水力学讲稿(黄华版)2014(new3ecankao)

1、2022-7-51*水动力学课程参考书介绍水动力学课程参考书介绍水波理论及其应用（邹志利，科学出版社）水波理论及其应用（邹志利，科学出版社）水波动力学基础（吴云岗，陶明德，复旦大水波动力学基础（吴云岗，陶明德，复旦大学出版社）学出版社）波浪对海上建筑物的作用（李玉成，滕斌波浪对海上建筑物的作用（李玉成，滕斌 等，海洋出版社）等，海洋出版社） The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves (Chiang C, Mei 梅强中，梅强中，A Wiley-Interscience Publication , New York)2022-7-52 水波动力学课程

2、讲义稿水波动力学课程讲义稿 第一章第一章 基本方程与问题的近似提法基本方程与问题的近似提法 1.本课程所涉范畴本课程所涉范畴 -基本方程与近似方法、微幅波理论、水波与基本方程与近似方法、微幅波理论、水波与物体的相互作用、界面波理论、非线性波理论、物体的相互作用、界面波理论、非线性波理论、波浪渗流力作用等。波浪渗流力作用等。 2. 波浪问题的一般概念波浪问题的一般概念波浪的成因与常见类型波浪的成因与常见类型3 - 自然界存在大量波动现象。平衡水介质受扰动自然界存在大量波动现象。平衡水介质受扰动时，产生初始速度或位移，在回复力作用下（重力或时，产生初始速度或位移，在回复力作用下（重力或表面力）恢复

3、平衡，由此产生波浪。表面力）恢复平衡，由此产生波浪。 - 常见的波动现象包括风生波常见的波动现象包括风生波( ( )、涌、涌浪浪( (水跃的一种水跃的一种) )、潮汐波、潮汐波( (、水跃、水跃( (明渠流中水流速大于由障碍物明渠流中水流速大于由障碍物所引起扰动所引起扰动-浅水重力波波速浅水重力波波速, ,形成水面突然跃起形成水面突然跃起, ,如如水库泄水水库泄水) )、海啸海啸) )、瞬变波、瞬变波（扰动源运动非周期化，如投入水中石头所激发的波（扰动源运动非周期化，如投入水中石头所激发的波动）、洪水波动）、洪水波 、船行波及内波、船行波及内波( (海洋水表面受阳光照海洋水表面受阳光照射使表层

4、升温射使表层升温, ,在一定深度水层以下水温不再升高在一定深度水层以下水温不再升高, ,形形成温度突变的跃变层成温度突变的跃变层, ,该层面在上下方向微小扰动下该层面在上下方向微小扰动下, ,微小密度差使水体浮力变化而诱发或加剧该层面波动微小密度差使水体浮力变化而诱发或加剧该层面波动, ,形成二层海内波形成二层海内波) )。 -波浪理论中常见分析类型包括波浪理论中常见分析类型包括微幅波微幅波、有限振有限振幅波幅波3 3 、浅水波浅水波（如椭圆余弦波和孤立波）（如椭圆余弦波和孤立波） 、内波内波 、船行波船行波、瞬变波瞬变波、破碎波破碎波及及无规则波无规则波等。等。2022-7-54 产生波动的

5、要素：产生波动的要素：介质介质扰动源扰动源恢复力恢复力水水 波波水水风、潮汐、地震、风、潮汐、地震、流场中的障碍物、流场中的障碍物、运动物体等运动物体等重力，表面张力重力，表面张力2022-7-55 2022-7-562022-7-572022-7-582022-7-592022-7-510 近岸波变形近岸波变形2022-7-511 波波浪浪破破碎碎2022-7-512 近近岸岸波波破破碎碎2022-7-5132022-7-514 波波浪浪传传播播折折射射与与反反射射及及绕绕射射2022-7-515 船船运运动动兴兴波波2022-7-516船船运运动动兴兴波波2022-7-5172022-7-

6、518 2. 波浪问题的一般概念波浪问题的一般概念 波浪问题研究的工程应用背景波浪问题研究的工程应用背景 - 海面上波浪最大高度可达二三十米，对船舶、采油平台和港海面上波浪最大高度可达二三十米，对船舶、采油平台和港口等海工设施可能产生较大的破坏，因而需对波浪载荷加以确口等海工设施可能产生较大的破坏，因而需对波浪载荷加以确定，对波浪的破坏作用加以预估。定，对波浪的破坏作用加以预估。 - 在设计海工结构时，为确定波浪载荷，需确定使用期内建筑在设计海工结构时，为确定波浪载荷，需确定使用期内建筑物可能遇到的最大海浪等波浪要素，为此需对海浪形成机理及物可能遇到的最大海浪等波浪要素，为此需对海浪形成机理及

7、海浪预报加以研究。海浪预报加以研究。 - - 波浪要素确定后，为确定波浪载荷还需研究波浪的流体波浪要素确定后，为确定波浪载荷还需研究波浪的流体运动规律，因而需要建立和完善各种波浪理论。运动规律，因而需要建立和完善各种波浪理论。 - - 应用各种波浪理论，可进一步研究波浪与物体的相互作应用各种波浪理论，可进一步研究波浪与物体的相互作用问题，从而为结构的动力学特性分析提供重要数据。此外，用问题，从而为结构的动力学特性分析提供重要数据。此外，波浪理论在波能利用问题研究中也十分重要。波浪理论在波能利用问题研究中也十分重要。 - - 波浪传入浅水之后将引起海底泥沙运动，从而导致港口等波浪传入浅水之后将引

