数字信号处理系统的实现

1、第第6章章 数字信号处理系数字信号处理系统的实现统的实现6.1 数字滤波器的结构数字滤波器的结构6.2 量化与量化误差量化与量化误差6.3 有限字长运算对数字信号处理有限字长运算对数字信号处理系统的影响系统的影响数字滤波器的实现方法：数字滤波器的实现方法： a. 利用专用计算机；利用专用计算机； b.直接利用计算机和通用软件编程实现。直接利用计算机和通用软件编程实现。一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函数形式：一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函数形式： 为为I I R滤波器形式，滤波器形式， 都为都为0时就是一个时就是一个FIR滤波器。滤波器。对于这样一个系统，也可用差分方程来表

2、示：对于这样一个系统，也可用差分方程来表示：01( )1NiiiNiiia zH zb zibNiNiiiinybinxany01)()()(IIR、FIR的系统函数 网络结构形式 软、硬件实现DF)(nx)(ny 即一个输出序列是其过去 点的线性组合加上当前输入序列与过去 点输入序列的线性组合。 除了与当前的输入 有关，同时还与过去的输入和过去的输出有关，系统是带有记忆的。 对于上面的算式，可以化成不同的计算形式，如直接计算、分解为多个有理函数相加、分解为多个有理函数相乘等等，不同的计算形式也就表现出不同的计算结构，而不同的计算结构可能会带来不同的效果，或者是实现简单，编程方便，或者是计算精

3、度较高等等。 另外，数字信号是通过采样和转换得到的，而转换的位数是有限的（一般6、8、10、12、16位），所以存在量化误差，另外，计算机中的数的表示也总是有限的，经此表示的滤波器的系数同样存在量化误差，在计算过程中因有限字长也会造成误差。 NN)(ny)(nx量化误差主要有三种误差：量化误差主要有三种误差： A/DA/D变换量化效应；变换量化效应； 系数的量化效应；系数的量化效应； 数字运算的有限字长效应。数字运算的有限字长效应。6.1 6.1 数字滤波器的结构数字滤波器的结构 6.1.1 数字网络的信号流图数字网络的信号流图差分方程中数字滤波器的基本操作：加法，乘法,延迟。为了表示简单，通

4、常用信号流图来表示其运算结构。对于加法、乘法及延迟这三种基本运算。1z1za+延时延时乘常数乘常数相加相加方框图方框图信号流图信号流图a只有输出支路的节点称为只有输出支路的节点称为输入节点输入节点或或源点源点；只有输入支路的节点称为只有输入支路的节点称为输出节点输出节点或或阱点阱点；既有输入支路又有输出支路的节点叫做既有输入支路又有输出支路的节点叫做混合节点混合节点。通路通路是指从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续是指从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续的一串支路，的一串支路，通路的增益通路的增益是该通路上各支路增益是该通路上各支路增益的乘积。的乘积。回路回路是指从一个节点出发沿着支路箭头方向到达

5、是指从一个节点出发沿着支路箭头方向到达同一个节点的闭合通路，它象征着系统中的反馈同一个节点的闭合通路，它象征着系统中的反馈回路。组成回路的所有支路增益的乘积通常叫做回路。组成回路的所有支路增益的乘积通常叫做回路增益回路增益。)1()1()()(110nybnxanxany梅逊梅逊(Mason)公式公式 kkkTzXzYzH1式中式中Tk为从输入节点（源点）到输出节点（阱为从输入节点（源点）到输出节点（阱点）的第点）的第k条前向通路增益；条前向通路增益； 为流图的特征式为流图的特征式 kjijijiiiLLLLLL,1k是不接触第是不接触第k条前向通路的特征式余因子条前向通路的特征式余因子 为所

6、有不同回路增益之和为所有不同回路增益之和.iiL为每两个互不接触回路增益之和为每两个互不接触回路增益之和 jijiLL,例例6.1:利用梅逊公式计算图中的系统函数利用梅逊公式计算图中的系统函数 有两条前向通路：有两条前向通路： 01aT 112zaT一个回路，其回路增益为一个回路，其回路增益为 11zb111zb1112则系统函数则系统函数 111101)(zbzaazH信号流图的转置定理：信号流图的转置定理： 对于单个输入、单个输出的系统，通过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和输出互换，得出的流图具有与原始流图相同的系统函数。信号流图转置的作用：信号流图转置的作用： 转变运算结构；转

