振动力学5多自由度系统振动之二自由振动

1、多自由度系统振动多自由度系统振动主讲：周利东太原科技大学机械工程学院2011-11-11多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 多自由度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：)(tPKXXM nRXnnRKM、nRt )(P固有振动方程：固有振动方程：（自由振动方程）（自由振动方程）0KXXM 在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。规律

2、都相同的运动。 假设系统的运动为：假设系统的运动为： )(tfXnRX1)(Rtf 运动规律的时间函数运动规律的时间函数 常数列向量常数列向量 nR多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动Tn21 Tnxxx21 X0KXXM )(tf X代入，并左乘代入，并左乘 ：T0KM )()(tftfTT MKTTtftf)()( ：常数：常数M 正定，正定，K 正定或半正定正定或半正定 对于非零列向量对于非零列向量 ： 0MT0KT20令：令：对于半正定系统，有对于半正定系统，有 0对于正定系统必有对于正定系统必有 02多自由度系统振动多自由度系统振动 /

3、多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动nRXnR2)()( MKTTtftf 0)()(2tftf 0 ,)(0),sin()(battftatfa、b、 为常数为常数0KXXM )(tf X正定系统正定系统 0（1）正定系统）正定系统 只可能出现形如只可能出现形如 的同步运动的同步运动)sin( taX系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动（2）半正定系统）半正定系统 半正定系统半正定系统0可能出现形如可能出现形如 的同步运动的同步运动)sin(

4、 taX也可能出现形如也可能出现形如 的同步运动的同步运动)(bat X（不生弹性变形（不生弹性变形 ）主振动主振动首先讨论正定系统的主振动首先讨论正定系统的主振动 M 正定，正定，K 正定正定0主振动：主振动：)sin(taX正定系统：正定系统：0KXXM nRX将常数将常数a并入并入 中中)sin(tXTn21 代入振动方程：代入振动方程： 0)(2MK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零 0MK2特征方程特征方程 0222212122222222212211211

5、221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk021)1(212nnnnaaa解出解出 n 个值，按升序排列为：个值，按升序排列为： 222210ni：第第 i 阶固有频率阶固有频率频率方程频率方程或特征多项式或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 1：基频：基频多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率采用位移方程求解固有

6、频率 )(tFPXXFM 位移方程：位移方程：nR X1 KF柔度矩阵柔度矩阵0XXFM 自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： )sin(tXTn21 代入，得：代入，得： 0IFM)(特征值特征值2/1？解释：解释：0)(2MKMK2MKI1210)1(2IFM2/1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率采用位移方程求解固有频率 )(tFPXXFM 位移方程：位移方程：nR X1 KF柔度矩阵柔度矩阵0XXFM 自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： )sin(tXTn21 代入，得：代

7、入，得： 0IFM)(特征值特征值2/1特征方程：特征方程： 0IFM特征根按降序排列：特征根按降序排列： 021n2/1ii多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：三自由度系统例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2MK2km03101210133210MK2113243mk/1 mk/32. 12mk/23m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 多自由度系统的模态（主振型）正定系统：正定系统：0主振

8、动：主振动：)sin( taX0KXXM nRXnnRKM、nR0MK)(2特征值问题：特征值问题：特征值特征值特征向量特征向量 n 自由度系统：自由度系统：（固有频率）（固有频率）（模态）（模态）i)(i一一对应一一对应ni11)()(1)(niniiR0MK)(2)(ii)(ii、代入，有：代入，有：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动0MK)(2)(iiTinii)()(1)( 当当 不是特征多项式的重根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有个方程中有且只有一个是不独立的一个是不独立的 i设最后一个方程不独立设最后一个方程

9、不独立,把它划去把它划去,并且把含有并且把含有 的某个元的某个元素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端 )(i)(in)(, 12, 1)(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示表示的的 )(in)(1)(2)(1inii，)(i否则应把含否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组的另一个元素的项

10、移到等号右端，再解方程组 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动为使计算简单，令：为使计算简单，令：1)(inTiniii1)(1)(2)(1)(则有：则有：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动0MK)(2)(iiTinii)()(1)( 当当 不是特征多项式的重根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个方程中有且只有一个不独立个不独立 i设最后一个方程不独立，把它划去设最后一个方程不独立，把它划去,并且把含有并且把含有 的某个元素的某个元素（例如（例如 ）的项全部移到等号右端）的项

11、全部移到等号右端 )(i)(in)(, 12, 1)(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk例：三自由度系统例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2MK2km03101210133210MK2113243mk/1mk/32. 12mk/232kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动03

