdsdvAnA称为广义高斯

27、公式，或称散度定理。称为广义高斯公式，或称散度定理。 3 ,SikjiVikjidsnAdvAA A7 曲线坐标中的曲线坐标中的张量分析张量分析1、曲线坐标、曲线坐标 1x3x2xoP1x2x3x3gr2g1g坐标变换：坐标变换：),(321xxxfxii逆变换：逆变换：),(321xxxgxii上述变换一一对应的充要条件是：上述变换一一对应的充要条件是：* fi，gi 为单值连续可微函数为单值连续可微函数*在域内任意点处：在域内任意点处：0 xxJji11 JJxxxxxxxxjrrijrrij i?0 , 01jrxxJJ有当可以调整可以调整 的次序，使的次序，使J0 ，称为正常容许变换，

28、称为正常容许变换 i满足以上二个条件，称为容许变换满足以上二个条件，称为容许变换因为因为2、局部基矢量、局部基矢量 在笛卡儿坐标系，空间任意向量在笛卡儿坐标系，空间任意向量(张量张量)都可以都可以在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释：在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释： 1. 1. 固定在原点固定在原点ie2. 2. 在每个考察点上在每个考察点上此处此处 仅表明方向的作用仅表明方向的作用在曲线坐标系，采用第二种做法在曲线坐标系，采用第二种做法ieie定义定义：切向量：切向量 iiieergiiiiixx)(xxx 作为该点的局部基，也称作为该点的局部基，也称自然基自然基为书写方便，曲

29、线坐标以后也不带撇为书写方便，曲线坐标以后也不带撇一般：一般： 不是单位矢量，大小和方向随考察点而变不是单位矢量，大小和方向随考察点而变ig定义：定义：)(jijig jijieegg类比1x3x2xoP1x2x3x3gr2g1g对于正交曲线坐标系对于正交曲线坐标系 332211jig000g000ggjig称为度量张量称为度量张量例例1 求圆柱坐标系的自然基和度量张量。求圆柱坐标系的自然基和度量张量。 cosrx sinry zz 解：解：33212211321ergeergeergeeer zrrrzrrcossinsincossincos 1000r00012jig例例2 球球坐标系坐标

30、系),(r21332123211321eergeeergeeergeeercossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossincossinsincossinrrrrrrrrr 222sin0000001rrjigcossinsincossinrzryrx 借助自然基的概念，笛卡儿坐标系中关于张借助自然基的概念，笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等，可以推广到曲线坐标量的定义和张量的运算等，可以推广到曲线坐标系，也有：系，也有： kjigggkjiA A 但基矢量但基矢量 及变换系数及变换系数 是空间点位置的函是空间点位置的函数数i iig自然基矢量自然基矢

31、量 量纲为量纲为1的单位矢量的单位矢量iiggi iiig1g1e 对于正交曲线坐标对于正交曲线坐标ijjiee 这样定义的局部标架与笛卡儿直角标架相当，称这样定义的局部标架与笛卡儿直角标架相当，称这种正交单位标架为这种正交单位标架为物理标架物理标架，或称，或称物理基物理基。 例例1 圆柱坐标系的物理基为圆柱坐标系的物理基为 321321eeeggg10000r1eee321cossinsincos33212211ergeergeergzrrrcossinsincos 1000r00012jig例例2 球坐标系的物理基为球坐标系的物理基为 321321eeeggg0r1r1eee321coss

32、insinsincoscoscoscossinsincossinsin21332123211eergeeergeeergcossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinrrrrrr222sin0000001rrjig3、张量对曲线坐标的导数、张量对曲线坐标的导数 (1) (1) 曲线坐标系的曲线坐标系的Hamilton算子算子 以标量场以标量场 为对象（在曲线坐标中）为对象（在曲线坐标中）的长度为沿为单位矢量SSSss) ( iiegrrSiiiiiigsxsxsxxs又：Sei1i iigsx类似直角坐标，该表达式具有不变性另：另：sxxsii)( 1Se

33、iii ixg）式，得：和（比较 Ssiiiii ixgee1iiiiiixg1e 而于是称为称为形式导数形式导数 iSei1i iigsx(2) 克里斯多弗克里斯多弗（Christoffel）符号符号 物理基物理基 随位置点而变化随位置点而变化, ,涉及对它的导数涉及对它的导数 ie 定义：定义：kkjifdjiee 为为 在物理基上的分解系数，称为在物理基上的分解系数，称为克里斯多弗克里斯多弗符号符号。 kjijie kjjkjkjgggggee)1(11)1(1jjiijjkki ikkjjii iikjigxxgggggxgjgi jkg)( )(agkkkj,kiijjijigggg

34、gg)( )(bgiiik,ijjkkjkjgggggg)( )(cgjjji,jkkiikikgggggg注意到：注意到：jkjikiggggrgrgrgikki2iik2kiixxxxx ; )(21)()()(,kijjkiijkigggacbkjgg? kjggi涉及涉及代回后，可得：代回后，可得： kj)()(,gg1xgggg21ggg1jjijjkjijikikjkkjji ikji 若干性质：若干性质：*kjikji证明：证明：kjkjee 0eeeeeejkikjijkikjikji )(0kkikjikji共有共有9个个在正交曲线坐标系中，当在正交曲线坐标系中，当时，时，0

35、gkj*时，）式，当由（kji0kji个。独立但由反对称性个个分量，剩下不为零的共这样，612692727kjikjikji,kjggggggggkkjkkjjjkkjkkkkjjkkkjkln121211,）由（)( )()(kj,gg1xgggg21ggg1jjijjkjijikikjkkjji ikji例例1 求圆柱坐标系的求圆柱坐标系的 kji解：解： 在圆柱坐标系，在圆柱坐标系， 1, 1332211grgg, 0ln1, 0ln1, 0ln1,1ln1, 0ln1, 0ln1ln1332232333113132233232221121211331311122121gggrggzgr

36、grggzgggkjggkkjjjkjk(3) 曲线坐标系中张量的梯度曲线坐标系中张量的梯度 矢量的梯度矢量的梯度 1kjkijijijikjkijijkjijijijjjiijjiivvvvvvvvvvv式中：jijikijieeeeeeeeeeeeev)()(ie仍记为为方便起见，ie 2张量的梯度张量的梯度kjikjirjkrkjikjkjkjikjieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeAkjirjkrikrjrikjirkikjrjikjkjiikjikjkjikjiAAAAAAAAAA)(A)()(rjkr ikrjr ikjikjiAAAA其中，推广到任意阶张量的梯度为推广到任意阶张量的梯度为 eeeeeeeeeeeikjikjikjii