无模型隐含波动率度量

1、无模型隐含波动率度量无模型隐含波动率度量叶叶 涛涛广发证券金融工程广发证券金融工程2014年年2月月目目 录录二、无模型隐含波动二、无模型隐含波动率率三、任意光滑函数基于三、任意光滑函数基于Dirac Delta函数的分解函数的分解BSBS期权定价模型期权定价模型u 基于基于市场风险中性假设与无套利定价方法得到的欧式期权定价市场风险中性假设与无套利定价方法得到的欧式期权定价模型。模型。u 基本假设：基本假设：u 标的资产价格服从几何布朗运动，漂移率与波动率均为已知常数。标的资产价格服从几何布朗运动，漂移率与波动率均为已知常数。u 标标的的资产在剩余期限内无现金流出。资产在剩余期限内无现金流出。

2、u 剩余期限内市场无风险利率为已知常数，投资者可按市场无风险利剩余期限内市场无风险利率为已知常数，投资者可按市场无风险利率无限借贷，标率无限借贷，标的资产可无限卖空的资产可无限卖空。u 标标的资产可连续交易且标的资产的价格变动也是的资产可连续交易且标的资产的价格变动也是连续的。连续的。u 市场光滑无摩擦，即标的资产与期权合约均无交易成本市场光滑无摩擦，即标的资产与期权合约均无交易成本。 BS环境假设：环境假设： 。u 期权合约仅能到期行期权合约仅能到期行权。权。u 基于基于BS期权定价模型的看涨期权与看跌期权的定价形式：期权定价模型的看涨期权与看跌期权的定价形式：,exp()exp()BSt

3、Tft TtTt Tt Tt TBSt Tft Tt Tt TtTt TCrE SdXdPrXdE Sd 3 3/28/28 2,22,21()2BSBSBSt Tt Tt TBStt TtfttOOOSOS rtSSVegaVega暴露度达到最大值的条件暴露度达到最大值的条件u对于某个给定的期权：对于某个给定的期权： 当标的资产运行至到期行权概率为当标的资产运行至到期行权概率为50%的价格位置时，该期权的价值对的价格位置时，该期权的价值对 于于标的资产波动率变动的敏感性达到最大标的资产波动率变动的敏感性达到最大。u对于某个给定对于某个给定的的标标的资产：的资产： 在在一组同一标的资产且到期时

4、间相同的期权中，能够使得一组同一标的资产且到期时间相同的期权中，能够使得Delta的绝对的绝对 值值最最接近于接近于0.5的期权，其的期权，其价值对于标价值对于标的资产波动率的变动最为敏感。的资产波动率的变动最为敏感。2,00,argmaxexp ()2tBStt Tft TSXSVegaXr2,00,argmaxexp ()2BStt Ttft TXSXVegaSr4 4/28/28VegaVega暴露度达到最大值的条件暴露度达到最大值的条件u Vega暴露度达到最大值的条件暴露度达到最大值的条件数据来源数据来源：Wind资讯、广资讯、广发证券发展研究中心发证券发展研究中心5 5/28/28

5、BSBS隐含波动率与波动隐含波动率与波动率微笑率微笑u BS隐含波动率隐含波动率u 能够能够使得期权价值与市场价格一致的波动率。使得期权价值与市场价格一致的波动率。u 反映反映了市场投资者了市场投资者对未来对未来波动率的预期。波动率的预期。u 是是期权市场价格一种映射，反映了波动率的市场价格。期权市场价格一种映射，反映了波动率的市场价格。u 隐含波动率曲面隐含波动率曲面u 当当到期日给定时到期日给定时，BS隐含隐含波动率随行权价波动率随行权价变动变动形成形成的的曲线被曲线被称为称为“波动率微笑曲线波动率微笑曲线”。u 当当行权价给定时行权价给定时，BS隐含隐含波动率随剩余期限波动率随剩余期限变