8、起海底泥沙运动，从而导致港口等海岸建筑物附近海岸的淤积或冲刷及航道的淤积，甚至对岸堤海岸建筑物附近海岸的淤积或冲刷及航道的淤积，甚至对岸堤上建筑物的直接冲击和破坏。因而近岸波浪作用理论的发展十上建筑物的直接冲击和破坏。因而近岸波浪作用理论的发展十分必要。分必要。2022-7-519例例 大尺度海工结构波浪作用研究大尺度海工结构波浪作用研究 随着人类对海洋开发的不断增长，海随着人类对海洋开发的不断增长，海洋结构物的建造尺度也在不断增大。例如洋结构物的建造尺度也在不断增大。例如在海上石油钻井平台的设计中，很多都采在海上石油钻井平台的设计中，很多都采用大直径圆柱结构作为支撑物；在自升式用大直径圆柱结

9、构作为支撑物；在自升式重力平台以及港口码头船锚锚碇的建造中，重力平台以及港口码头船锚锚碇的建造中，通常采用大型沉块结构；在海洋半潜式平通常采用大型沉块结构；在海洋半潜式平台如水上码头或水上休闲运动场所和海洋台如水上码头或水上休闲运动场所和海洋网箱的建造中，都要用到浮筒结构。网箱的建造中，都要用到浮筒结构。 2022-7-520 此外，防波堤（包括固立式和浮动式）也属此外，防波堤（包括固立式和浮动式）也属于浅水海域中的大尺度近岸海工结构物。例如于浅水海域中的大尺度近岸海工结构物。例如前年启动的一个千万元级别的海洋工程重大项前年启动的一个千万元级别的海洋工程重大项目（目（20102010年国家海洋

10、公益性行业科研项目年国家海洋公益性行业科研项目“新新型浮式防波堤关键技术应用示范型浮式防波堤关键技术应用示范”）所涉及的）所涉及的结构就属于典型的大尺度海工物体。结构就属于典型的大尺度海工物体。2022-7-521海海洋洋石石油油钻钻探探平平台台2022-7-522 波波浪浪绕绕圆圆柱柱2022-7-5232022-7-5242022-7-5252022-7-526 波波浪浪绕绕防防波波堤堤2022-7-527 波波浪浪绕绕防防波波堤堤2022-7-528例例 波能利用波能利用 2121世纪是海洋的世纪，人类从大海中利用资源已世纪是海洋的世纪，人类从大海中利用资源已成为必然趋势。其中海浪所蕴藏

11、的波浪能是一种取之不尽的可再成为必然趋势。其中海浪所蕴藏的波浪能是一种取之不尽的可再生能源，有效利用巨大的海洋波浪能资源是人类几百年来的梦想。生能源，有效利用巨大的海洋波浪能资源是人类几百年来的梦想。 波浪能是以一种取之不竭的可再生清洁能源。波浪能是以一种取之不竭的可再生清洁能源。 海洋中有丰富的波海洋中有丰富的波浪能和水，波浪能是指海洋表面波浪所具有的动能和势能，波浪浪能和水，波浪能是指海洋表面波浪所具有的动能和势能，波浪能具有能量密度高，分布面广等优点。它是一种最易于直接利用、能具有能量密度高，分布面广等优点。它是一种最易于直接利用、取之不竭的可再生清洁能源。取之不竭的可再生清洁能源。 气

12、气动动式式波波浪浪发发电电设设施施2022-7-529波能试验实例波能试验实例 震荡式波浪能发电装置震荡式波浪能发电装置-装置的原动力装置的原动力为波浪冲击载荷，在波浪冲击载荷的作用下，通过门板与门板为波浪冲击载荷，在波浪冲击载荷的作用下，通过门板与门板后的挡板之间的相互配合使门板做往复运动。与门板固连的竖后的挡板之间的相互配合使门板做往复运动。与门板固连的竖轴与门板一起做往复转动，该竖轴通过锥齿轮与水平横轴连接轴与门板一起做往复转动，该竖轴通过锥齿轮与水平横轴连接将竖轴的往复转动转换为水平轴的双向转动。水平轴的双向转将竖轴的往复转动转换为水平轴的双向转动。水平轴的双向转动输入通过本装置的一套

13、棘轮机构转换为单向转动输出，单向动输入通过本装置的一套棘轮机构转换为单向转动输出，单向转动输出轴与链轮发条机构连接，并将能量贮存在发条中，发转动输出轴与链轮发条机构连接，并将能量贮存在发条中，发条由控制电路控制并通过链传动与发电机相连最终实现本作品条由控制电路控制并通过链传动与发电机相连最终实现本作品的发电的功能。的发电的功能。 30例例 洞室爆破涌浪形态及作用研究洞室爆破涌浪形态及作用研究 在水域旁进行洞室爆破，大量爆破抛掷体抛入水在水域旁进行洞室爆破，大量爆破抛掷体抛入水中时会产生涌浪。国内有关资料有：中时会产生涌浪。国内有关资料有：19901990年年5 5月惠州月惠州深水港通用码头深水

