概率论与数理统计1

1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论是研究随机现象的统计规概率论是研究随机现象的统计规律的一门学科律的一门学科特点：研究对象的不确定性特点：研究对象的不确定性第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概

2、率论的问题，却是，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。来自赌博者的问题。样本空间样本空间 一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为 。 其中每一个元素，即每次试验结果称为一个样本其中每一个元素，即每次试验结果称为一个样本点点 。第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率 , 随机试验随机试验 E 试验结果的多种可能性，事先知道试验结果的多种可能性，事先知道 结果的不能预测性结果的不能预测性随机试验随机试验E 的样本空间的样本空间 的子集，称为的子集，称为E的随机事件，或事的随机事件，或事件，用大写字母件，用大写字母A，B，C

3、, , 表示表示 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间有两个特殊子集：样本空间有两个特殊子集： 必然事件必然事件 ，和不可能事件，和不可能事件 随机事件随机事件 例如例如E E1 1 抛硬币试验抛硬币试验E E2 2 连抛两个硬币连抛两个硬币E E4 4 进入超市的人数进入超市的人数E E5 5 测试电视机寿命测试电视机寿命E E6 6 观测天气观测天气0|2, 1 , 054321大雨大雨中雨，中雨，小雨，小雨，阴，阴，多云，多云，少云，少云，晴，晴，为自然数为自然数正面，反面正面，反面 ttnn第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率包含

4、包含A发生必然导致发生必然导致B发生发生相等相等 和事件和事件积事件积事件差事件差事件互逆（对立）互逆（对立）互不相容互不相容第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率事件间的关系和运算事件间的关系和运算 BAABABABABABAAABwAwwBwAwwBwAwwABBA |,且且或第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率运算规律运算规律交换律交换律结合律结合律分配律分配律对偶律对偶律BABABABAACABCBACABABCACABBCACBACBABAABABBA ,)()()()()(,)()(,第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率例例1. 1. 设设A，B，C是随机事件，则事

5、件是随机事件，则事件“A 与与 B 发生，发生，C 不发生不发生”“A，B，C 至少两个发生至少两个发生”“A，B，C 恰好两个发生恰好两个发生”“A，B，C 不多于一个事件发生不多于一个事件发生”例例2. 2. 用集合表示下面随机试验中的样本空间与随机事件用集合表示下面随机试验中的样本空间与随机事件A某地温度上下限为某地温度上下限为T0 到到T1，一昼夜内出现的最高最低气，一昼夜内出现的最高最低气温为温为(x, y)；事件；事件 A = “ “一昼夜内该地的温差为一昼夜内该地的温差为 10”例题例题第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率概率概率 一次试验中事件一次试验中事件 A 发生的可

6、能性，成为事发生的可能性，成为事件件 A 的概率，记为的概率，记为 P(A)。概率看成频率的稳定值概率看成频率的稳定值概率的计算概率的计算（1）古典概型古典概型: 事件事件A A包含的基本事件数包含的基本事件数/ /样本空间中样本空间中的事件数的事件数 P(A) = nA / n （2）几何概型几何概型: 事件事件A A的区域面积的区域面积/ /样本空间的区域面样本空间的区域面积积 P(A) = SA / S 例例 圆中的弦通过半径减半的同心圆的概率圆中的弦通过半径减半的同心圆的概率第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率概率的性质概率的性质1 1. P() = 1, P() = 0, 0

7、P(A) 12.（有限可加性）若（有限可加性）若A1, A2, A3 两两互不相容两两互不相容 P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)3. 若若A B, 则则P(BA) = P(B)P(A), P(B)P(A)4. P( ) = 1P(A)5. （加法公式）对任两个事件加法公式）对任两个事件 P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)A第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率例例1. . P(A) = 0.3, P(AB) = 0.6; P( ) = ?例例2. . P(A) = P(B) = 0.5, 求证求证 P(AB) = P( )例例3. . 袋中