6、动变动形成形成的的曲线被曲线被称为称为“波动波动率期限率期限结构结构”。u 隐含隐含波动率曲面同时展示了波动率微笑曲线与波动率期限结构波动率曲面同时展示了波动率微笑曲线与波动率期限结构。u “波动率微笑波动率微笑”的成因的成因u 投资者投资者的投机性行为所的投机性行为所致。致。u 期权期权的供需不平衡所的供需不平衡所致。致。u 标标的资产在到期时刻的价格分布所的资产在到期时刻的价格分布所致。致。6 6/28/28目目 录录一、基于一、基于BS模型的隐含波动率模型的隐含波动率三、任意光滑函数基于三、任意光滑函数基于Dirac Delta函数的分解函数的分解两类隐含波动率的比较两类隐含波动率的比较

7、u BS隐含波动率隐含波动率u 包含包含了对未来波动率预测的有效信息，但并不能包含历史波动率所了对未来波动率预测的有效信息，但并不能包含历史波动率所包含的所有波动率预测信息包含的所有波动率预测信息。u 对对未来波动率的预测能力要优于历史波动率，但仍是未来波动率的未来波动率的预测能力要优于历史波动率，但仍是未来波动率的一个有偏估计一个有偏估计。u 平价平价期权所期权所包含的波动率预测信息会相对更为包含的波动率预测信息会相对更为有效有效，价价内和价外内和价外期期权所权所包含的波动率预测信息被混入了大量的包含的波动率预测信息被混入了大量的“杂音杂音”。u 无模型隐含波动率无模型隐含波动率u 基于基于

8、市场风险中性假设，由无套利定价关系直接从一组同一标的资市场风险中性假设，由无套利定价关系直接从一组同一标的资产且到期时间相同的看跌期权与看涨期权的市场交易价格中提取波产且到期时间相同的看跌期权与看涨期权的市场交易价格中提取波动率的预测信息动率的预测信息。u 不仅不仅包含了历史波动率所包含的信息，而且更加准确的综合了一组包含了历史波动率所包含的信息，而且更加准确的综合了一组同一标的资产、相同到期时间但不同行权价期权所包含的波动率预同一标的资产、相同到期时间但不同行权价期权所包含的波动率预测信息，对未来波动率的预测能力也更优测信息，对未来波动率的预测能力也更优。8 8/28/28波动率方差互换波动

9、率方差互换u 波动率交易工具波动率交易工具u 间接对标的资产未来波动率进行交易间接对标的资产未来波动率进行交易u 基于基于BS期权定价期权定价模型构建风险模型构建风险中性的中性的Delta对冲组合，完全剥对冲组合，完全剥离标的资产价格变动对期权价值的影响，从而干净的保留标的离标的资产价格变动对期权价值的影响，从而干净的保留标的资产波动率变动对期权价值的影响，将期权转换为纯粹的波动资产波动率变动对期权价值的影响，将期权转换为纯粹的波动率交易工具。率交易工具。u 直接对标的资产未来波动率进行交易直接对标的资产未来波动率进行交易u 波动波动率互换（率互换（Volatility Swaps） -以以波

10、动率波动率报价的工具更为常见。报价的工具更为常见。u 波动波动率方差互换（率方差互换（Variance Swaps） -波动波动率方差具有可率方差具有可加性等优点，更适合建模。加性等优点，更适合建模。u 波动率互换可以视为波动率方差互换的衍生波动率互换可以视为波动率方差互换的衍生合约。合约。u 波动波动率方差互换可以作为波动率互换的对冲工具。率方差互换可以作为波动率互换的对冲工具。9 9/28/28波动率方差互换波动率方差互换u 放松放松BS期权定价模型中对于标的资产价格波动的假设，不再限制标的资期权定价模型中对于标的资产价格波动的假设，不再限制标的资产价格的漂移率和波动率为已知的常数，而是某

11、个时变的产价格的漂移率和波动率为已知的常数，而是某个时变的量：量：u 波动率方差互换多头波动率方差互换多头部位的到期收益在市场风险中性环境下的现值部位的到期收益在市场风险中性环境下的现值：u 波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利定价反映了对市场投资者对波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利定价反映了对市场投资者对标的资产未来波动率的一致预期标的资产未来波动率的一致预期。 ()tttttd SSd td W 2222,exp()Ttt Ttft TX tt TdVNEr 222,TttX tt Tt TEd1010/28/28波动率方差互换波动率方差互换u 通过消除时变的标的资产漂移率来复