12、10121013321113243以以 为例进行说明为例进行说明11将将 代入，有：代入，有：110210111012321020023232121由第三个方程，得：由第三个方程，得：235 . 005 . 0221代入第二个方程：代入第二个方程：0221与第一个方程相同与第一个方程相同方程组中有一式不独立方程组中有一式不独立例如，将第三个方程去掉例如，将第三个方程去掉321210203121112因此若令因此若令 131122可解出可解出多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动整理整理0MK)(2)(iiTinii)()(1)( )(, 12, 1)

13、(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk令：令：1)(inTiniii 1)(1)(2)(1)( 解得：解得：)(in的值也可以取任意非零常数的值也可以取任意非零常数ia)(iia将解得将解得 特征向量特征向量在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为过程称为归一化归一化 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动正定系统

14、：正定系统：0主振动：主振动：)sin(taX0KXXM nRXnnRKM、nR)(iia将将 ， 代入主振动方程代入主振动方程ii并将并将改为改为第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin()()(iiiiitaXTiniixx)()(1)(XTinii)()(1)( 系统在各个坐标上都将以第系统在各个坐标上都将以第i阶固有频率阶固有频率 做做简谐振动，简谐振动，并且同时通过静平衡位置并且同时通过静平衡位置 i多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin()()(iiiiitaXTiniixx)()(1)(XTinii)

15、()(1)( )()()(2)(2)(1)(1ininiiiixxx 比值：比值：第第i阶特征向量阶特征向量 中的一列元素，就是系统做第中的一列元素，就是系统做第i阶主振动时各阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值个坐标上位移（或振幅）的相对比值 )(i虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定动形态已确定 描述了系统做第描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态，称为阶主振动时具有的振动形态，称为第第i阶主阶主振型振型，或，或第第i阶模态阶模态)(i主振动仅取决于系统的主振动仅取决于系统的M阵，阵，K阵等物理参

16、数。这一重要概阵等物理参数。这一重要概念是单自由度系统所没有的念是单自由度系统所没有的 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动正定系统：正定系统：0KXXM nRXnnRKM、第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin()()(iiiiitaXni1系统的固有振动：系统的固有振动：niiiiinnnntatataat1)()(222)2(111)1()sin( )sin()sin()sin()(XTiniixx)()(1)(XTinii)()(1)( n个主振动的叠加个主振动的叠加 模态叠加法模态叠加法由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振

17、由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动 ：)1(,niaii初始条件决定初始条件决定多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动正定系统：正定系统：0KXXM nRXnnRKM、0MK)(2特征值问题：特征值问题：特征矩阵特征矩阵记为记为 B或或)(B2iadjB)(i当当 不是重特征根时，可以通过不是重特征根时，可以通过B的伴随矩阵的伴随矩阵 求得求得相应的主振型相应的主振型根据逆矩阵定义根据逆矩阵定义 ：BBBadj11两边左乘两边左乘 ：BBBBIBadj0)()(

18、iiadjBBi当当 时时 ：0)()(2iiadjBMK或或0MK)(2)(iiTinii)()(1)()(iadjB的任一非零列都是第的任一非零列都是第i阶主振型阶主振型)(i多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：求固有频率和主振型例：求固有频率和主振型解：解：00322002121xxkkkkxxmm 动力学方程：动力学方程：令主振动：令主振动： )sin(2121txx或直接用或直接用 0MK)(2002322122mkkkmk得：得： m2m2kkkx1x2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振

19、动00322002121xxkkkkxxmm 002322122mkkkmk00231122105722311220021212km令令 特征方程：特征方程： 5 . 2, 121mkmk581. 1,2111为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入 ：一个独立一个独立 12令令11则则111）（第一阶主振型：第一阶主振型：12令令21则则57. 22将将 代入代入122）（第二阶主振型：第二阶主振型：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动111）（第一阶主振型：第一阶主振型：122）（第二阶主振型：第二阶主振型：画图：以横坐标表示静平衡位画图：以

20、横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元置，纵坐标表示主振型中各元素的值素的值 第一阶主振动，两个质量在静平第一阶主振动，两个质量在静平衡位置的同侧，做着同向运动。衡位置的同侧，做着同向运动。而做第二阶主振动时，两质量在而做第二阶主振动时，两质量在平衡位置的异侧，做着异向运动平衡位置的异侧，做着异向运动 有一点始终不振动，称为有一点始终不振动，称为节点节点 1121多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动无节点无节点 一个节点一个节点 m2m2kkkx1x2例：求固有频率和主振型例：求固有频率和主振型解：解：动力学方程：动力学方程：令主振动：令主振