8、袋中 4 只白球，只白球，2 只黑球，无放回依次摸只黑球，无放回依次摸 2 只球，试求取只球，试求取到两只球：到两只球：（1 1）都是白球的概率；（）都是白球的概率；（2 2）同色球的概率）同色球的概率（3 3）至少一只白球的概率）至少一只白球的概率例例4. n . n 个球随机放入个球随机放入 N（N n）个盒子中去，求每个盒子至多个盒子中去，求每个盒子至多有一个球的概率，恰有有一个球的概率，恰有 n n 个盒子中各有一个球的概率个盒子中各有一个球的概率例例5 （Buffen 投针问题）平行线距离为投针问题）平行线距离为 a(a 0)，投掷一枚长，投掷一枚长 (L 0，在事件，在事件 B 发

9、生的条件下发生的条件下事件事件 A 发生的概率称为条件概率，记为发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)由于样本空间不同由于样本空间不同 一般地一般地 P(A) P(A|B) 若事件若事件 B 已发生已发生, 则为使则为使 A 也也发生发生 , 试验结果必须是既在试验结果必须是既在 B 中又中又在在 A 中的样本点中的样本点 , 即此点必属于即此点必属于AB. 由于我们已经知道由于我们已经知道 B 已发生已发生, 故故 B变成了新的样本空间变成了新的样本空间 。 设设 A、B 是两个事件，且是两个事件，且 P(B) 0, 则称则称)()()|(BPABPBAP 2. 条件概率的计算条件概率的计

10、算为在为在事件事件 B 发生发生的条件下的条件下,事件事件 A 的发生概率的发生概率.概率树计算条件概率概率树计算条件概率B BB BAAA AAAP(B)P(B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)()|()(BPBAPBAP )()|()(BPBAPBAP )()|()(BPBAPBAP )()|()(BPBAPBAP 第一级互斥第一级互斥事件事件上一级情况下上一级情况下的下一级事件的下一级事件发生发生不发生不发生例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出 6 点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于 10 ”的概率是多少的概率是多少? 解法解法

11、1)()()|(BPABPBAP 解法解法2 2163)|( BAP解：解： 设设A = 掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B = 第一颗掷出第一颗掷出6点点求求 P(A|B)= ？应用计算公式应用计算公式在在 B 发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算21366363 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若 P(B) 0, 则则 P(AB) = P(B) P(A|B)()()|(BPABPBAP若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B 的位置对调，有的位置对调，有若若 P(A) 0, 则则 P(BA) = P(A) P(

12、B|A) 都称为乘法公式都称为乘法公式, 利用它们可计算利用它们可计算两个事件同时发生的概率两个事件同时发生的概率 例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产 1000 个零件，其中个零件，其中 300 件是乙厂件是乙厂生产的生产的. 而在这而在这 300 个零件中，有个零件中，有 189 个是标准件，现从这个是标准件，现从这1000 个零件中任取一个，求个零件中任取一个，求(1) 求的是求的是P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个是个是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产设设 B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产,A=是标准件是标准件(2) 求的是求的是 P(A|B) .

13、B 发生发生, 在在 P(AB) 中作为结果中作为结果;在在 P(A|B) 中作为条件中作为条件.条件概率条件概率 P(A|B) 与与 P(AB) 的区别的区别1. 这个零件是乙厂生产的标准件的概率这个零件是乙厂生产的标准件的概率？2. 发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的, , 问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少? ? 例例3 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概年以上的概率为率为0.8，活到，活到 25 年以上的概率为年以上的概率为 0.4. 问现年问现年 20 岁岁的这种动物，它能活到的这种动物，它能活到 25 岁以上的概率是多少？岁以上的概率

14、是多少？解解 设设A = 能活能活20年以上年以上，B = 能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A) = 0.8, P(B) = 0.4所求为所求为 P(B|A) .)()()|(APABPABP 5 . 08 . 04 . 0)()( APBP .|APABPABCPABCP 多个事件的乘法公式多个事件的乘法公式设设 A，B，C为三个事件，且为三个事件，且 P(AB) 0，则，则乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含 b 个白球和个白球和 r 个红球个红球. 随机随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进进 c