14、港通用码头640 t640 t定向抛掷爆破时，定向抛掷爆破时，“爆破抛掷爆破抛掷体掀起的涌浪高达体掀起的涌浪高达5 m5 m左右，并逐渐变低向外传播，左右，并逐渐变低向外传播，到到2.5 km2.5 km处约处约0.5 m0.5 m高，两岸涌浪爬高高，两岸涌浪爬高101013 m13 m，破，破坏了西侧坏了西侧350 m350 m珍珠养殖场的部分浮标，且有不少鱼珍珠养殖场的部分浮标，且有不少鱼被抛掷体及飞石砸死和被涌浪涌至岸上。被抛掷体及飞石砸死和被涌浪涌至岸上。”19911991年年1 1月惠州港油制气码头月惠州港油制气码头3300 t3300 t大爆破大爆破( (芝麻州岛大爆破芝麻州岛大爆

15、破) )时，时，“产生的涌浪高达产生的涌浪高达2 25 m5 m左右，并向前推进，当左右，并向前推进，当遇到高遇到高3 m3 m左右的码头时，涌浪爬高达左右的码头时，涌浪爬高达6 m6 m左右。涌浪左右。涌浪爬上码头后，有一股浪头在码头上前进，将原留下的爬上码头后，有一股浪头在码头上前进，将原留下的几十座工棚全部推倒化为乌有。涌浪对海洋鱼类也有几十座工棚全部推倒化为乌有。涌浪对海洋鱼类也有影响，有不少小鱼被涌上码头，但位于码头西侧距爆影响，有不少小鱼被涌上码头，但位于码头西侧距爆区约区约800 m800 m处的海洋生物实验场却安然无恙。处的海洋生物实验场却安然无恙。2022-7-531 实例：

16、实例： 程高山位于浙江省淳安县县城中，周围建筑物密程高山位于浙江省淳安县县城中，周围建筑物密布。程高山土石方爆破工程为程高山安居工程前期场平工布。程高山土石方爆破工程为程高山安居工程前期场平工程中的开挖区爆破工程。在程高山洞室爆破中，有程中的开挖区爆破工程。在程高山洞室爆破中，有3 3次次( (一一区、三区和六区区、三区和六区) )因爆破破碎体抛入湖内而出现了涌浪因爆破破碎体抛入湖内而出现了涌浪。 一区洞室爆破平面布置示意图一区洞室爆破平面布置示意图 2022-7-532一区洞室爆破典型剖面图一区洞室爆破典型剖面图 2022-7-533一区前方水域纵深在一区前方水域纵深在700 m700 m以

17、上，侧向岸线与抛掷方向垂直，由以上，侧向岸线与抛掷方向垂直，由抛掷体形成的前向的涌浪能量受水面阻力的约束，在抛掷体形成的前向的涌浪能量受水面阻力的约束，在100 m100 m左右左右就衰减成波浪，而沿湖岸向侧向发展的涌浪形成潮涌式的沿岸就衰减成波浪，而沿湖岸向侧向发展的涌浪形成潮涌式的沿岸涌浪，以大约涌浪，以大约3 35 m5 ms s的速度顺湖岸走向由南向北的速度顺湖岸走向由南向北东东南南北向前推进，浪高北向前推进，浪高2 m2 m有余，场面壮观。涌浪沿岸行进距离在有余，场面壮观。涌浪沿岸行进距离在600 m600 m以上。以上。2022-7-534- (相关结论相关结论)涌浪的传播距离通常

18、比较远，对水面船只、网箱的涌浪的传播距离通常比较远，对水面船只、网箱的影响比较大。影响比较大。 要考虑涌浪对岸堤的冲刷及可能引起要考虑涌浪对岸堤的冲刷及可能引起的岸堤上建筑物的陷落和破坏；涌浪上岸后水流对的岸堤上建筑物的陷落和破坏；涌浪上岸后水流对岸上建筑物的冲击和破坏。必须预计和防范强度很岸上建筑物的冲击和破坏。必须预计和防范强度很大的涌浪对建筑物的毁灭性破坏情况的出现。大的涌浪对建筑物的毁灭性破坏情况的出现。 2022-7-5352022-7-5362022-7-537波浪作用理论的研究发展与波浪实验密切相关。波浪作用理论的研究发展与波浪实验密切相关。2022-7-5382022-7-53

19、9Marine Basin2022-7-540 2. 波浪问题的一般概念波浪问题的一般概念 波浪特征参数波浪特征参数 - - 波浪的基本特征参数包括波幅波浪的基本特征参数包括波幅A A、波高、波高H H 、波长、波长 、周期、周期T T、波速、波速c (c= /T) c (c= /T) 、波频、波频f ( f =1/T)f ( f =1/T)、圆频率圆频率( =2f ) ( =2f ) 、波数、波数k ( k =2/ ) k ( k =2/ ) 、波、波陡陡(H/) (H/) 、波面铅垂位移、波面铅垂位移等。等。 -波长波长：两个相邻波峰：两个相邻波峰( (谷谷) )间的距离间的距离; ; 周

20、期周期T T：相邻波峰相邻波峰( (谷谷) )通过一固定点的时间差通过一固定点的时间差; ; 波频波频f f：单位：单位时间内出现的波的次数时间内出现的波的次数; ; 圆频率圆频率：单位时间内绕过：单位时间内绕过的弧度的弧度( (正弦波为最简单实际的波形正弦波为最简单实际的波形, ,一个周期对应的一个周期对应的波形对应弧度为波形对应弧度为2) ; 2) ; 波数波数k :k :单位距离内含有波长单位距离内含有波长的个数所对应的弧度。的个数所对应的弧度。 2022-7-541 波幅波幅(wave amplitude): A 静水深静水深(water depth): h波高波高(wave heig