21、动： 或直接用或直接用 0MK)(2得：得： 00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm )sin(321321txxx000310203321222mkkmkkkmk2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动000310203321222mkkmkkkmk2km令令 00031012103321令特征矩阵的行列式令特征矩阵的行列式00)45)(3(2特征方程：特征方程：4, 3, 1321mkmkmk/2,/732. 1,/321本题中本题中 都是单根都是单根 321、可用特征矩阵的伴随矩阵求

22、阵型可用特征矩阵的伴随矩阵求阵型 1)2)(3(313)3(3131)2)(3(3101210132adjMKB2特征矩阵特征矩阵0)()(2iiadjBMK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动1)2)(3(313)3(3131)2)(3(3101210132adj选上式右端矩阵的第一列，分别代入选上式右端矩阵的第一列，分别代入 的值的值321、4, 3, 1321111,101,121)3()2()1(得：得：第二阶模态有第二阶模态有1个节点，第三阶模态有个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出元

23、素符号变号的次数可以判断出多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动111,101,121)3()2()1(模态图形：模态图形：1121-11-11第一阶模态：第一阶模态：第二阶模态：第二阶模态：第三阶模态：第三阶模态：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点单自由度系统单自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动两自由度系统两自由度系统第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态一个节点一个节

24、点无节点无节点节点位置节点位置多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态三自由度系统三自由度系统节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态四自由度系统四自由度系统一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点节点位置节点位置无节点无节点多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动

25、 模态的正交性，主质量和主刚度ij)(i)( j设设 、 对应的模态分别为对应的模态分别为 、 两式相减：两式相减：)(2)()(2)(jjjiiiMKMK)()(2)()(jTiijTiMK)( j转置右乘转置右乘Ti)(左乘左乘)()(2)()(jTijjTiMK0)()()(22 jTijiMji ji若若 时，时， 0)()( jTiM0)()( jTiK模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性均满足：均满足：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动当当 ij 时，表达式恒成立时，表达式恒成立( )( )

26、i TipimMpiiTik )()(K令：令：第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度)(i第第 i 阶主模态阶主模态 00)()()()(jTijTiKM模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性当当 ij 时时piiTim )()(M主质量主质量piiTik )()(K主刚度主刚度ji 当当 时时利用利用 Kronecker 符号，可综合写为：符号，可综合写为： piijjTipiijjTikm)()()()(KMjijiij01多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第第 i 阶

27、固有频率：阶固有频率：)1(nimkpipii 主模态主模态：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度)(i第第 i 阶主模态阶主模态多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nR XnnRKM、ni1另一种模态：另一种模态：正则模态正则模态定义：使全部主质量皆为定义：使全部主质量皆为1的主模态的主模态 )(iN1)()( iNTiNpimMni1)()(iiiNc令：令：12)()(2)()( piiiTiiiNTiNmccMM)()(1ipiiNm 正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系：多自由度系统

28、振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动)(iN相对于相对于 的主刚度：的主刚度：2)()()()(1ipipiiTipiiNTiNmkm KKpiimc1 正则模态的正交性条件：正则模态的正交性条件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKMjijiij01 piijjTipiijjTikm)()()()(KM主模态的正交性条件：主模态的正交性条件：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度)(i第第 i 阶主模态阶主模态主模态：主模态：ni11)()(iNTiNM2)()(ii

29、NTiNK主质量为主质量为1主刚度为固有频主刚度为固有频率的平方率的平方)(iN第第 i 阶正则模态阶正则模态正则模态：正则模态：ni1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nR XnnRKM、主模态主模态)1()(nii将将 组成矩阵组成矩阵模态矩阵模态矩阵)()1(n nnR ppnpTppnpTkkdiagmmdiagKKMM),(),(11主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵 piijjTipiijjTikm)()()()(KMni1正交性条件：正交性条件：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自

30、由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动)()1()()1(nTnTMM ppnpTmmdiagMM ),(1推导：推导：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动)()1()()1(nTnTM )()1()()1(nTnT MM )()()1()()()1()1()1(nTnTnnTTMMMM pnpmm001多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nR XnnRKM、正则模态正则模态)1()(niiN将将 组成矩阵组成矩阵正则模态矩阵正则模态矩阵)()1(nNNN nnRKIMNTNNTN单位矩阵单位矩阵谱矩阵谱矩阵ni1正交性条件：正交性条件：2)

31、()()()(iijjNTiNijjNTiNKM221n多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nRXnnRKM、)(2)(iiiMK特征值问题：特征值问题：依次取依次取 ，得到的，得到的 n 个方程，可合写为：个方程，可合写为：ni1 piijjTipiijjTikm)()()()(KMni1主模态正交性条件：主模态正交性条件：MK 左乘左乘 ：TppMK ppKM1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：三自由度系统例：三自由度系统111,101,121)3()2