15、 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续这种手续进行四次进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率次取到红球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球于是于是 W1W2R3R4 表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球个白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进 c 个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具

16、有相同颜色的球. 解解 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4) 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩

17、的足球赛将要举行, 5个个球迷好不容易才搞到一张入场券。大球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去家都想去,只好用抽签的方法来解决。只好用抽签的方法来解决。入场入场券券5 张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的其余的什么也没写什么也没写. 将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让 5 个人依次抽个人依次抽取取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ 我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.

18、iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为第因为第 2 2 个人抽到入场券，个人抽到入场券，第第 1 1 个人肯定没抽到个人肯定没抽到. .也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，计算得：计算得：122AAA 由于由于)|()()()(121122AAPAPAAPAP 由乘法公式由乘法公式 P(A2) = (4/5)(1/4) = 1/5?)|()(?)()(122212AAPAPAAPAP )|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序

19、问题的正确解答. 同理，第同理，第 3 个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第 1、第第 2 个人都没有抽到。个人都没有抽到。 因此因此继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概的概率都是率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，P(A3) = (4/5)(3/4) (1/3) = 1/5例例4 设袋中有设袋中有 5 个红球，个红球，3 个黑球，个黑球，2 个白球，试按个白球，试按（1）有放回抽样；（）有放回抽样；（2）不放回抽样两种方式摸球三次）不放回抽样两种方式摸球三次每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。每

20、次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。解：设解：设 A = 第一次未摸得白球第一次未摸得白球 ； B = 第二次未摸得白球第二次未摸得白球 ； C = 第三次摸到白球第三次摸到白球 ；则，事件则，事件“第三次才摸得白球第三次才摸得白球”可表为可表为 ABC。（1）有放回抽样）有放回抽样108)( AP108)|( ABP102)|( ABCP APABPABCPABCP| 108108102 . 12516 （2）不放回抽样）不放回抽样108)( AP98)|( ABP82)|( ABCP APABPABCPABCP| 457 1089782 . 321AAAB 321AAAPBP 21312

21、1|AAAPAAPAP 10911071211 . 2003 例例5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为率为 0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是 0.7，若前两次均未打破，第三次落下打破的概率为，若前两次均未打破，第三次落下打破的概率为 0.9。试。试求透镜落下三次未打破的概率。求透镜落下三次未打破的概率。解：设解：设 Ai = 透镜第透镜第 i 次落下打破次落下打破 ，i = 1, 2, 3, B = 透镜落下三次未打破透镜落下三次未打破 ， 则则 由由于于 , 321211

22、AAAAAAB , 321211AAAAAA并并且且 , 故故有有为为两两两两不不相相容容事事件件 321211AAAAAAPBP 321211AAAPAAPAP 213121121|21AAAPAAPAPAAPAP 21 107211 1091071211 . 200197 20019711 BPBP所以所以 . 2003 另解：另解：例例6100 件产品中，有件产品中，有 5 件废品。不放回抽件废品。不放回抽样检查，若抽查样检查，若抽查 5 件至少有一件废品，则拒件至少有一件废品，则拒购这批产品，求拒购概率。购这批产品，求拒购概率。 54321AAAAAB 54321543211AAAAA

23、PAAAAAPBP 432153214213121|AAAAAPAAAAPAAAPAAPAP 9691979298939994100951 32 . 0 解：设解：设 Ai = 第第 i 次没抽到废品次没抽到废品 ，i = 1, 2, 3, 4, 5 B = 至少抽到一件废品至少抽到一件废品 ， 则则 第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率 例题 第一车间的次品率为第一车间的次品率为 0.15，第二车间的次品率为，第二车间的次品率为 0.12。两车间的产品分别有。两车间的产品分别有 2000 件和件和 3000 件，件，混放在仓库里，问：混放在仓库里，问：1.1.在仓库里随机取一件成品，其

