第5讲概率统计

1、2-4 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布例例1 1 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设射击都能中靶。以射击都能中靶。以X表示弹着点与圆心的距离，表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量试求随机变量X的分布函数的分布函数解：（解：（1）由题意知）由题意知当当x2时时1)()()(SPxXPxF故随机变量故随机变量X的分布函数为的分布函数为2, 120,40, 0)(2xxxxxF易知易知F(x)为连续函数，对分布函数求导数得为连续函数，对分布函数

2、求导数得其它020,2)()(xxxFxf且容易看出有下式成立且容易看出有下式成立xdttfxF)()(在这种情况我们称在这种情况我们称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，下面给出一般定义下面给出一般定义即即F(x)恰是非负连续函数恰是非负连续函数f(x)在区间在区间 上的积分上的积分,(x一一. 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 1. 定义定义2.2 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为F(x), 如如果存在一个非负可积函数果存在一个非负可积函数 f(x), 使对任意的实数使对任意的实数x，均有均有xdttfxF)()(则称则称X是连续型随机变量，称是连续

3、型随机变量，称 f(x)是是X的概率密度的概率密度或密度函数，简称密度或密度函数，简称密度。连续型随机变量。连续型随机变量X的分布的分布函数函数F(x)和密度函数和密度函数 f(x) 统称为统称为X的的概率分布，简概率分布，简称称X的分布。的分布。2. . 概率密度函数的性质概率密度函数的性质（1） 0)(xf（2） 1)(dxxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v. X的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1(3) P (a 0且较小时且较小时,则有则有 P(x X x+ x ) = F(x+ x)-F(x

4、) xxxxxfdttf)()(=密度函数密度函数 f (x)在某点在某点 x处处 的值，反映了的值，反映了 X 在在x附近附近单位区间内取值的概率的大小。反映了概率在单位区间内取值的概率的大小。反映了概率在x点的点的密集程度。密集程度。f(x)较大，说明了较大，说明了X在在x点的概率密集程度点的概率密集程度较大，随机变量在较大，随机变量在x点的附近取值的概率较大；反之，点的附近取值的概率较大；反之，若若f(x)较小，说明较小，说明X在在x点的密集程度较低，随机变量点的密集程度较低，随机变量在在x点附近取值的概率较小。点附近取值的概率较小。(6) P(X=x0)=F(x0) F(x0 0) =

5、0)()(bXaPbXaP)(bXaP对连续型对连续型 r.v X,有有)(bXaPbadxxf)(进一步有进一步有GdxxfGXP)()(如如adxxfaXP)()(注意：注意： 是一个概率为是一个概率为0的事件，的事件， 而不一定是不可能事件而不一定是不可能事件)(0 xX 例例2 设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为其他, 043, 2/230,)(xxxkxxf求求(1)(1)常数常数k； （2 2）X 的分布函数；的分布函数； （3 3）P(1 X 7/2).解：解：（1）由密度函数的性质）由密度函数的性质4433000)22(0)(1dxdxxkxdxdxdxxf412

6、9k61 k（2）当当x4时时，1)()(xdttfxF故随机变量故随机变量X的分布函数为的分布函数为4143324301200)(22xxxxxxxxF（3）4841)22(6)()271 (27331271dxxdxxdxxfXP例例3 3 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的分布函数为的分布函数为1, 110,0, 0)(2xxCxxxF求求 （1）常数）常数C值；值； （2）X 取值于（取值于（0.3，0.7）内的概率；）内的概率； （3）X 的密度函数的表达式的密度函数的表达式。解：（解：（1）由连续性知：）由连续性知：CCxFFx21lim)01 () 1 (1即即 C=1（2）

7、4 . 009. 049. 0)3 . 0()7 . 0()7 . 03 . 0(FFXP（3）其他0102)()(xxxFxf由分布函数与密度函数的关系知由分布函数与密度函数的关系知二二 几种常见的分布几种常见的分布 (1) 若随机变量若随机变量X 的概率密度为的概率密度为 1. 均匀分布（均匀分布（Uniform） 则称则称 X 在在a, b上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XUa, b其他01)(bxaabxf)(xfab（3 3）对于）对于a c 00 ，则称，则称X 服从参数为服从参数为 的指数的指数分布，相应的分布函数为分布，相应的分布函数为 0, 00,1)(/xxexfx

8、0001)(/xxexFx指数分布的一个最常见的应用是使用它来做各种寿命指数分布的一个最常见的应用是使用它来做各种寿命分布的近似。例如：电子元件的寿命，动物的寿命分布的近似。例如：电子元件的寿命，动物的寿命都可以近似的用指数分布来描述。都可以近似的用指数分布来描述。服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X有下面的性质有下面的性质)()|(tXPsXtsXP对任意的对任意的s,t这个性质称为指数分布的这个性质称为指数分布的“永远年青性永远年青性”或或“无记忆性无记忆性”比如说；某元件的寿命服从指数分布，那么已知它比如说；某元件的寿命服从指数分布，那么已知它使用了使用了s小时无损坏的条件下，

9、在使用小时无损坏的条件下，在使用t小时以上的小时以上的概率，和从一开始使用时算起，它能使用概率，和从一开始使用时算起，它能使用t小时以上小时以上的概率是一样的。指数分布描述了无老化时的寿命的概率是一样的。指数分布描述了无老化时的寿命分布。分布。但但“无老化无老化”是不可能的，因而只是一种近似，是不可能的，因而只是一种近似，对于一些寿命长的元件，在初期阶段老化现对于一些寿命长的元件，在初期阶段老化现象很小，这一阶段指数分布比较确切地描述象很小，这一阶段指数分布比较确切地描述了其寿命分布情况。比如人的寿命，一般，了其寿命分布情况。比如人的寿命，一般，在在5050岁以前，由于生理的老化而死亡的因素岁

