概率论与数理统计模拟试题

1、概率论与数理统计模拟试题概率论与数理统计模拟试题一、填空题一、填空题（两组选一组）两组选一组）(A)1、已知、已知P(A|B) = 0.3, P(B|A) = 0.4, P(A|B) = 0.7, 则则 P( AB) = _P(A|B) +P(A|B) = 0.3+0.7=1故故A、B独立独立，P(AB) =P(A)+P(B)-P(AB)P(A)=P(A|B) = 0.3, P(B)=P(B|A) = 0.4, P(AB)=P(A)P(B)=0.12P(AB) =P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.580.582、设、设XU1,3, YP(2),且且X 与与Y独立独立

2、, 则则D(X-Y-3)=_2.3333、一间宿舍内住有、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有个同学，求他们之中恰好有4个人的生日个人的生日在同一个月份的概率为在同一个月份的概率为_。没有任何人的生日在同一个。没有任何人的生日在同一个月份的概率为月份的概率为 C 61266!12C ?4、设、设X1,X2,X5是总体是总体XN(0,1)的简单随机样本，则当的简单随机样本，则当 12222345(XX ) t(3)kYXXXk=_时，时，322222345(3)WXXX1212222345(XX)(XX)33kkYWXXX221222(XX ) N(0,)1333k

3、kk(4.412,5.588)22(,)XuXunn5、设由来自总体、设由来自总体X N(a,0.92)容量为容量为9的样本，样本均值的样本，样本均值X=5，则参数则参数a的置信度为的置信度为0.95的置信区间为的置信区间为_(1.96)0.975)0.0250.05,(u)1 0.0250.975 0.025u1.960.90.9(51.96,51.96)99?故故P(AB)=P(A)P(B)=P(AB)=P(A)P(B) 因而因而P(A)=P(B)又又P(AB)=P(A)P(B)=1-P(A)1-P(B)=1-P(A)2=1/9 P(A)=2/31、设事件、设事件A与与B独立，独立，A与与

4、B都不发生的概率为都不发生的概率为1/9，A发生且发生且B不发生的概率与不发生的概率与B发生且发生且A不发生的概率相等，则不发生的概率相等，则A发生的概率发生的概率为：为：_ 2/3因事件因事件A与与B独立，所以独立，所以A与与B，A与与B，A与与B都相互独立。都相互独立。(B)2、设随机变量、设随机变量X B(2，p)、Y B(1，p)，若，若PX1=5/9，则，则p =_。若。若X与与Y独立，则独立，则Z=max(X,Y)的分布律：的分布律：_1/3Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27；因因PX1=5/9，所以，所以PX=0=4/9即即(1-p)2=4/9 X Y 0 1 p

5、i. 0 8/27 4/27 4/9 1 8/27 4/27 4/9 2 2/27 1/27 1/9 p.j 2/3 1/33、袋中有、袋中有a只白球、只白球、b只红球，大小相同，每次取一球只红球，大小相同，每次取一球(不放回不放回)，第第k(1ka+b)次取到红球的概率为次取到红球的概率为_.bab根据抽签原理，不论先抽还是后抽，概率相同，所以理解根据抽签原理，不论先抽还是后抽，概率相同，所以理解为第一次抽中红球，故为为第一次抽中红球，故为bab4、设、设XN(0，1)，X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本，若，若Y=X12+X22+Xn2，则则EY=_，DY=_n2n

6、5、设、设X1，X2，,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本，已知的一个样本，已知EX=，DX=8，试用切比雪夫不等式估计，试用切比雪夫不等式估计P(|X-|0，则（则（ ）22112211(A)cov(,);(B)cov(,);(C)()(2)2;(D)()(1)XXnXXD XXnD XXnnA222221122211112()(1)(1)niinnnD XXDXXnnnnn222221122211111()(1)(1)niinnnD XXDXXnnnnn2111111111cov(,)cov(,)cov(,)()X XXXX XD Xnnnn5、设总体、设总体XN(,2),为未知参数，样

7、本为未知参数，样本X1,X2,Xn的方差为的方差为S2，对假设检验对假设检验H0：2，H1： 0,0,则则c=( )c=( )(A) e;(B) e ;(C) e1;(D) e11、111111()!(1)1kkkkkPkckckce4、设、设(x)是标准正态分布函数，是标准正态分布函数，1,0iX，事件事件A发生发生否则否则i=1,2,100，且P(A)=0.8，X1，X2，,X100相互独立，相互独立，1001iiYX令，则由中心极限定理知，则由中心极限定理知，Y的分布函数近似为（的分布函数近似为（ ）80( )( );(B)();( )(1680);()(480)4yAyCyDyB100

8、1(100,0.8)iiYXB由中心极限定理知，由中心极限定理知，1001(80,16)iiYXN5、设随机变量、设随机变量Xt(n)(n1)，Y=1/X2，则，则( )22( )Y ( );(B) Y (1);( )Y ( ,1);()Y (1, )AnnCF nDFnC由于由于Xt(n)，所以，所以X2F(1，n)1、设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞、设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是机来的概率分别是3/10，1/5，1/10，2/5。如果他乘飞机来，不会。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是迟到；而乘