21、ht): H = 2A 波倾角波倾角(wave slope): 波长波长(wave length): 波数波数(wave number): k = 2/ 波峰波峰(crest)波谷波谷(trough) crest wavelength Water depth h trough Wave height H SWL Wave amplitude A = H/2 Wave period T Wave slope水平面水平面2022-7-542 水波问题的基本假定条件：水波问题的基本假定条件：1）水是无粘性）水是无粘性 (不考虑水粘性不考虑水粘性)；2）水是不可压缩流体；）水是不可压缩流体；3）水波运

22、动流场是无旋的。）水波运动流场是无旋的。水波问题水波问题是是理想理想不可压不可压流体流体的的无旋无旋运动问题运动问题水波问题水波问题必须服从必须服从不可压不可压势流势流运动的基本控制方程运动的基本控制方程3. 基本方程与定解条件基本方程与定解条件2022-7-543 3. 基本方程与定解条件基本方程与定解条件 水的流体质点运动方程水的流体质点运动方程 1 1）拉格朗日形式）拉格朗日形式 - 2 2）欧拉形式）欧拉形式 -（利用（利用 ） pFa( . )DxyzvDttx ty tz tt ( .)pDvvFvvDtt2022-7-544 *拉格朗日流体质点运动方程之推导拉格朗日流体质点运动方

23、程之推导 -方程的一般形式：方程的一般形式： 式中式中, , 为作用于单位质量流体上之体力。为作用于单位质量流体上之体力。 分析：分析：采用微元分析法，如图示，在采用微元分析法，如图示，在x x轴方向由左右两面轴方向由左右两面 压强差产生的合力为压强差产生的合力为 同理，在同理，在y y和和z z轴方向由压强差产生的合力应分别为轴方向由压强差产生的合力应分别为 故作用于微元体上对应的总合力为故作用于微元体上对应的总合力为()()22p dxp dxpdydzpdydzxxpdxdydzx pFaF()()22()()22p dyp dyppdxdzpdxdzdxdydzyyyp dzp dzp

24、pdxdypdxdydxdydzzzz 2022-7-545设作用于微元体单位质量的体力为设作用于微元体单位质量的体力为 ，则作用于微元体上的总，则作用于微元体上的总体力为体力为 ，另微元体加速度为，另微元体加速度为 ，应用牛顿定律可得：，应用牛顿定律可得：即即*上式也可直接由流体的纳维上式也可直接由流体的纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 (N-S方程方程)对于无粘流体，有对于无粘流体，有 ，故有欧拉方程，故有欧拉方程 ()pppijk dxdydzpdxdydzxyz FbF dxdydzFdxdydzpdxdydza dxdydzapFpaFa 2graddiv(2)grad( div )3D

25、vFpSvDt0,PpI gradDvpFpFaDt 2022-7-546连续方程连续方程 - 分析：分析： 由质量守恒律由质量守恒律:一个流体系统中的流体质量在运动过程中保持一个流体系统中的流体质量在运动过程中保持 不变。按雷诺输运定理，即在一固定空间（控制体）中流体质量不变。按雷诺输运定理，即在一固定空间（控制体）中流体质量 的减少率（单位时间内控制体中流体质量的减少）等于单位时间的减少率（单位时间内控制体中流体质量的减少）等于单位时间 内通过控制体表面流出的流体净质量内通过控制体表面流出的流体净质量,也即有也即有 对于不可压流体对于不可压流体,有有 ,故故 ,再由斯托克斯公式得再由斯托克

26、斯公式得 0vc47 调和方程调和方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程) - 分析：分析：引入亥姆霍兹定理（开尔文定理）：体力有势的无粘正压引入亥姆霍兹定理（开尔文定理）：体力有势的无粘正压流体流体,沿任一条由相同质点构成的封闭线沿任一条由相同质点构成的封闭线(流体线流体线)之环量不随时之环量不随时间变化，由此可知，流体若开始流动时处处无旋，则以后时刻间变化，由此可知，流体若开始流动时处处无旋，则以后时刻保持无旋。由此有：保持无旋。由此有： 故可取故可取 代入连续方程代入连续方程 ，得，得 伯努利方程（拉格朗日积分）伯努利方程（拉格朗日积分） - 20 udxvdywdzxyzddxdydz ( ,

27、 , )(,)xyzvu v w 0v20 2()02pgzt2()2022-7-548*参考件参考件-无旋条件推导无旋条件推导 开尔文定理开尔文定理2022-7-5492022-7-5502022-7-551 *伯努利方程（拉格朗日积分）推导伯努利方程（拉格朗日积分）推导 对于无粘流体对于无粘流体,引入欧拉方程引入欧拉方程 ,应用式应用式 ,则有则有再设体力再设体力 有势有势,则可定义一体力势则可定义一体力势 使使 。 当流体正当流体正压时压时,可设有可设有 ,即即 ,相应相应即即 gradDvFpDt2()()2vvvvv 2()()2DvvvvpvvvvFDttt FF 2()2vvvv

28、Pt dpPpP2()()0 ()2vvpPvvPt 52又流体运动无旋又流体运动无旋,即即 ,则则 且且 ,则有则有若令若令 ,则仍有则仍有 及及 ,故上式可改写为故上式可改写为3. 基本方程与定解条件基本方程与定解条件 定解条件定解条件1)边界条件边界条件 - 固定表面固定表面(如海底如海底): ; - 自由表面自由表面 : (i) 运动学条件运动学条件 (ii) 动力学条件动力学条件 ;若取若取 ,则仍有则仍有 及及 ,故可改写为故可改写为 ;若作一阶近似有若作一阶近似有 及及22()()()0( )22ppgzgzc ttt 0vgz v *0( )tcd 2*0 *v 2()02pg

