数值分析第一章ppt

1、第第1章章 误差误差1.1 1.1 科学计算中误差的来源科学计算中误差的来源1.2 1.2 误差的基本估计方法误差的基本估计方法1.3 1.3 算法的数值稳定性算法的数值稳定性hhhhhhhhhhhhhggggggggggggg浮点数及其运算特点浮点数及其运算特点误差的来源与分类误差的来源与分类1.1 科学计算中误差的来源科学计算中误差的来源1. 规格化浮点数规格化浮点数： x=0.d1d2dtn浮点数及其运算特点浮点数及其运算特点t 字长字长（正整数）。（正整数）。d1,d2,dt为为0到到1中任一数字。中任一数字。当数当数x0时，规定时，规定d10 。基底基底（可以是（可以是10、2、8、

2、16等等）等等）阶阶尾数尾数例例 t=4, p=10，即，即4位十进制计算机中位十进制计算机中 一台计算机能表示的浮点数的全体，记作一台计算机能表示的浮点数的全体，记作F。实数。实数x在计在计算机中用算机中用F中最接近中最接近x的一个浮点数表示的一个浮点数表示。=0.3142101 十进制情形，十进制情形，为为10，d1,d2,dt为为0 0到到9 9中任一数字。中任一数字。数数0在计算机中尾数为在计算机中尾数为0，阶码任意，阶码任意 。- 62.4= - 0.62401020.0010346= 0.103510-2(1) 两数相加前先两数相加前先对阶对阶,统一为较大阶统一为较大阶.(2) 结

3、果自动结果自动规格化规格化. 例例1 设设t=4, =10, x=0.312710 6, y=0.415310 4. (对阶对阶) yx 则则44103415. 0101003. 0 4104418. 0 （规格化）（规格化） 例例2 设在设在5位十进制计算机上，位十进制计算机上，t=5, =10, x=0.3756910 4, y=0.9633110 5.则则441000000. 01069375. 0 yx 其结果其结果大数大数“吃掉吃掉”了小了小数数2.2.浮点数的运算特点浮点数的运算特点: :在计算机里，在计算机里，加法结合律成加法结合律成立吗？立吗？乘法对加法乘法对加法的分配律成的分

4、配律成立吗？立吗？答：不成立。答：不成立。例题：在例题：在3位十进制机上计算位十进制机上计算(0.0438+0.0397)+13.2=13.3而而 0.0438+(0.0397+13.2)=13.2答：不成立。答：不成立。 通常，用计算机解决科学计算问题经历以下过程：通常，用计算机解决科学计算问题经历以下过程： 实际问题实际问题 建立数学模型建立数学模型 构造数值计算方法构造数值计算方法 程序设计程序设计 上机计算结果上机计算结果 误差的来源误差的来源主要有四类：主要有四类：1.模型误差模型误差-客观量的准确值与数学模型的准确解的差客观量的准确值与数学模型的准确解的差2.观测误差观测误差-由观

5、测数据而产生的误差由观测数据而产生的误差3.截断误差截断误差(方法误差方法误差)-数学模型的准确解与利用近似计数学模型的准确解与利用近似计算方法得到的解之差算方法得到的解之差4.舍入误差舍入误差-由于将数据进行舍入而产生由于将数据进行舍入而产生 误差的来源与分类误差的来源与分类例例 某个量的数学模型是某个量的数学模型是sin x,由泰勒展式由泰勒展式 xxxxxx,!7! 5! 3sin753用近似计算公式用近似计算公式 xx sin截断误差截断误差 xxsin3753! 3cos!7! 5! 3xxxx xxsin361x例例4142. 12 0000135. 04142. 12 R，产生舍

6、入误差为：，产生舍入误差为：绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限有效数字有效数字算术运算的误差算术运算的误差1.2 1.2 误差的基本估计方法误差的基本估计方法设某准确值设某准确值x近似值为近似值为x*。x*的的绝对误差绝对误差 (x)=xx* 在同一量的不同近似值中，在同一量的不同近似值中，|(x)|越小，越小，x*的精确度越高。的精确度越高。 当当|(x)|较小时，较小时，(x)dx|(x)|=|xx*| x*的的绝对误差限绝对误差限 例例,6666. 032 x667. 0 x|(x)|=|xx*|=0.000333.0.0005试估计误差限。

7、试估计误差限。解解x*的绝对误差限为的绝对误差限为0.0005常用记法：常用记法： x=x*表示表示 x*-xx*+某商品标注重量为某商品标注重量为 27270.5kg0.5kg, , 实际重量是多少？实际重量是多少？ s实际重量实际重量在在26.5kg到到27.5kg之间之间绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限 x*的的相对误差相对误差在不同近似值中，在不同近似值中，|r (x)|越小，越小，x*的精确度越高。的精确度越高。 x*的的相对误差限相对误差限 常用计算公式：常用计算公式：xxxr xxx,)()(*xxxxxxr | )(|xx | x )(xr 1.2.2 1.2.2 相对

8、误差和相对误差限相对误差和相对误差限例例 设设的近似值哪一个精度高些的近似值哪一个精度高些? ? yxyx, 510000, 5 . 01 解解x*=1, 绝对误差限绝对误差限x=0.5, 相对误差限相对误差限x=0.5/1=0.5y*=10000, 绝对误差限绝对误差限y=5, 相对误差限相对误差限y=5/10000=0.0005由于由于y x ，所以，所以y的近似值的近似值y*的精度较高。的精度较高。 定义定义1.31.3 若近似值若近似值x*的绝对误差限是某一位上的半个单位，的绝对误差限是某一位上的半个单位，则说则说 x* 精确到该位精确到该位，若从该位到，若从该位到 x* 的左面第一位

9、非零数字的左面第一位非零数字一共有一共有n位，则称近似值位，则称近似值x*有有n位有效数字位有效数字。 准确数有无穷多位有效数字准确数有无穷多位有效数字.例例用用3.1416作为作为的近似值的近似值,有几位有效数字有几位有效数字? 解解|-3.1416|=0.0000073=3.14159265x*=3.1416因此近似值精确到因此近似值精确到10-4,有有5位有效数字位有效数字.有效数字有效数字1,可化可化xx 1例例2. 要防止大数要防止大数“吃掉吃掉”小数，注意保护重要数据小数，注意保护重要数据 3. 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累 xxxxxx 1)1)(1(xx 11当当x接近于接近于0时，可化时，可化xxsincos1 xxcos1sin xxxxxx 114. 要避免绝对值小的数作除数要避免绝对值小的数作除数当当x1 时，可化时，可化例例5. 设法控制误差的传播设法控制误差的传播