12、制标的资产的未来波动通过消除时变的标的资产漂移率来复制标的资产的未来波动率：率：u 标标的资产的未来波动率可以通过两种持仓方式来复制：的资产的未来波动率可以通过两种持仓方式来复制：u 动态动态调整标的资产的持有数量使得标的资产的持有市值保持不变。调整标的资产的持有数量使得标的资产的持有市值保持不变。u 静态静态持有标的资产对数远期合约的空头部位，合约的到期交割价格持有标的资产对数远期合约的空头部位，合约的到期交割价格为标的资产的当期价格为标的资产的当期价格。u 波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利定价的第二种表述形式：定价的第二种表述形式： 22()

13、2(ln)1ln()2tttttTTTttttttttd SSd td Wd SSdSSdSd td W 恒定单位对数远期市值持仓合约空头2,22lnlnlnTt Tft TttTtTt Ttt TSrEE SESS1111/28/28对数远期合约的复制对数远期合约的复制u 非线性非线性工具复制的两工具复制的两类类方法方法u 基于定价模型的基于定价模型的动态动态复制复制 -通过动态调整资产配置复制非线性工具的通过动态调整资产配置复制非线性工具的瞬时价值变动瞬时价值变动。u 基于到期收益的静态基于到期收益的静态复制复制 -将将非线性工具的到期非线性工具的到期收益收益分解分解为线性与为线性与非线性

14、的高阶非线性的高阶部分。部分。u 基于基于BS期权定价模型的动态期权定价模型的动态复制（动态复制误差复制（动态复制误差=动态对冲收益）：动态对冲收益）： ,2,222,2()1=()BS2BSBSt Tt TBSBSBSt Tt Ttt TtfttBSt Ttttt TttOOOSOSrtSSOSSSS 期权价值的瞬时变动对冲期权价值 对冲组合 的线性变动的资金成本 剩余期限内累计 对冲后剩余波动率方差的变动的非线性变动环境假设 2,2222,2Vega 1()2BSt Ttttt TtttThetaGammaOSStSS 暴露度波动率方差 的贡献暴露度暴露度的贡献对冲收益 的贡献乘数因子12

15、12/28/28对数远期合约的复制对数远期合约的复制u 对数远期合约空头部位的到期收益：对数远期合约空头部位的到期收益：u 采用采用静态复制静态复制方法复制对数方法复制对数远期合约空头部位远期合约空头部位的到期收益：的到期收益：u 任意任意光滑函数基于光滑函数基于Dirac Delta函数的函数的分解分解u 标的资产到期标的资产到期时刻的时刻的价格是价格是一个实变量，而并非是与时间一个实变量，而并非是与时间变量有关变量有关的随机过程变量的随机过程变量，即时间坐标被锁定为合约到期时刻，因此，即时间坐标被锁定为合约到期时刻，因此实变量实变量的求导与积分的求导与积分规则在此处完全适用规则在此处完全适

16、用 。 lnln,(lnln)SSTTX tVSSN ,ln,ln,220,(lnln)X tX tSTTX tSSTX tTTSX tVSSNSSXSSXd Xd XSXX 看跌期权多头组合看涨期权多头组合 线性部分远期合约空头部位非线性高阶部分 特殊期权组合1313/28/28对数远期合约的复制对数远期合约的复制u 对数远期合约的空头部位可以通过三类工具来静态复制：对数远期合约的空头部位可以通过三类工具来静态复制：u 同同一标的资产且到期时间和到期交割价格均相同的远期合约空头部一标的资产且到期时间和到期交割价格均相同的远期合约空头部位，合约配置数量为到期交割价格的倒数。位，合约配置数量为到