29、zt0sn0 ()xxyyztfs 20()0 ()2fpgstfs*00( )tpcdt 2*0 *v 2()0 ()2fgst01zgt202()0zgtz 2022-7-553*固面条件及自由面运动学条件推导固面条件及自由面运动学条件推导( , , )( , , , )0 ()00 ()fxyzxxyyztfzx y tx y z tzsDuvwDttxyztxys 22222200.()()()()()()0(0)nsDuvwDttxyzuvwxyztv nvnxyzxyznt 222(,)/ ()()()nxyzxyz2022-7-554ztxxyy 自由面运动学条件中自由面位置自由

30、面运动学条件中自由面位置 z = 和速度势均为未知，因和速度势均为未知，因此它是一个非线性方程，且与自由面的时间变化有关。更为困此它是一个非线性方程，且与自由面的时间变化有关。更为困难的是，自由面运动学条件要在未知的自由面上满足，而自由难的是，自由面运动学条件要在未知的自由面上满足，而自由面位置本身是需要求解的面位置本身是需要求解的。流体速度分量流体速度分量波面倾斜度波面倾斜度()z2022-7-555 边界条件边界条件(boundary conditions)归纳归纳： 水底部条件水底部条件(在在 z = -h 上上) 自由面运动学条件自由面运动学条件( (在在 z = 上上) )0zztx

31、xyy 自由面动力学条件自由面动力学条件( (在在 z = 上上) )2()02gt20 加上此方程构成定解问题加上此方程构成定解问题2022-7-5562)2)初始条件初始条件 -初始位移初始位移: : 流体质点在重力作用下产生波动流体质点在重力作用下产生波动 ; ; 在有在有势力作用下势力作用下, ,流场保持无旋。流场保持无旋。 -初始速度初始速度: : 如瞬时附加压强（一阵风等），其停止如瞬时附加压强（一阵风等），其停止时刻即为初始时刻，由此产生初始速度分布，由其产生的时刻即为初始时刻，由此产生初始速度分布，由其产生的波动仍保持无旋。波动仍保持无旋。分析：分析：0000010000000

32、00100000()( .)( .)0( .)() (0,)() ()tttttttt tppDvvpvvvFdtvv dtFdtdtDtttvt vvt Ft vvpdtvtt 574. 边值问题的近似提法（边值问题的近似提法（Stokes一阶与二一阶与二阶波问题提法）阶波问题提法）/H20 0z2022-7-558()zztxxyy 2()0 ()2gzt？2022-7-55960222222211()0 ()() 0 ()2211() ()221. () 0 ()(. )2zDgzgztDttDDggDtDttttDztDtt 分析：分析：1 1）自由面条件的变换式）自由面条件的变换式其

33、中其中( , , )(. )0.0.0.1zDDzzzx y tzuvwDtDtt 进进一一步步可可有有22222222222222211(). () 0 ()2211(). () 0 ()221(). () 0 ()2111()0 ()222zzzzgztttgztttgzttgzttxxyyzz 2022-7-562222222211(). () 0 ()22111()0 ()222zzgztttgzttxxyyzz 比较比较另有：另有：*比较比较在在z=0处展开处展开63211() 0 ()2zgt另有：另有：2 2）泰勒展开定理）泰勒展开定理( ) 0 ()f zz在在0z处展开为：处

34、展开为：220021( )(0)0()2!zzfff zfzzzzz21( ( )(0)(0)(0)2!f xffxfx2221( )0 (0)2!fff zzzz3 3）第一、二阶波势自由面条件式）第一、二阶波势自由面条件式1 1）自由面条件的变换式）自由面条件的变换式222111()0 ()222zgzttx xy yzz 分析：分析：2022-7-564代入代入2022-7-565662221( )0 (0)( )2!fff zzAzz4 4）第二阶波势自由面条件推导）第二阶波势自由面条件推导（1 1）222111( )()0 ()222f zgztztx xy yz z 应用应用可令可

35、令( )0 ()f zz在在0z处展开：处展开：代入上式，再由代入上式，再由(A)(A)，归并，归并 项可分别得：项可分别得：22221111220)ggztztzt2=-+-()=0 (z将将212 2和和212 672221( )0 (0)( )2!fff zzAzz211( )() 0 ()2f zzgt 应用应用再令再令( )0 ()f zz在在0z处展开为：处展开为：代入上式，再由代入上式，再由(A)(A)，归并，归并 项可分别得：项可分别得：222121111() (0)2zgtz t 将将212 2和和212 0z4 4）第二阶波势自由面条件推导）第二阶波势自由面条件推导（2 2

36、）2022-7-568直接求解水波边值问题十分困难的，因为：直接求解水波边值问题十分困难的，因为： 1. 1. 自由面运动学和动力学条件都是非线性的。自由面运动学和动力学条件都是非线性的。 2. 2. 自由面运动学和动力学条件必须在未知的自由面上满足。自由面运动学和动力学条件必须在未知的自由面上满足。 1. 1. 非线性的非线性的自由面运动学和动力学条件可以线性化自由面运动学和动力学条件可以线性化。 2. 2. 自由面运动学和动力学条件可以固定在静水面上满足。自由面运动学和动力学条件可以固定在静水面上满足。微幅波微幅波(也称也称Airy波，即波幅与波长相比为小量，波，即波幅与波长相比为小量，

