高斯定理及应用

1、rerqE20412、电场强度通量（电通量）、电场强度通量（电通量） 3、4、高斯定理的应用、高斯定理的应用4-3 4-3 电场强度通量电场强度通量 高斯定理高斯定理一一 电场线电场线 （电场的图示法）（电场的图示法）1、规定：、规定：E* 电场线上一点的电场线上一点的切线切线方向表示该点场强的方向方向表示该点场强的方向* 电场线的疏密表示该点处场强的大小电场线的疏密表示该点处场强的大小SdEE描述电场分布情况的曲线。描述电场分布情况的曲线。垂直垂直通过单位面积的电场线条数就等于该点处电场强度的大小。通过单位面积的电场线条数就等于该点处电场强度的大小。S电场中带有方向的曲线，电场中带有方向的曲

2、线，非客观存在，为了更形象描述电场引入的非客观存在，为了更形象描述电场引入的一簇假想的曲线。一簇假想的曲线。几种常见的电场线：电偶极子的电场线电偶极子的电场线一对等量正电荷的电场线一对等量正电荷的电场线均匀带电直导均匀带电直导线的电场线线的电场线qq2 （1）起于正电荷）起于正电荷(或无限远或无限远)，终止于负电荷，终止于负电荷(或无限远或无限远)；2、电场线性质：、电场线性质：（2）电场线）电场线不会形成闭合曲线不会形成闭合曲线，也不在没有电荷的地方中断；，也不在没有电荷的地方中断；（3）任何两条电场线都不会相交；）任何两条电场线都不会相交； 注意：注意： （1）电场线并不真正存在）电场线并

3、不真正存在.为了描述电场分布而引入的曲线为了描述电场分布而引入的曲线 （2）电场线不是电荷运动的轨迹）电场线不是电荷运动的轨迹.（4）电场线密集处）电场线密集处,电场强度较大电场强度较大,电场线稀疏处电场强度较小。电场线稀疏处电场强度较小。+ + + + + + + + + + + + 二二 电场强度通量电场强度通量通过电场中某一个面的电场线通过电场中某一个面的电场线数目，叫做通过数目，叫做通过这个面这个面的的电场电场强度通量强度通量(简称电通量简称电通量) eCNm2单位：单位：ESeE面积元矢量：面积元矢量：neSSdd面积元范围内 视为均匀E通过面元的电通量:SEedd 非均匀电场强度电

4、通量非均匀电场强度电通量 SSeeSEdd通过曲面S的电通量SEEScosESe 均匀电场均匀电场 ， 与平面夹角与平面夹角E 均匀电场均匀电场 ， 垂直平面垂直平面EESdEneEneSSSESEdcosde 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量SEddeESdES闭合曲面闭合曲面向外为正，向内为负向外为正，向内为负(2) 电通量是代数量电通量是代数量：2为负为负 ed非闭合曲面非闭合曲面凸为正，凹为负凸为正，凹为负方向的规定：方向的规定：S(1)为正为正 ed20讨论讨论0de0de0deESnESnESn例例1 如图所示，有一个三棱柱体放如图所示，有一个三棱柱体放置在电场强度置在

5、电场强度 的匀强的匀强电场中电场中. 求通过此三棱柱体的电场强求通过此三棱柱体的电场强度通量度通量 .1CN200iE解解:下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd e左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前xyzEoPQRNMnenene下右左后前eeeeee1. 一电场强度为一电场强度为E的均匀电场，方向沿的均匀电场，方向沿x轴正向，如图所轴正向，如图所示则通过图中一半径为示则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为的半球面的电场强度通量为(A) R2E (B) R2E / 2 (C) 2 R2E (D) 0 x O E 2.一电场强度为一电场强度为E的

