高等数学微积分课件三重积分的应用

1、四川大学数学学院20057.4.3 三重积分的应用Applications of Triple Integrals四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页例例4.10立体的重心立体的重心22:xyzh22zxyzh解解设重心：设重心：( , , )x y z由对称性：由对称性：0 xy重心在重心在 z 轴上轴上xyMzMVz dVddzdVV1dVzV四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页1zdVz VV213hh313hzdV020hrhrdrzddz22zxyzhhzr220122()hr hrdr414hz414h313h34h重心：重心：3(0,0,)4hzh

2、四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页例例4.11转动惯量转动惯量rarb:02 ,0,4arb四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页( , , )x y z( , )x y22xyrarbzdI22()xydVzI22()xydVzdIdV取一体积元素取一体积元素 dV2224002(sisinn)bardrddr342400sinbaddr dr4255012cos(cos1(5)dba5585 2()30ba四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页例例4.3 （引力）（引力）思路（下页）思路（下页）( , , )P x y zdVdF(0,0, )

3、QaFd,xyzdF dF dF大小：大小：Fd21dVkPQ2dVkr方向：方向：QP , ,x y zarFdrFrd2rdVkrr3rkdVr四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页3rFdkdVr3 , ,x y zakdVr3xxdFkdVr3yydFkdVr3zzadFkdVr由对称性由对称性0 xyFF( , , )P x y zdVdF(0,0, )Qa四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页3zzadFkdVrzzFdF3zakdVr32222() zakdVxyza2222:xyzR四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页32222()

4、zzaFkdVxyza用用“先二后一先二后一”的方法的方法aRzDz2222( ):D zxyRzRzR四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页32222() zzaFkdVxyza3222( )2() RRD zzakdzdxdyxyza222300222() RRzRzakdzdrdrrza四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页222300222() RRzRzakdzdrdrrza223222220()() () RRzRkza dzrzad rza 222( 1)2RRzakdzRaza 2212 2()2RRkRza dRazaa 分部积分分部积分四川大学数

5、学学院2005上一页 | 首页 | 下一页2212 2()2RRkRza dRazaa 3222 223RkRRa 3243kRa 23431kaR 3243kaR 2kaM 343MR球体的质量球体的质量四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页,FxyzF F F2zFkaM 20,0,kMaFF 2kMa结论：结论： 一均匀的球体对球外一质点的引力一均匀的球体对球外一质点的引力相当于将球体的质量集中在球心时相当于将球体的质量集中在球心时两个质点之间的引力两个质点之间的引力四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页( , , )x y zdVdFaRM20, 0,MFka四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页此例堪称微元法的经典之作( , , )x y zdVdFaRM四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页( , , )x y zdVdFaRMback四川大学数学学院20057.4.4 三重积分的变量替换四川大学数学学院2005上一页 | 首页 | 下一页类似于二重积分的变量替换类似于二重积分的变量替换自学自学广义球坐标变换：广义球