17、期交割价格的倒数。u 所有所有同一标的资产、到期时间相同且行权价低于到期交割价格的看同一标的资产、到期时间相同且行权价低于到期交割价格的看跌期权构成的多头组合，每个期权的配置数量与行权跌期权构成的多头组合，每个期权的配置数量与行权价平方价平方成反比。成反比。u 所有所有同一标的资产、到期时间相同且行权价高于到期交割价格的看同一标的资产、到期时间相同且行权价高于到期交割价格的看涨期权构成的多头组合，每个期权的配置数量与行权涨期权构成的多头组合，每个期权的配置数量与行权价平方价平方的反比的反比。u 将上述看跌将上述看跌期权与看涨期权的期权与看涨期权的组合组合定义定义为为“特殊期权组合特殊期权组合”

18、，记为，记为 ，将，将对数远期合约的到期交割对数远期合约的到期交割价格定价格定 义为特殊义为特殊期权组合的基准行权期权组合的基准行权价，那么特殊期权组合的到期收益：价，那么特殊期权组合的到期收益：2,PCt TX tXXSX,2,lnTX tPCTT TX tX tX tSSSXXSXSS1414/28/28对数远期合约的复制对数远期合约的复制u 特殊期权组合多头的到期收益特殊期权组合多头的到期收益数据来源数据来源：Wind资讯、广资讯、广发证券发展研究中心发证券发展研究中心1515/28/28无模型隐含波动率无模型隐含波动率u 在市场风险中性环境下将时间坐标从到期时刻前移至当前时点在市场风险

19、中性环境下将时间坐标从到期时刻前移至当前时点：u 无模型隐含波动率无模型隐含波动率 -波动波动率方差互换在风险中性环境下无套利定价的第三种表述形式：率方差互换在风险中性环境下无套利定价的第三种表述形式：,2,2,lnlnlnexpTX tPCtTtX ttT TX tX ttTX tPCX tt TX tft TX tSSESESEXXSXSE SSSXXSXrS,2,2,2lnexptTX ttTt Tt TX tX tPCt TX tft TE SSE SSSXXSXr1616/28/28无模型隐含波动率无模型隐含波动率u 隐含特殊的差值平价关系：隐含特殊的差值平价关系：u 标标的资产无套

20、利远期价格相对于基准行权价的百分比的资产无套利远期价格相对于基准行权价的百分比收益率与收益率与对数对数收益率的差值。收益率的差值。u 基于基于任意给定基准行权价构建的特殊期权组合的到期收益与任意给定基准行权价构建的特殊期权组合的到期收益与0.5倍的倍的标的资产在剩余标的资产在剩余期限内累计期限内累计波动率方差的波动率方差的差值。差值。u 两种两种差值在市场风险中性环境下的差值在市场风险中性环境下的期望期望应当应当相等相等。,22,ln1exp2tTX ttTX tX tPCt TX tft Tt Tt TE SSE SSSXXSXr 标的资产的标的资产的百分比收益率对数收益率 剩余期限内的特殊

21、期权组合的市场价格累计波动率方差1717/28/28无模型隐含波动率无模型隐含波动率u 平价期权和价外期权的交易更为活跃，交易价格中蕴含的信息更为丰富平价期权和价外期权的交易更为活跃，交易价格中蕴含的信息更为丰富，对于对于未来波动率预期的反映也更加真实未来波动率预期的反映也更加真实。u 无无模型隐含波动率的计算中对于基准行权价的取值应当尽可能接近标的资模型隐含波动率的计算中对于基准行权价的取值应当尽可能接近标的资产在市场风险中性环境下的无套利远期产在市场风险中性环境下的无套利远期价格。价格。u 无模型隐含波动率的简化形式：无模型隐含波动率的简化形式：u 如果将基准行权价设定为标的资产在市场风险

22、中性环境下的无套利如果将基准行权价设定为标的资产在市场风险中性环境下的无套利远期价格，那么远期价格，那么0.5倍的标的资产在剩余期限内的累计波动率方差与倍的标的资产在剩余期限内的累计波动率方差与特殊期权组合的到期收益在市场风险中性环境下的特殊期权组合的到期收益在市场风险中性环境下的期望期望应当应当相等相等。,22,exp2ft TPCt Tt TtTt TrXXE SX1818/28/28特殊期权组合的特殊期权组合的GreeksGreeksu 特殊期权组合的特殊期权组合的特殊之处在于其组合构建特殊之处在于其组合构建方式方式：u 以以设定的基准行权价确定入选组合的看涨期权与看跌设定的基准行权价确