6、均匀电场，方向沿与的均匀电场，方向沿与x轴垂直的方向，轴垂直的方向，如图所示则通过图中一半径为如图所示则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量的半球面的电场强度通量为为 x O E (A) R2E (B) R2E / 2 (C) 2 R2E (D) 0练习题练习题：（D）（A）高高斯斯三三 高斯定理高斯定理 ( (C.F.Gauss 1777 1855） 德国数学家、天文学德国数学家、天文学家和物理学家，有家和物理学家，有“数数学王子学王子”美称，他与韦美称，他与韦伯制成了第一台有线电伯制成了第一台有线电报机和建立了地磁观测报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁台，高斯还创立了电磁量的绝对

7、单位制量的绝对单位制. .三三 高斯定理高斯定理niiSqSE10e1d在真空中在真空中, ,通过任一通过任一闭合闭合曲面曲面的电场强度通量的电场强度通量, ,等于该曲面等于该曲面所所包围包围的所有电荷的代数和除以的所有电荷的代数和除以 . .0( (与与闭合曲面外闭合曲面外的电荷无关的电荷无关, ,闭合曲面称为高斯面闭合曲面称为高斯面) )2、表达式：表达式：1、内容：内容：思考：思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ Es2 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？eniiq1 表示表示闭合曲面闭合曲面内内电荷的代数和。电荷的代数和。3

8、 3、定义式中各项的含义定义式中各项的含义S: 封闭曲面封闭曲面；E: 总场总场, ,S S内外所有电荷均有贡献内外所有电荷均有贡献)CmN(1085. 8221120:真空电容率真空电容率( (介电常数介电常数) )内qqi: :S S内的净电荷内的净电荷; ; :e只有只有S S内电荷有贡献内电荷有贡献. .0 点电荷点电荷位于球面中心位于球面中心20 4rqESSSrqSEd 4d20e0eq 此结果与球面半径此结果与球面半径 r 无关无关,也与闭合曲面的形状无关。也与闭合曲面的形状无关。+Sdr 点电荷在点电荷在闭合曲面内闭合曲面内+穿出蓝色闭合曲面的电场线数与穿出蓝色闭合曲面的电场线

9、数与穿出闭合球面的电场线数相同穿出闭合球面的电场线数相同.SSEde0qe 在点电荷在点电荷q的电场中，通过求电场强度通量导出的电场中，通过求电场强度通量导出.4 4、高斯定理的证明高斯定理的证明步骤步骤:先证明点电荷的场先证明点电荷的场, 然后推广至一般电荷分布的场然后推广至一般电荷分布的场高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理q2dS2E1dS1E+ 点电荷在点电荷在闭合曲面外闭合曲面外；0dd111SE0dd222SE0dd21 0dSeSE进入进入闭合曲面的电场线数闭合曲面的电场线数等于穿出等于穿出闭合曲闭合曲面的电场线数面的电场线数.面面内电荷内电荷对对电通

10、量有贡献电通量有贡献,在面在面外电荷外电荷对对电通量无贡献。电通量无贡献。iqsSdE 点电荷系点电荷系的电场的电场21EEE SiiSSESEdde （外）内）iSiiSiSESEdd( 内）（内）(0e1diiiSiqSE0e外iieqSE)(1d0内SVeVSEd1d0S不连续不连续分布分布的源电荷的源电荷 连续连续分布分布的源电荷的源电荷 高斯定理高斯定理5、意义：意义： （电磁场的基本方程之一）（电磁场的基本方程之一）反映电场的基本性质。反映电场的基本性质。 iieqSE)(1d0内Sq0sdEsq 0 ，有电场线发出。，有电场线发出。说明静电场是有源场说明静电场是有源场正电荷是电场