10、以前，由于生理的老化而死亡的因素是次要的。若排除意外因素的影响，人的寿是次要的。若排除意外因素的影响，人的寿命在这个阶段接近指数分布命在这个阶段接近指数分布若考虑老化，则若考虑老化，则X服从威布尔分布服从威布尔分布 3. 正态分布的定义正态分布的定义 若若r.v X 的的概率密度为概率密度为),(2NX记作记作 xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 22X 的分布函数为的分布函数为 dtexFtx222)(21)(a. . 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对

11、对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .f (+ +c)=f (- -c)4. 正态分布正态分布),(2N密度函数图形的特点密度函数图形的特点b. b. 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. .称为位置参数称为位置参数称为形状参数称为形状参数c. c. 在在x=处达到最大值处达到最大值: :xexfx,)()(22221 21)(fd. d. 这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来向左右伸展时，越来越贴近越贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。

12、 xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,e.e.xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 年降雨量、同龄人身高、在正常条件下年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标各种产品的质量指标如零件的尺寸；纤如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布正态分布. . 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函

13、数是xdtexFxt,)()(22221 5. 5. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数dtexxt2221)(6. . 标准正态分布标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 注意：注意：(0)=0.5 ( x)=1 (x) xxdtexxt2221)(若若 XN(0, 1)()()(abbXaP7. . 正态分布的计算正态分布的计算 )(x对任意的实数对任意的实数x1， x2 (x1 x2)，有，有)()(11xxXP)(1) (11xx

14、XP)()() (1221xxxXxPduedtexFuxtx22)(2222121)(例例4设设 X N( , 2), 求求 P( |X- | 8.562, 故故n=9问题的提出问题的提出2-5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在实际问题中，我们常常对某些随机变量的函数在实际问题中，我们常常对某些随机变量的函数感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量不能由直接测量得到，而它却是某个能够直接不能由直接测量得到，而它却是某个能够直接 测量测量的随机变量的函数。如，考察一批圆轴的截面面积的随机变量的函数。如，考察一批圆轴的截面面积Y，我们能够直

15、接我们能够直接 测量的是直径测量的是直径 X，且当直径且当直径 X 取取 x 值值时，截面面积时，截面面积Y 的取值为的取值为241xy 一般地，设一般地，设X, Y 是两个随机变量，是两个随机变量，y=g(x)是是一个已知函数，如果当一个已知函数，如果当X 取值取值 x 时，时，Y取值为取值为g(x)，则称，则称Y 是随机变量是随机变量X 的函数。记为的函数。记为Y=g(X) 问题是：问题是：如何由如何由已知的已知的随机变量随机变量X 的概率分布的概率分布去求得它的去求得它的函数函数Y=g(X)的的概率分布概率分布一一 离散型随机变量离散型随机变量函数的分布函数的分布例例7 7设设X 4 .

16、 01 . 03 . 02 . 02101求求 Y= (X 1)2 的分布律的分布律.解：解：) 1 (2 . 0)4) 11() 1(2YPXP)2(3 . 0) 1) 10()0(2YPXP)3(1 . 0)0) 11 () 1(2YPXP)4(4 . 0) 1) 12()2(2YPXPY 所有可能的取值为：所有可能的取值为：0，1，4故故Y的分布律为的分布律为2 . 07 . 01 . 0410把把(2)和和(4)合并得合并得P(Y=1)=0.7一般地，若一般地，若X 的分布列为的分布列为 Xx1x2xkPp1p2pk则则Y = g(X) 的分布列为的分布列为 Yg(x1)g(x2)g(

17、xk)Pp1p2pk如果如果 g(xk )中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项（即概率相加）即可并项（即概率相加）即可. .二二 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布例例8设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：设设X，Y 的分布函数为的分布函数为 FY ( y )，FX(x)FY (y)=PY y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函数的密度函数0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(y

18、fdyydFyfXYY当当 8 y 16 时，时， 168)28(yyfX其它, 040, 8/)(xxxfX当当 y 8 或或 y 16 时，时， 0)28(yfX1. 当当 y =g(x) 是单调函数是单调函数 定理定理 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 只在只在(a, b)上取值，它上取值，它的概率密度为的概率密度为 fX(x)，又，又 y = (x) 是严格单调的可是严格单调的可导函数，则导函数，则Y = (X)是连续型随机变量，其概率是连续型随机变量，其概率密度为密度为其他0)().()(yyyfyfXY其中其中 x = (y) 是是 y = (x) 的反函数，的反函数，( ，

19、)是是y = (x), a x 0时，对于时，对于xey21有有02)2(22xxeey0,12xeyx为为x的单调增函数的单调增函数且且) 1 , 0(,2)1ln(yyx)1 (21yxy所以所以其他0) 1 , 0(| )2)1ln()(yxyfyfyXY其他0) 1 , 0()1 (212)2)1ln(2yyey其他0) 1 , 0(1y即即YU(0,1)2. 当当y=g(x)是非单调函数是非单调函数法一：用基本方法（从分布函数出发）法一：用基本方法（从分布函数出发）)()()() 1 (DXPyYPyFYY)()()2(yFyfYYY法二：变成几个单调区间，在每个单调区间法二：变成几个单调区间，在每个单调区间上用公式结果在求和上用公式结果在求