23、定入选组合的看涨期权与看跌期权。期权。u 每个每个期权的配置数量与行权价的平方成期权的配置数量与行权价的平方成反比。反比。u 特殊期权组合的特殊期权组合的Delta：u Delta可以可以通过基准行权价的设定来通过基准行权价的设定来调节：如果调节：如果设定的基准行权价低设定的基准行权价低于（高于，等于）标的资产在市场风险中性环境下的无套利远期价于（高于，等于）标的资产在市场风险中性环境下的无套利远期价格，那么特殊期权组合将持有正（负，中性）的格，那么特殊期权组合将持有正（负，中性）的Delta暴露度。暴露度。,0,110,0,X ttTBSt TX ttTtX ttTX ttTDeltaSE

24、SDeltaSE SSSE SDeltaSE S 1919/28/28特殊期权组合的特殊期权组合的GreeksGreeksu 特殊期权组合的特殊期权组合的Gamma：u 静态静态持有特殊期权组合就能满足对冲收益的乘数因子近似为常数持有特殊期权组合就能满足对冲收益的乘数因子近似为常数0.5，按市场无风险利率积累，因此按市场无风险利率积累，因此殊期权组合能更方便、更直接的捕捉殊期权组合能更方便、更直接的捕捉实现波动率与隐含波动率之间的差异。实现波动率与隐含波动率之间的差异。u 特殊特殊期权组合期权组合的波动率方差的波动率方差Vega：u 随随剩余期限的剩余期限的缩短衰减缩短衰减至零，衰减速度近似为

25、常数至零，衰减速度近似为常数0.5，按市场无风，按市场无风险利率累积。与险利率累积。与标的资产的标的资产的价格变动无关价格变动无关，即标的，即标的资产的价格变动资产的价格变动并不影响特殊期权组合对标的资产波动率变动的敏感性。并不影响特殊期权组合对标的资产波动率变动的敏感性。22,2,22111=exp22BSBSt Tt Ttft TttTttSrSE SSS,2exp2BSt Tt Tft Tr 2020/28/28目目 录录一、基于一、基于BS模型的隐含波动率模型的隐含波动率二、无模型隐含波动二、无模型隐含波动率率DeltaDelta函数的基本函数的基本性质性质u 函数定义函数定义 某一随

26、机变量服从正态分布某一随机变量服从正态分布 ，其概率密度函数为，其概率密度函数为 ， 定义参数为定义参数为 的的Delta函数，函数， 。u 性质性质1：Delta函数的取值函数的取值与与对称性对称性u 性质性质2：Delta函数的定积分形式函数的定积分形式2,N , ,x 0lim, ,xx ,0,xxxx 1,1,1(),()yyzyzyxd xxd xyxd xyxd x d yzxd x dyz 2222/28/28DeltaDelta函数的基本函数的基本性质性质u 性质性质3：对于任意一个在给定积分区间内的连续函数，都能用该函数与：对于任意一个在给定积分区间内的连续函数，都能用该函数

27、与 Delta函数的卷积形式来表示。函数的卷积形式来表示。u 性质性质4：Delta函数的一阶与二阶原函数函数的一阶与二阶原函数 ,baff xxd xa b 1,11,1,xxxxxxxxxxxxxxxxxx 2323/28/28DeltaDelta函数的基本性质函数的基本性质u Delta函数的一阶与二阶函数的一阶与二阶原函数原函数数据来源数据来源：Wind资讯、广资讯、广发证券发展研究中心发证券发展研究中心2424/28/28基于基于DeltaDelta函数的分解函数的分解u 在在 定义光滑函数（处处二阶可导）定义光滑函数（处处二阶可导） ，并令，并令 。u 基于基于Delta函数的卷积形式：函数的卷积形式：u 对第一项连续使用两次分部积分：对第一项连续使用两次分部积分： 0, fy0,y 00yyfyfxxyd xfxxyd xfxxy