24、次品率是多少？在仓库里随机取一件成品，其次品率是多少？2.2.若取到一件次品，由一车间生产的概率是多少？若取到一件次品，由一车间生产的概率是多少？12. 05000300015. 050002000 p全厂的次品概率全厂的次品概率 = 各车间的次品概率的加权和各车间的次品概率的加权和第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率 例题从仓库里随机取一件成品：从仓库里随机取一件成品：设事件设事件 A1，A2 分别为一、二车间生产的产品；分别为一、二车间生产的产品； 事件事件 B 为该产品是次品。为该产品是次品。一车间的产品占一车间的产品占 P(A1) = 0.4，次品率，次品率 P(B|A1) =

25、0.15二车间的产品占二车间的产品占 P(A2) = 0.6，次品率，次品率 P(B|A2) = 0.12第一问求第一问求 P(B)，第二问求，第二问求 P(A1|B). .B 次品次品A1 一车间一车间A2 二车间二车间P(B) 蓝色的面积蓝色的面积P(A1|B) 蓝色中上一块所占的比蓝色中上一块所占的比P(B|A1) 橙色中蓝色所占的比橙色中蓝色所占的比2000300015%12%第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率全概率公式全概率公式设事件设事件 A1, ,A2 互不相容，互不相容，P(A1) 0，P(A2) 0，且，且 B A1A2，P(B) = P( B(A1 A2) )= P

26、(BA1) + P(BA2) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) 先将复杂的事件先将复杂的事件 B 分解为较简单的事件分解为较简单的事件 A1B 与与 A2B ; 再加再加法法则与乘法法法法则与乘法法, 计算出需要求的概率计算出需要求的概率. 这这称全概率公式称全概率公式.例例 有有 12 个乒乓球都是新球个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出每次比赛时取出 3 个用完后放回个用完后放回, 求第求第3 次比赛时取到的次比赛时取到的 3 个球都是新球的概率。个球都是新球的概率。 因为一开始都是新球因为一开始都是新球, 因此第一次只能取到因此第一次只能取到 3 个新个新球，

27、当第二次取球的时候球，当第二次取球的时候, 12 个乒乓球中必然有个乒乓球中必然有 3 个旧球。个旧球。 假设假设 B0, B1, B2, B3 为第二次取到为第二次取到 0 个个, 1 个个, 2 个个 3 个新球个新球, 而而 B0, B1, B2, B3 构成完备事件组，并构成完备事件组，并能够求出它们的概率。能够求出它们的概率。 再假设再假设 C3 为第三次取到为第三次取到 3 个新球的事件，则针对个新球的事件，则针对 C3 使用全概率公式。使用全概率公式。解：解：)3 , 2 , 1 , 0()(22084)(,220108)(22027)(,2201)(31233931239331

28、21329231223191312330 iCCCBPCCBPCCCBPCCCBPCCBPiii)3 , 2 , 1 , 0()|(312393 iCCBCPii146. 02202022084220352201082205622027220842201)|()()(3033 iiiBCPBPCP全概率公式全概率公式第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率贝叶斯公式贝叶斯公式设事件设事件 A1, A2 互不相容，互不相容，P(A1) 0，P(A2) 0，且，且 B A1A2，则有，则有（逆概率公式）（逆概率公式）_P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)P(A1)P(B|A1)

29、P(A1|B) =)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP 第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率 例题例题 诊断肝癌问题诊断肝癌问题 已知肝癌患者已知肝癌患者0.950.95能被诊断出来，非肝癌患者能被诊断出来，非肝癌患者0.990.99会被会被排除有病，而肝癌患者约占排除有病，而肝癌患者约占0.0040.004。问：诊断出患有肝癌的。问：诊断出患有肝癌的人中确有肝癌的概率是多少？人中确有肝癌的概率是多少？设设 C = “ “的确患有肝癌的确患有肝癌”， A = “ “诊断有肝癌诊断有肝癌”。则则 P(A|C) = 0.95, P(A|C) = 0.99, P(