11、的源头，正电荷是电场的源头， 负电荷是电场的尾闾。负电荷是电场的尾闾。q所有所有( (曲面内和曲面外曲面内和曲面外) )电荷电荷在高在高斯面上产生的电场。斯面上产生的电场。:E闭合闭合曲面内曲面内电荷的代数和。电荷的代数和。: iqniiSqSE10e1d高斯定理高斯定理3 3）高斯面上的电场强度为高斯面上的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度. .4 4）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献有贡献. .1 1）高斯面为高斯面为封闭曲面封闭曲面. .5 5）静电场是静电场是有源场有源场. .2 2）穿进穿进高斯面的电场强度通量

12、为高斯面的电场强度通量为负负，穿出穿出为为正正. .总总 结结 闭合面外的电荷对通过闭合面的电场强度闭合面外的电荷对通过闭合面的电场强度通量通量没有贡献，没有贡献，但是对闭合面上各点的但是对闭合面上各点的电场强度电场强度是有的是有的 即即闭合面上各点的电场强度闭合面上各点的电场强度是由闭合面内、外所有电荷是由闭合面内、外所有电荷共同激发的。共同激发的。 高斯定理将静电场与场源电荷联系了起来，揭示了静电场高斯定理将静电场与场源电荷联系了起来，揭示了静电场是有源场这一普遍性质。是有源场这一普遍性质。 1S2S3Sqq01e1dqSES02e 在点电荷在点电荷+ +q和和- -q的静电场中，的静电场

13、中，做如下的三个闭合面做如下的三个闭合面S1 1, ,S2 2, ,S3 3，求求通过各闭合面的电通量通过各闭合面的电通量. .讨论讨论 将将q2 2从从A移到移到B，点点P电场强度是否电场强度是否变化变化？穿过高斯面穿过高斯面S的的 有否变化有否变化？e2q2qABs1qP*03e3dqSES点点P电场强度改变电场强度改变穿过高斯面穿过高斯面S的的 没有变化没有变化e* 是空间所有电荷共同产生的合场强是空间所有电荷共同产生的合场强EniiSqSE10e1d高斯定理高斯定理* 不能说明不能说明S面上的面上的E处处为零处处为零0dSSE* 不能说明不能说明S面上的面上的E处处不为零处处不为零0d

14、SSE四四 高斯定理的应用高斯定理的应用用高斯定理求场强时用高斯定理求场强时, ,电荷有对称性电荷有对称性, ,场也有某种对称性，场也有某种对称性，否则不能用否则不能用. .这这并不是说定理并不是说定理不适用于非对称情况，不适用于非对称情况，而是解不出而是解不出E E来来. .2.2.所求的场强必须在高斯面上；所求的场强必须在高斯面上；5.5.高斯面本身简单可积高斯面本身简单可积. .-计算电场强度。计算电场强度。成立条件成立条件: : 静电场静电场求解条件求解条件: : 场强分布具有对称性场强分布具有对称性中的从而简便地求出 分布.以标量形式提到积分号外,EE高斯面选取原则：当场源电荷分布具

15、有对称性时,应用高斯定律,选取适当的高斯面,使面积分SeSEd4.4.其他面应满足其他面应满足： E的方向与该面法向处处垂直的方向与该面法向处处垂直1. 高斯面可由若干个面组成高斯面可由若干个面组成3.3.其中至少有一个面应满足：其中至少有一个面应满足：在在该面上该面上，E的的大小处处相等大小处处相等，方向方向与与该面该面的的法向处处平行法向处处平行，SESESEd0cosdd02/cosddSESE四四 高斯定理的应用高斯定理的应用（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性对称性）1. 均匀均匀带电球面带电球面的电场的电场2. 均匀均匀带电球体带电球体

16、的电场的电场4. 均匀均匀带电无限大平面带电无限大平面的电场的电场3.均匀均匀带电圆柱面带电圆柱面的电场的电场 5. 均匀均匀带电球体空腔部分带电球体空腔部分的电场的电场利用高斯定理求解电场强度的一步骤为：利用高斯定理求解电场强度的一步骤为： 对称性分析；对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算应用高斯定理计算. .例如：例如： 球对称球对称：均匀带电的球体、球面：均匀带电的球体、球面( (点电荷点电荷) ) 轴对称轴对称：无限长柱体、柱面、带：无限长柱体、柱面、带电线电线 面对称面对称：无限大平板、无限大平：无限大平板、无限大平面面均匀带电球壳、

