数学学案：课堂导学不等式的基本性质（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、不等式性质的应用【例1】若a，b,c∈R,则①a>bac2〉bc2；②a〉bac〉bc;③a>ba2>b2；④a〉b中，真命题的个数是…()A.0B.1C解析：①中,若c=0，则ac2=bc2,故①不成立;②中，c≤0时，ac>bc不成立；③中,a=—1，b=—2时,a2=1〈b2=4，故③不成立；④中,令a=—1，b=—2，则无意义,故④也不成立。所以选A。答案：A温馨提示不等式的乘法性质，乘方性质,开方性质及推论都以正数为前提。在判定是否正确时,只要找出负值或0不成立的一个情形即可.解选择题时,用特例否定是很好的技巧，应注意熟练掌握.各个击破类题演练1已知三个不等式:①ab>0；②;③bc〉cd.以其中两个作为条件，余下一个作为结论,则可以组成___________个正确的命题.解析：根据已知条件,可以构成如下三个命题:（1)若，bc〉cd，则ab>0;(2)若ab〉0，bc>cd,则;（3）若ab〉0,，则bc>cd。可以证明以上命题均是正确的.答案:3变式提升1若a，b是任意实数，且a〉b,则(）A。a2〉b2B.〈1C。lg（a—b）>0D。()a〈()b解析：a〉b并不保证a，b均为正数，从而不能保证A,B成立.又a〉ba—b>0，但不能保证a—b〉1，从而不能保证C成立,显然只有D成立。事实上，指数函数y=(）x在x∈R上是减函数,所以a>b（）a<(）b成立.故选D.答案：D二、不等式性质的灵活运用【例2】实数a，b,c，d满足下列三个条件:①d〉c；②a+b=c+d;③a+d〈b+c.把a，b，c，d按从大到小的次序排列起来。思路分析：从条件②③出发我们会得到一些有用的结果.解：再结合①知b〉d〉c>a。温馨提示此题的解答过程看起来蛮简单的，主要是我们制定了一个比较合理的程序,在这个程序的设计中，不等式的一些最基本的性质用活了。在对以上变形的每一个细小环节的观察和思考里,即使是一次移项,一个符号的调整,都充分体现了解题的目的性和对下一步有效的预测。类题演练2若b<0,｜a｜〈|b｜〈|c|，lg（ab)+lg(bc)=lg(ab2cA.a<b〈cB。b<c<aC.c〈b〈aD。b<a<c解析：由对数的定义知ab〉0，bc>0,ac>0,又b〈0,因此a<0，c<0.而｜a｜〈|b|<｜c｜,可知a〉b〉c.答案：C变式提升2若a>b>0,则下列不等式中总成立的是()A.>B。a+〉b+C。a+>b+D。解析:由a>b>00<<a+>b+,选C.若令特值:a=2,b=1,排除A，D,再令a=,b=，排除B。答案:C三、利用不等式的性质求范围【例3】已知2≤a+b≤4,1≤a—b≤2.求3a-2b的取值范围。错解1：∵2≤a+b≤4,①1≤a-b≤2,②∴①+②得3≤2a≤6,即≤a≤3,③②×(-1)得-2≤b—a≤-1，④①+④得0≤2b≤3,即0≤b≤,⑤③×3+⑤×（—2）得≤3a-2b≤9。∴3a-2b的取值范围为［,9］。错解2:①×2得4≤2a+2b≤8,⑥②+⑥得5≤3a+b≤10，⑦⑤×(-3）得≤—3b≤0,⑧⑦+⑧得≤3a—2b≤10，∴3a-2b的取值范围为[,10］。正解:设x=a+b，y=a-b,则a=，b=.于是3a—2b=3·+2·=。而2≤x≤4，1≤y≤2,∴1≤≤2，≤≤5，于是≤≤7，即3a—2b的取值范围为［,7］.类题演练3已知f（x）=ax2-c,且-4≤f(1）≤—1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。解析：把f(3)用f（1)，f(2）表示.∵f（x)=ax2—c，不妨设f(3)=mf(1）+nf（2）,∴9a-c=m（a-c)+n(4a—c)=(m+4n）a—（m+n)c。∴∴f（3）=f（1)+f(2）.又∵—4≤f(1）≤—1，—1≤f(2）≤5,∴-1≤f(3）≤20.变式提升3若6≤a≤10，a≤b≤2a,c=a—b，求c的取值范围.解