37、)1A 1.水波边值问题的线性化水波边值问题的线性化第二章第二章 微幅波理论微幅波理论2022-7-569 在微幅波情况下，波面起伏在微幅波情况下，波面起伏 是小量是小量，波浪中流体质点，波浪中流体质点的运动速度也是小量，它们自乘或互乘所得的二阶以上的项的运动速度也是小量，它们自乘或互乘所得的二阶以上的项可作为高阶小量而略去。由于可作为高阶小量而略去。由于 是小量，原来要在未知的自是小量，原来要在未知的自由面由面 z = 上满足的边界条件也可以改在静水面上满足的边界条件也可以改在静水面 z= 0 上来满上来满足。因此：足。因此： 自由面运动学条件自由面运动学条件( (在在 z =上上) )zt

38、xxyy zt ( (在在 z = 0 上上) )2022-7-570 自由面动力学条件自由面动力学条件( (在在 z= 上上) ) ( (在在 z = 0 上上) )202gt1gt 220gzt 由自由面运动学和动力学条件由自由面运动学和动力学条件( (在在 z = 0上上) )可以得到：可以得到： ( (在在 z = 0 上上) )2022-7-571流场动力学条件及压力分布公式：流场动力学条件及压力分布公式：202pgztpgzt 动压力动压力(dynamic pressure)静压力静压力(hydrostatic pressure)2022-7-572 上面三个方程求解，可采用分离变

39、量法对速度势进行求解上面三个方程求解，可采用分离变量法对速度势进行求解 (separation of variables)。Airy波波速度势的求解结果为：速度势的求解结果为：coshsin()2coshkzhgHkxtkckh 当水深趋于无限，即当水深趋于无限，即 ，此时的速度势为：，此时的速度势为：h sinkzgAekxt 2.微幅波问题的数学解微幅波问题的数学解732 2）边值问题的求解（分离变量法）边值问题的求解（分离变量法）可令可令 ，代入方程分离变量，代入方程分离变量, ,可得可得进一步设进一步设 ，为方便计，将，为方便计，将 仍取仍取 ，令，令可得：可得：1 1）定解（边值）问

40、题的提法）定解（边值）问题的提法2222220 ( );0 (0);10 ();(0)vgzxztzzhzzgt 分析：分析：( ) ()Z z F xct ()( )F xctZ zFZ1xxct右行波右行波1xx( )( )F xZ zFZ( )( )0( )( )0F xF xZ zZ z周期函数周期函数74分析（续）：分析（续）：对于对于 中的第一个方程，考虑中的第一个方程，考虑 为周期函数，故须取为周期函数，故须取 ，由此解得：，由此解得： 进一步求解进一步求解 ，可得：，可得： 代入代入 可得：可得： 右行波右行波111( )cossin( )cossin()cos ()sin (

41、)F xAkxBkxF xAkxBkxF xctAk xctBk xct( )( )0( )( )0F xF xZ zZ z2 2）边值问题的求解）边值问题的求解2(0)kk2( )( )0Zzk Z z( )coshsinhZ zCkzDkz0 ()zhz( )F xsinhcosh0tanh( )(coshtanhsinh)cosh ()( )coshCkhDkhDCkhZ zCkzkhkzk zhZ zCkh75分析（续）：分析（续）：故最终可得故最终可得 再令再令 则则 可取可取 ，再引入，再引入 ，代入条件，代入条件得：得： ，即，即 11sin ,cos ,AABB2 2）边值问题

42、的求解）边值问题的求解( ) ()cosh () cos ()sin ()coshZ z F xctk zhAk xctBk xctkh 1cosh () cos ()sin ()coshcosh ()sin ()coshk zhAk xctBk xctkhk zhAk xctkh 01(0)zg t10,00,0,01cosh ()(0)cos ()22coshxtxtzAkcHHk z hzk x ctgtgkh12HgAkccosh ()sin () ()2coshgHk zhk xctkckckh 2022-7-576coshcoscoshpgztk zhgzAgkxtkh 由动力学条

43、件，可得由动力学条件，可得Airy波流场压力分布为：波流场压力分布为： 由自由面动力学条件，可得由自由面动力学条件，可得Airy波面为：波面为：01coszAkxtgt cosh ()sin () ()2coshgHk zhk xctkckckh 2022-7-577 对对Airy波波的解，涉及四个参数的解，涉及四个参数 (A, k, c,) ，实际上由于色，实际上由于色散关系和波速公式，散关系和波速公式，k和和及及(k, c,)是相互关联的，因此只有是相互关联的，因此只有两个参数两个参数(A, k) 需要确定：需要确定： (1) Airy波是二维余弦曲线，因此也称为线性简谐波。波是二维余弦曲

44、线，因此也称为线性简谐波。coscosAkxkctAkxt A 就是就是波幅波幅(wave amplitude)，它的两倍就是，它的两倍就是波高波高 H = 2A (wave height)。两个相邻。两个相邻波峰波峰(crest)(或或波谷波谷(trough)之间的距之间的距离称为离称为波长波长(wave length)。AH2022-7-578 (2) k 是是波数波数(wave number)。cos;Akx 对简谐波，令对简谐波，令 t = 0，可得空间上周期变化的余弦函数：，可得空间上周期变化的余弦函数： 利用一个周期对应波长利用一个周期对应波长 x =，可推得，可推得k即为波数即为