17、球面、球体均匀带电无限大平板EQPeES常见场源电荷分布类型常见场源电荷分布类型均匀带电细棒ElS erP几种常见的高斯面的选取几种常见的高斯面的选取例例2 2 均匀带电球面的电场强度均匀带电球面的电场强度, 0d1SSE0E,d02QSES20 4rQE, 402QrEORr1Sr2s一半径为一半径为R, 均匀带电均匀带电Q的球面的球面 . 求球面内外任意点的电场强度求球面内外任意点的电场强度.（1）Rr 0Rr （2）r = R 处处 E 值突变值突变,面模型面模型,分层体模型分层体模型,042rE204RQrRoE204rQ结果表明：结果表明：均匀带电均匀带电球壳外球壳外的场强分布的场强

18、分布,像球面上的电荷都集中像球面上的电荷都集中在球心时所在球心时所形成的点电荷形成的点电荷在该区的场强分布一样。在该区的场强分布一样。 在在球面内球面内的场强的场强均为零均为零。场强方向沿场强方向沿 半径方向向外半径方向向外 E0204rQ)(Rr)(Rr解：解： 对称性分析：对称性分析： 电荷球对称分布电荷球对称分布场强球对称分布场强球对称分布取球面为高斯面取球面为高斯面电荷分布球对称电荷分布球对称,解：解：对称性分析：对称性分析：电荷球对称分布电荷球对称分布,oSqSEd,402qrE （1）球外某点的场强）球外某点的场强( r R )204rqE3023414rrEioSqSE1d（2）

19、求球体内一点的场强）求球体内一点的场强304RqrERrr（r R）33034341rRqRrrqRrRqrE,4,42030场强球对称分布场强球对称分布rEOR电场分布曲线电场分布曲线334Rq例例3:已知球体半径为已知球体半径为R, ,带电量为带电量为q( (电荷体密度为电荷体密度为 ) )求均匀带电球体的电场强度分布求均匀带电球体的电场强度分布取球面为高斯面取球面为高斯面2303rRErE03场强方向沿半场强方向沿半径方向向外径方向向外例例4. 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为在球内挖去一个半径为r（rR）的球体。）的球体

20、。试证试证:空腔部分的电场为匀强电场空腔部分的电场为匀强电场,并求出该电场并求出该电场证明：证明：用补缺法证明。用补缺法证明。OP031在空腔内任取一点在空腔内任取一点p,E设想用一个半径为设想用一个半径为r且体电荷密度与大球且体电荷密度与大球相同的小球将空腔补上后，相同的小球将空腔补上后， p点场强变为点场强变为1E设该点场强为设该点场强为小球单独存在时，小球单独存在时，p点的场强为点的场强为cpE023 rcpoR1E2ErcpoR1E2EEEE21 21EEEoc03因为因为oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。为常矢量，所以空腔内为匀强电场。)(30cpop推广推广rPEEddqOqdd

21、ddEESL求无限长带电直线的场强分布求无限长带电直线的场强分布高高斯斯面面rl对称性分析对称性分析:选同轴圆柱型高斯面选同轴圆柱型高斯面高高斯斯面面lr+hneneneE+r+hneneneE+r求无限长均匀带电直线的场强分布（已知线电荷密度为求无限长均匀带电直线的场强分布（已知线电荷密度为 ）=0=0由高斯由高斯定理定理,得得:hqrhE00112内rE02 rOE侧下上SESESESESdddd侧侧SESEd dcos0rhE2解：解： 对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称场强轴对称分布场强轴对称分布选取闭合圆柱面为高斯面选取闭合圆柱面为高斯面电荷分布轴对称电荷分布轴对称,电荷轴对称分布