7、变运算结构； 验证计算流图的系统函数的正确与否。验证计算流图的系统函数的正确与否。 运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。对于无限长单位冲激响应（重要的性能。对于无限长单位冲激响应（I I R）数）数字滤波器与字滤波器与FIR数字滤波器，它们在结构上各有自数字滤波器，它们在结构上各有自己不同的特点，因此我们在下面将对它们分别加以己不同的特点，因此我们在下面将对它们分别

8、加以讨论。讨论。 NiiNiiinybinxany10)()()(6.1.2 IIR滤波器的结构滤波器的结构 IIR数字滤波器的结构特点：存在反馈数字滤波器的结构特点：存在反馈环路，递归型结构。环路，递归型结构。 同一系统函数，有各种不同的结构形同一系统函数，有各种不同的结构形式。其主要结构有：式。其主要结构有： (1) 直接型直接型 直接由直接由 IIR DF 的差分方程所得的网络的差分方程所得的网络结构。结构。 NiiiNiiizbzazXzYzH101 IIR数字滤波器的网络结构数字滤波器的网络结构)()()(21zHzHzH zXzWzazHNiii01 zWzYzbzHiNii121

9、1 Niiinxanw0 Niiinybnwny1 zXzazWNiii0 iNiizbzYzW11可以看到可以看到H1(z)实现了系统的零点，实现了系统的零点，H2(z)实现了实现了系统的极点，系统的极点，H(z)由这两部分级联构成。由这两部分级联构成。上述结构缺点：上述结构缺点：需要需要2 2N N个延迟器（个延迟器（z z-1-1），太多。），太多。系数系数a ai i、b bi i对滤波器性能的控制不直接，对极、零对滤波器性能的控制不直接，对极、零点的控制难，一个点的控制难，一个a ai i、b bi i的改变会影响系统的零点或的改变会影响系统的零点或极点分布。极点分布。对字长变化敏感

10、（对对字长变化敏感（对a ai i、b bi i的准确度要求严格）。的准确度要求严格）。易不稳定，阶数高时，上述影响更大。易不稳定，阶数高时，上述影响更大。（2）直接）直接型型 上面直接型结构中的两部分可分别看作是两个上面直接型结构中的两部分可分别看作是两个独立的网络独立的网络(H1(z)和和H2(z),两部分串接构成总的系两部分串接构成总的系统函数：统函数：由系统函数的不变性（系统是线性的），得由系统函数的不变性（系统是线性的），得 )()()(21zHzHzH)()()(12zHzHzH两条延时链中对应的延时单元内容完全相同两条延时链中对应的延时单元内容完全相同,可合并，得可合并，得 直接

11、直接II型优缺点：型优缺点： 优点：延迟器减少一半，为优点：延迟器减少一半，为N个，可节省寄存个，可节省寄存器或存储单元。器或存储单元。 缺点：同直接型。缺点：同直接型。 通常在实际中很少采用上述两种结构实现高通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统（一、二阶）来实现。系统（一、二阶）来实现。（3）级联型（串联）级联型（串联） 一个一个 N 阶系统函数可用它的零、极点表示，即把阶系统函数可用它的零、极点表示，即把它的分子、分母都表达为因子形式它的分子、分母都表达为因子形式)1 ()1 (1)(111110zd

12、zcAzbzazHiNiiNiNiiiNiii由于系数由于系数 、 都是实数，极、零点为实根或共轭复都是实数，极、零点为实根或共轭复根，所以有根，所以有)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 ()(1*11111*11112121zqzqzpzhzhzgAzHiiNiiNiiiMiiMiiaib 且且 将共轭因子合并为实系数二阶因子，单实根因子将共轭因子合并为实系数二阶因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，则看作二阶因子的一个特例，则NMMNNN21212222112211111)(zbzbzazaAzHiiiiMi)(1zHAiMi aij、bij 为实系数。为实系数。 用若干二阶网络级

13、联构成滤波器，二阶子网络称用若干二阶网络级联构成滤波器，二阶子网络称为二阶节，可用正准型结构实现。为二阶节，可用正准型结构实现。 )(1zH)(zHM 11113 . 015 . 012 . 014 . 01zzzzzH11113 . 012 . 015 . 014 . 01zzzz1z0.4-0.51z0.20.3 nx ny 11113 . 014 . 015 . 012 . 01zzzzzH1z0.2-0.51z0.40.3 nx ny1z0.61z0.08-0.20.15 nx ny级联型结构的优缺点：级联型结构的优缺点： 优点：优点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就简化实现，