30、C) = 0.004P(A) = P(A|C)*P(C) + P(A|C)*P(C) = 0.95*0.004 + 0.01*0.996 = 0.01376P(C|A) = P(A|C) P(C) / P(A) = 0.95*0.004 / 0.01376 = 0.276第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率全概率公式、贝叶斯公式全概率公式、贝叶斯公式1 1甲乙丙三人独立地同时瞄准飞机射击，击中的甲乙丙三人独立地同时瞄准飞机射击，击中的概率均为概率均为 2/3. 2/3. 飞机遭一击而落的概率为飞机遭一击而落的概率为 1/61/6，遭两，遭两击而落的概率为击而落的概率为 1/21/2，遭三

31、击则必落。，遭三击则必落。 求飞机可被求飞机可被击落的概率。击落的概率。2 2男人中的男人中的 4% 4% 以及女人中的以及女人中的 0.25% 0.25% 都为色盲。都为色盲。从男女相等的人群中随机挑出一人恰好是色盲，问从男女相等的人群中随机挑出一人恰好是色盲，问其是男性的概率是多少？其是男性的概率是多少？练习练习例例3 经分析利率下调的概率为经分析利率下调的概率为 60%, 利率不变的概利率不变的概率为率为 40%。如利率下调。如利率下调, 股价上涨的概率为股价上涨的概率为 80%, 而而在利率不变的情况下在利率不变的情况下, 股价上涨的概率为股价上涨的概率为 40%。求股。求股价上涨的概

32、率。价上涨的概率。解：解： 记记 A为事件为事件“利率下调利率下调”, 则则 A 为为“利率不利率不变变, 记记 B 为事件为事件股价上涨股价上涨. 据题设知据题设知P(A) = 60%,P( A ) = 40%,P(B | A) = 80%,P( B | A) = 40%.于是于是 P(B) = P(AB) + P( AB )= P(A)P(B|A)+P( A )P( B | A )= 0.6 0.8+0.4 0.4 = 0.64.例例4 对以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时当机器调整良好时, 产品的合产品的合格率为格率为98%, 而当机器发生某种故障时而当机器发

33、生某种故障时, 其合格率为其合格率为55%. 每每天早上机器开动时天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为95%. 试求已知某试求已知某日早上第一件产品是合格时日早上第一件产品是合格时, 机器调整良好的概率是多少机器调整良好的概率是多少?解解 设设 A为事件为事件“产品合格产品合格”, B 为事件为事件“机器调整良好机器调整良好”。 已知已知 P(A|B) = 0.98, P(A| B) = 0.55, P(B) = 0.95, P( B) = 0.05, 所需求的概率为所需求的概率为 P(B|A)。则。则05. 055. 095. 098. 095. 098. 0)()|

34、()()|()()|()|( BPBAPBPBAPBPBAPABP第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率相互独立事件相互独立事件若若 P(AB) = P(A) P(B)，则称事件，则称事件 A 与与 B 相互独立相互独立充要条件充要条件：P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B)例，例，A = “ “概率学得好的同学概率学得好的同学” B = “ “篮球打得好的同学篮球打得好的同学” 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立ABB在在A和和A的补里面的的补里面的比例分配相同比例分配相同相互独立事件相互独立事件B若事件若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 A 与与

35、 也相互独立。也相互独立。P(A) 0, P(B) 0, 事件事件 A, B 相互独立与互不相容相互独立与互不相容不能同时成立。不能同时成立。第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率)()()()()()()()()(BPAPBPAPAPABPAPBAPBAP 0)()(0)()()( PABPBPAPABP当当 A，B 相互独立相互独立当当 A，B 互不相容互不相容A第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率相互独立事件相互独立事件事件事件 A, B, C 相互独立相互独立： P(ABC) = P(A)P(B)P(C)P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C) 事件事件 A, B, C 两两相互独立两两相互独立，例如：掷两枚骰子例如：掷两枚骰子A “ “