22、电荷轴对称分布以细棒为轴作一个高为以细棒为轴作一个高为h、截面半径为、截面半径为r的圆柱面的圆柱面，如图所示，如图所示. 以该圆柱面为高斯面，运用高斯定以该圆柱面为高斯面，运用高斯定理，理，由于对称性由于对称性，圆柱，圆柱侧面侧面上各点的上各点的场强场强E的大的大小相等小相等, 方向方向都都垂直垂直于圆柱于圆柱侧面向外侧面向外. 通过高斯面通过高斯面S的电通量可分为的电通量可分为圆柱侧面圆柱侧面和和上、下上、下底面底面三部分三部分通量通量的的代数和。代数和。方向沿场点到方向沿场点到直导线的垂线直导线的垂线方向方向.正负由电正负由电荷的符号决定荷的符号决定r2E0 两平行输电两平行输电线的场强？

23、线的场强？ar 0E brar2E0 br 0E abrEr推广推广: (1) 无限长带电无限长带电圆柱面圆柱面的场？的场？(2)同轴电缆同轴电缆(柱面柱面)的场强分布的场强分布?r2ERr0 Rr l0ERr prR (3) 无限长带电圆柱体的场？无限长带电圆柱体的场？rRERr022 :02: rE Rr S计算无限大均匀带电平面的场强分布计算无限大均匀带电平面的场强分布对称性分析对称性分析:对称性分析：对称性分析： 电荷均匀分布在无限大的平面上电荷均匀分布在无限大的平面上,所以电场分布对该平面对称所以电场分布对该平面对称 即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面即离平面等远处的场

24、强大小都相等、方向都垂直于平面.例例5 计算无限大均匀带电平面的场强分布（电荷面密度为计算无限大均匀带电平面的场强分布（电荷面密度为 ）00SqSES内d,20SES 选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面EES=ES侧右左SESESESESddddES2=ES=002EEEEExEO) 0( ) 0( 场强方向垂直于带电平面场强方向垂直于带电平面由高斯定理得：由高斯定理得： 电场分布曲线电场分布曲线E解：解：对称性分析：对称性分析：电荷均匀分布在无限大电荷均匀分布在无限大的平面上，所以的平面上，所以电场分布对该平面对称电场分布对该平面对称。即即离平面等远处的场强大小都相等、方向离平面等远处

25、的场强大小都相等、方向都垂直于平面都垂直于平面. 垂直于平面垂直于平面推广：已知推广：已知无限大无限大板板电荷体密度为电荷体密度为 ，厚度为，厚度为d板外：板外：02SdES 02dE外板内：板内：022xSES0 xE 内解解: 选取如图的圆柱面为高斯面选取如图的圆柱面为高斯面求求电场场强分布电场场强分布Sdx dSxOEx000000讨讨 论论无限大带电平面的电场叠加问题无限大带电平面的电场叠加问题该系统不再具有简单的对该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯称性，不能直接应用高斯定理。定理。然而每一个带电平然而每一个带电平面的场强先可用高斯定理面的场强先可用高斯定理求出求出，然后再用叠加原理然后再用叠加原理求两个带电平面产生的总求两个带电平面产生的总场强。场强。直流电路中的平行板电容器间的场强，就是这种情况。直流电路中的平行板电容器间的场强，就是这种情况。当带电直线当带电直线, , 柱面柱面, , 柱体不能视为无限长时柱体不能视为无限长时, , 能否用高斯定理能否用高斯定理求电场分布求电场分布? ? 关于高斯定理应用的几点说明关于高斯定理应用的几点说明1.1.高斯定理是高斯定理是反映静电场性质的基本定理反映静电场性质的基本定理, ,是普遍成立的是普遍成立的, ,然而用高斯定理计算电场强度然而用高斯定理计算电场强度