9、火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？解：设解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘火车、轮船、汽车和飞机，其分别表示乘火车、轮船、汽车和飞机，其概率分别等于概率分别等于3/10，1/5，1/10和和2/5，B表示表示“迟到迟到”，由概率判断他乘火车的可能性最大。由概率判断他乘火车的可能性最大。已知概率已知概率 分别等于分别等于1/4，1/3，1/2，0(|),1,2,3,4iP B Ai 4123( )() (|)120iiiP BP A P B A111() (|)9(

10、|)( )23P A P B AP A BP B222() (|)8(|)( )23P A P B AP ABP B333() (|)6(|)( )23P A P B AP ABP B444() (|)(|)0( )P A P B AP ABP B三、计算题三、计算题1、将、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母。今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概的概率分别为率分别为0.5，0.4，0.

11、1。已知输出为。已知输出为ABCA，问输入的是，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。解：设解：设A1,A2,A3分别表示输入分别表示输入AAAA，BBBB，CCCC的事件，的事件，B1表示输出为表示输出为ABCA的随机事件。则的随机事件。则P(A1)=0.5，P(A2)=0.4，P(A3)=0.1P(B1|A1)=0.0064，P(B1|A2)=0.0008，P(B1|A3)=0.0008P(A1|B1)=8/9由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：2、设连续型随机变量、设连续型随机变量(X，Y)的密度函数

12、为的密度函数为,01,01( , )=0,xyxyf x y其他（1）求边缘密度函数；）求边缘密度函数；（2）判断）判断X与与Y的独立性；的独立性；（3）判断）判断X与与Y是否相关；是否相关；（2） 由（由（1）知，）知，X与与Y不独立。不独立。101( )20,Yyyfy，其他解：解：（1）由图可知）由图可知xy101(),01( )( , )20,Xxy dyxxfxf x y dy其他同理同理（3）cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)1017()( )()212XE Xxfx dxx xdx同理同理7( )12E Y 11001()( , )()3E XYxyf x y dxd

13、ydxxy xy dy cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)0， 故故X与与Y不相关不相关xy3、设随机变量、设随机变量X与与Y相互独立，且同分布于相互独立，且同分布于B(1,p)(0p1)。X Y 1 2 31 1/3 2 1/6 1/9 1/18X Y 1 2 3pi.1 1/3 1/3+2 1/6 1/9 1/181/3p.j 1/2 1/9+ 1/18+解：解：(1)由题可知由题可知(1/9+)1/3=1/9 =2/9=1/9(1/18+)1/3=1/18（2）因）因X,Y相互独立，所以相互独立，所以P(X=2|Y1)=P(X=2)=1/33、已知随机变量、已知随机变量 E(

14、XY)=5/8，求，求P(X+Y1).0101,13134444XY解：由解：由E(XY)=0?p11+0?p12+0?p21+1?p22=5/8,得得p22=5/8即即P(X=1，Y=1)=5/8故故P(X+Y1)=1-P(X=1，Y=1)=3/84、设、设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为(2),0,0( , )0,x yAexyf x y，其他（1）确定常数）确定常数A; (2)求求fY|X(y|x); (3)求求P(X2|Y1).解：（解：（1）由归一化，）由归一化， 得：得：A=2(2)001x yAedxdy (2)2022,0(2)( ),0,0 x yxXedyexfx

15、x当当x0时，时，|,0( | ),0,0yY Xeyfy xy当当x0时，时，fY|X(y|x)不存在。不存在。(3) P(X2|Y1)= P(X2，Y1) /P(Y1)2121(2)4100(2,1)( , )2(1)(1)x yP XYf x y dxdyedxdyee 1110(1)( )(1)yYP Yfy dye dye故故P(X2|Y1)=1-e-45、已知随即向量（、已知随即向量（X,Y)的协方差矩阵为的协方差矩阵为9666求求(X+Y,X-Y)协方差矩阵和相关系数。协方差矩阵和相关系数。()2(, )27D XYDXDYCov X Y()2(, )3D XYDXDYCov X

16、 Y(,)3Cov XY XYDXDY,(,)13()()X Y X YCov XY XYD XYD XY27333解：解：(X+Y,X-Y)协方差矩阵为协方差矩阵为(X+Y,X-Y)相关系数为相关系数为6、设总体密度函数为、设总体密度函数为 ，其中，其中0为未知参为未知参 1, 01( )0,xxf x其他数，若数，若X1，X2，,Xn是来自母体的简单子样，试求是来自母体的简单子样，试求的矩估计的矩估计和极大似然估计。和极大似然估计。 解：（解：（1）母体的期望为）母体的期望为1101xxdx=1X令2=()1XX解得(2)似然函数为似然函数为11( )()niiLx对数似然函数为对数似然函数为111ln ( )ln()ln(1)ln2nniiiinLxx对上式求导，并令其等于对上式求导，并令其等于0，得，得1ln022niixn221=,01(ln)iniinxx故7、根据环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超、根据环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过过0.5，假定有害物质含量，假定有害物质含量X服从正态分布。现在取服从正态分布。现在取5份水样，测份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：定该有害物质含量，得如下数据：0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否据此抽样结果说明