45、波数 （一个周（一个周期期2内所含波的个数）：内所含波的个数）：22kkcoscosAkxkctAkxt对于对于2022-7-579 (3) 是是圆周频率圆周频率(frequency)。 对简谐波，令对简谐波，令 x = 0，可得时间上周期变化的余弦函数：，可得时间上周期变化的余弦函数： 利用一个周期利用一个周期 (period) t = T = 1/f，可知，可知即为圆周频率即为圆周频率 （一个周期（一个周期2内波的振动次数）内波的振动次数）22kcTTcTkTcoscos;AkctAt = frequency = 2/T T-1, e.g. rad/sec T对于对于coscosAkxkc

46、tAkxt2022-7-580 *波浪特征参数波浪特征参数 - - 波浪的基本特征参数主要包括波幅波浪的基本特征参数主要包括波幅A A、波高、波高H H 、波长波长 、周期、周期T T、波速、波速c (c= /T) c (c= /T) 、波频、波频f ( f f ( f =1/T)=1/T)、圆频率、圆频率( =2f ) ( =2f ) 、波数、波数k ( k =2/ k ( k =2/ ) ) 、波陡、波陡(H/) (H/) 、波面铅垂位移、波面铅垂位移等。等。 -波长波长：两个相邻波峰：两个相邻波峰( (谷谷) )间的距离间的距离; ; 周期周期T T：相邻波峰相邻波峰( (谷谷) )通过

47、一固定点的时间差通过一固定点的时间差; ; 波频波频f f：单位：单位时间内出现的波的次数时间内出现的波的次数; ; 圆频率圆频率：单位时间内绕过：单位时间内绕过的弧度的弧度( (正弦波为最简单实际的波形正弦波为最简单实际的波形, ,一个周期对应的一个周期对应的波形对应弧度为波形对应弧度为2) ; 2) ; 波数波数k :k :单位距离内含有波长单位距离内含有波长的个数所对应的弧度。的个数所对应的弧度。 2022-7-581 (4) 波速波速 (wave velocity)，也称，也称相速相速(phase velcoity)。 波速波速 c 的定义：波长与波周期的比值，即在一个波周期内，的定义

48、：波长与波周期的比值，即在一个波周期内，完成经历一个波长距离的速度，其公式为：完成经历一个波长距离的速度，其公式为：22kcTckcTT2022-7-582 可得：可得： 将将Airy波波的速度势代入线性化的自由面条件，即将的速度势代入线性化的自由面条件，即将coshsin2coshkzhgHkxtkh 220gzt Airy波波速度势速度势 代入线性化自由面条件代入线性化自由面条件(z = 0)2coshsinh0khgkkh2sinhtanhcoshkhgkgkkhkh 此即色散关系：此即色散关系： 3.色散关系色散关系(dispersion relationship)2022-7-583

49、 通过色散关系，如果通过色散关系，如果知道水深和波数，求圆周频率比较容易；知道水深和波数，求圆周频率比较容易；但如果知道圆周频率和水深，要求解波数就比较困难。可采用下但如果知道圆周频率和水深，要求解波数就比较困难。可采用下面两条函数曲线相交的方法来求解。把色散关系改写成：面两条函数曲线相交的方法来求解。把色散关系改写成： 2tanhhCkhkhgtanhCkhkh 1 kh =f(c) kh tanh kh khC 311/252022-7-584 色散关系建立了水深、波长、波速、波数、圆周频率的关系色散关系建立了水深、波长、波速、波数、圆周频率的关系,反映了水波的重要特征，是水波的重要关系式

50、。反映了水波的重要特征，是水波的重要关系式。 以下对它再作进一步讨论：以下对它再作进一步讨论：2tan hhCkhkhgtanh,Ckhkh2022-7-585*深浅水条件范围划分及对应的色散关系深浅水条件范围划分及对应的色散关系2022-7-586 由于波速由于波速 ， 波数波数 ，可以进一步把，可以进一步把色散关系写成：色散关系写成： 先固定水深先固定水深 h，来讨论，来讨论上面色散关系。即在一定的水深上面色散关系。即在一定的水深 h 情情况下，色散关系建立了圆周频率况下，色散关系建立了圆周频率() 与波数与波数(k) 的关系，的关系，圆周频率圆周频率()波数波数(k)ck2k22222t

51、anh(tanh)2ghcgkkhk 因此因此通过色散关系，可建立波速通过色散关系，可建立波速(c) 与波长与波长() 的关系，即的关系，即在一定的水深在一定的水深 h 情况下，情况下，波速波速(c)波长波长()87 因此可以得到：因此可以得到： 现在看水深变化情况。先讨论现在看水深变化情况。先讨论深水波深水波(deep water waves)。tanh1kh 2gk2222dggckk22Tg;kTc当当当 如果如果 ，即，即 ，也就是，也就是 ，那么，那么kh2h2h 因此因此深水波的色散关系深水波的色散关系为：为： 由于由于 ，因此深水波也称为，因此深水波也称为短波短波(short w

52、aves)。12h2(tanh)gkkh色散波色散波88 现在看现在看浅水波浅水波(shallow water waves)情况。情况。tanh khkh22ghk22Tgh222scghk 因此可以得到：因此可以得到： ;kTc当当与波长无关 如果如果 ，即，即 ，也就是，也就是 ，一般认为，一般认为当当 就是水深足够小，此时有就是水深足够小，此时有1kh 21hh/ 20(/10)hkh 因此因此浅水波的色散关系浅水波的色散关系为：为： 由于由于 ，因此浅水波也称为，因此浅水波也称为长波长波(long waves)。120h2(tanh)gkkh非色散波非色散波2022-7-5892222