32、()1( 111102111,)3()2()1(模态矩阵：模态矩阵：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主质量矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：主刚度矩阵：非对角线顶等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的非对角线顶等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的 PpMK 、mkmkmkpp400030001KMmkmkmk43232221谱矩阵：谱矩阵：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动111102111,)3()2()1(模态矩阵：模态矩阵：kkkTp1200060006KK m

33、mmTp300020006MM主质量矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：主刚度矩阵：mkmkmkpp400030001KM谱矩阵：谱矩阵：)()(1ipiiNm 正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系： 23120223161,3)3(2)2(1)1(mmmmpppN正则模态矩阵：正则模态矩阵：KNTNIMNTN不难验证，有：不难验证，有： 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 模态叠加法)(i)1(ni 模态模态相互正交相互正交 表明它们是线性独立的，可用于构成表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的

34、基维空间的基 系统的任意系统的任意n维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合 nipiix1)(X即系统的振动为即系统的振动为n阶主振动的叠加阶主振动的叠加模态叠加法模态叠加法 Tnxx1X物理坐标物理坐标Tpnppxx1X主模态坐标主模态坐标pXX nnnR )()1(模态矩阵模态矩阵nRX1)( niR坐标关系：坐标关系：pTMM pTKK 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动另一种模态坐标：正则模态坐标另一种模态坐标：正则模态坐标Tnxx1X物理坐标物理坐标TNnNNxx1X正则模态坐标正则模态坐标

35、NXniNiiNNNx1)(XXTNnNNxx1X系统响应：系统响应：nnnNNNR )(1)正则模态矩阵正则模态矩阵IM NTNK NTN多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动小结：小结：多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nRXnnRKM、可采用两类模态坐标进行描述可采用两类模态坐标进行描述主模态坐标主模态坐标正则模态坐标正则模态坐标nipiipx1)(XXTpnppxx1XpTMM pTKK )()1(n )(1)nNNN TNnNNxx1XniNiiNNNx1)(XXIM NTNK NTN多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统

36、的自由振动多自由度系统的自由振动求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应可分别采用两类模态坐标进行求解可分别采用两类模态坐标进行求解首先采用主模态坐标首先采用主模态坐标自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(,),0(),0(210 XpTMM pTKK pXX 坐标变换：坐标变换：pX：主模态坐标：主模态坐标：主模态矩阵：主模态矩阵0KXM pTpTX 代入，并左乘代入，并左乘 ：T0XKXM pppp 模态坐标初始条件：模态坐标初始条件：01)0(XXp01)0(X

37、XpTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 XTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nR XnnRKM、pXX 坐标变换：坐标变换： 0101)0()0(XXXX0XKXM pppppp，展开模态坐标动力学方程：展开模态坐标动力学方程：)1(, 0nixkxmpipipipi Tpnpppxxx)0()0(),0(210XTpnpppxxx)0()0(),0(210X求得：求得：)1(,sin)0(cos)0(nitxtx

38、xiipiipipi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解式求得原系统的解 )1(nixpipXX 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应采用正则模态坐标采用正则模态坐标自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nR XnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(,),0(),0(210 XIM NTNK NTNNNXX 坐标变换：坐标变换：NX：正则模态坐标：正则模态坐标N ：正则模态矩阵：正则模态矩阵0XKXMNTNN

39、TN 代入，并左乘代入，并左乘 ：TN0XXINN 模态坐标初始条件：模态坐标初始条件：01)0(XXNN01)0(XXNNTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、NNXX 坐标变换：坐标变换：0101)0()0(XXXX0XXI NNNNNN，展开模态坐标动力学方程：展开模态坐标动力学方程：)1(, 02nixxNiiNi 求得：求得：)1(,sin)0(cos)

40、0(nitxtxxiiNiiNiNi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解式求得原系统的解 )1(nixNi NNXX TNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：三自由度系统例：三自由度系统T0220 XT0000 X求：系统在初始条件下的响应求：系统在初始条件下的响应2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动解：解：动力学方程：动力学方程： 0003020300

41、0000321321xxxkkkkkkkxxxmmm mkmkmk/2,/3,/321 23120223161mNTNNm 0326 6/) 0 (01 XXTNN 000 ) 0 (01 XX 0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX模态坐标响应：模态坐标响应：模态初始条件：模态初始条件：正则模态矩阵：正则模态矩阵：原系统响应：原系统响应： ttttttxtxtxtNN21121321coscoscos2coscos)()()()(XX分析：分析： tttttxxxtxtxtxtNNNNNNNN21121321)3()2()1(321coscoscos2coscos)()()()(XX 23120223161mN0622261)cos32(630361co