53、sinhtanhcosh2tanhtanh2khgkgkkhkhgghckhckkk1/ 202hh深 水 ：浅 水 ：2022-7-590 对于一定的波长，对于一定的波长， 是恒定的，随着水深是恒定的，随着水深 h 增加，增加，波速波速 c 增加。增加。 因此因此 深水波的传波速度快，浅水波的传波速度慢。深水波的传波速度快，浅水波的传波速度慢。scgh 对于一定的水深，对于一定的水深， 是恒定的，随着波长是恒定的，随着波长增加，增加，波速波速 c 增加。增加。 因此因此 长波的传播速度快，短波的传播速度慢。长波的传播速度快，短波的传播速度慢。 2dgc2 h2tanh2ghck2022-7-

54、591222222sinhtanhcoshtanh2tanh2khgkgkkhkhgckhTkkghck当水深一定，当水深一定，c随波长增随波长增加而增加加而增加另当波另当波长一定，长一定，c随水随水深增加深增加而增加而增加2022-7-592 通过速度势和色散关系，可以求得流场速度：通过速度势和色散关系，可以求得流场速度：coshsin,2coshk zhgHkxtkh coshcos2coshcoshcos2sinhkzhHgkukxtxkhkzhHkxtkh2tanhgkkhsinhsin2coshsinhsin2sinhk zhHgkvkxtzkhk zhHkxtkh 4.流场速度流场

55、速度(fluid velocity field)93coshcos2sinhsinhsin2sinhkzhHukxtkhkzhHvkxtkhzxx=x =/2波传播方 向O2k01c o szAk xtgt 2022-7-594coshcos2sinhsinhsin2sinhkzhHukxtkhkzhHvkxtkh34tT32t2022-7-595 在在 z = 0 上的速度为：上的速度为：01cos,2tanhHUkxtkh0sin2c)os2(HVkxtkxtHt 由此把速度改写成：由此把速度改写成：0cosh,coshkzhuUkh0sinhsinhkzhvVkhcoshcos2sinh

56、sinhsin2sinhk zhHukxtkhk zhHvkxtkh2022-7-596 对对深水波深水波， ，有：，有：kh0cosh,coshkzkzhueUkh0sinhsinhkzkzhveVkhcoshcoshkzkhkzkhkzkhkhkzhe eeeekheegckgck2022-7-597 对对浅水波浅水波， ，有：，有：0cosh1,coshkzhuUkh0sinh1sinhk zhvzVkhh10kh22cos,2()Hgukxtkhhghk1sin2Hzvkxthcoshcos2sinhsinhsin2sinhk zhHukxtkhk zhHvkxtkh 几个常用函数的特

57、征：几个常用函数的特征： 深水深水 浅水浅水1kh1fkh1kh0tanhfkh 1coshcoshkzhfzkhkze 2coshsinhkzhfzkhkze1kh 3sinhsinhkzhfzkhkze1zh99 Airy波波特征：特征： 深水深水 浅水浅水色散关系色散关系流场速度流场速度kh1kh 2gk22dggck22ghk2scgh0kzueU0kzveV01uU01vzVh100 设水质点设水质点 P 的坐标为的坐标为 ，( ),( )x tz t 它的平均位置为它的平均位置为 ，,x z 因此因此 P 点位置可以表示为：点位置可以表示为：( )( ),x txx t( )( )

58、z tzz t 由位移速度关系并根据泰勒展开定理：由位移速度关系并根据泰勒展开定理：, , ,( , , ), ,u x z tu x z tdxu x y tu x z txzdtxz忽略小量并积分：忽略小量并积分：cosh, ,cos2sinhcoshsin2sinhk zhHxxu x z t dtxkxt dtkhk zhHxkxtkh 5.水质点的运动轨迹水质点的运动轨迹 (particle orbit)coshcos2sinhuk zhHkxtkh2022-7-5101 同理可得：同理可得：,v x z tv x z tdzvv x z txzdtxz 积分后得：积分后得：sinh

59、, ,sin2sinhsinhcos2sinhk zhHzzv x z t dtzkxt dtkhk zhHzkxtkh 在静水面的平衡位置，有在静水面的平衡位置，有 ，得到：，得到：0z cos2Hzkxtsinhsin2sinhk zhHvkxtkh102 水质点水质点 P 的运动轨迹的运动轨迹 (particle orbit)为：为：22221xxzzab 其中：其中：cosh,2sinhkzhHakhsinh2sinhkzhHbkh 水质点的运动轨水质点的运动轨迹是一个椭圆，随迹是一个椭圆，随着水深增加，椭圆着水深增加，椭圆两个轴长减少。两个轴长减少。coshsinhsin,cos2s

60、inh2sinhk zhk zhHHxxkxtzzkxtkhkh 02Hzb0zhb 103 对对深水波深水波， ，椭圆的，椭圆的两个轴两个轴长变为一个：长变为一个：2k zHabe 水质点的运动轨迹水质点的运动轨迹为一个圆，随着水深为一个圆，随着水深增加，圆半径减少。增加，圆半径减少。在自由面上的水质点在自由面上的水质点的运动轨迹圆的半径的运动轨迹圆的半径正好是波幅。正好是波幅。1kh coshsinh,2sinh2sinhk zhk zhHHabkhkh,0zab 深水深水 浅水浅水fkh1kh coshsinhkzhkhkze1/ khsinhsinhkzhkhkze1/z h2022-