14、用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统；可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整，调整极、零点可单独控制、调整，调整 、 可可单独调整第单独调整第 对零点，调整对零点，调整 、 可单独调整第可单独调整第 对极点；对极点； 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差；组合以减小运算误差； 可流水线操作。可流水线操作。 缺点：缺点： 二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。小则使信噪比减小。ia1ia2iib1ib2i（4）并联型）并联型 将系统函数展开成部分分式之和，可用并将系统函

15、数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器：联方式构成滤波器：)1(1)(11011zdAAzbzazHiiNiiiNiiiNi将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的部分分式，的部分分式，上式表明，可用上式表明，可用L个一阶网络、个一阶网络、M个二阶网络个二阶网络以及一个常数以及一个常数 并联组成滤波器并联组成滤波器 H(z)，结构如，结构如下图：下图：221111011101)1()(zbzbzaazpAAzHiiiiMiiiLi0A 11113 . 015 . 012 . 014 . 01zzzzzH113 . 014583. 15 . 010

16、75. 05333. 0zz nx ny-0.53331z0.075-0.51z1.45830.3特点：特点：系统实现简单，只需一个二阶节，系统通过系统实现简单，只需一个二阶节，系统通过改变输入系数即可完成；改变输入系数即可完成；极点位置可单独调整；极点位置可单独调整；运算速度快（可并行进行）；运算速度快（可并行进行）；各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。对字长要求低。缺点：缺点： 不能直接调整零点，因多个二阶节的零点不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时

17、，级联型最合适。输零点时，级联型最合适。6.1.3 FIR滤波器的结构滤波器的结构FIR DF 特点：特点： 主要是非递归结构，无反馈，但在频率采样结构主要是非递归结构，无反馈，但在频率采样结构等某些结构中也包含有反馈的递归部分。等某些结构中也包含有反馈的递归部分。 它的系统函数和差分方程一般有如下形式：它的系统函数和差分方程一般有如下形式：101010)()()()()()()(NiNiNnnixinhinxihnyznhzH基本的结构形式有下几种：基本的结构形式有下几种： （1）直接型（卷积型、横截型）直接型（卷积型、横截型） 卷积型：差分方程是信号的卷积形式；卷积型：差分方程是信号的卷积

18、形式； 横截型：差分方程是一条输入横截型：差分方程是一条输入x(n)延时链的横向延时链的横向结构。结构。直接由差分方程可画出对应的网络结构直接由差分方程可画出对应的网络结构：直接型的转置直接型的转置：（2）级联型（串联型）级联型（串联型） 当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：函数分解为二阶实系数因子的形式： 于是可用二阶节级联构成，每一个二阶节控制一于是可用二阶节级联构成，每一个二阶节控制一对零点。对零点。 缺点：缺点： 所需要的系数所需要的系数a比直接型的比直接型的h(n)多；多； 乘法运算多于直接型。乘法运算多于直接型

19、。)()()(22110110zazaaznhzHiiiMiNnn 211108. 06 . 012 . 014 . 01zzzzzH1z nx ny0.61z0.08 nx1z0.4 ny1z0.2直接型：直接型：级联型：级联型：（3）线性相位型）线性相位型 FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器，此时波器，此时 满足偶对称或奇对称条件。满足偶对称或奇对称条件。 偶对称时，偶对称时，)(nh)(nh )()()1(120nNnNnzznhzH211210)1(21)()(NNnnNnzNhzznhzHN为偶数为偶数:N为奇数为奇数: 31,

20、40, 5hhhhN 41410zhzhhzH1z nx1z1z1z 0h 1h 2h ny 23142110zhzzhzh 32,41,50, 6hhhhhhN 5415410zhzhzhhzH1z nx1z1z1z 0h 1h 2h ny1z 324152110zzhzzhzh优点：优点：线相相位型结构的乘法次数减为线相相位型结构的乘法次数减为 （N偶数）偶数） （N奇数）奇数） (横截型结构乘法次数横截型结构乘法次数:N次次)2N21N（4）频率采样型）频率采样型 第二章讨论了有限长序列可以进行频域采样。 现 是长为 的序列，因此也可对系统函数H(z)在单位圆上作 等分采样，这个采样值也

21、就是 的离散付里叶变换值H(k)。 根据上一章的讨论，用频率采样表达z函数的内插公式为：)(nhNN)(nh)()()(nhDFTzHkHkNWz10101)()(11)(1)1 ()(NkkcNkkNNzHzHNzWkHNzzHH(z)由两部分级联而成，第一部分（ 部分） 这是一个由 节延时器组成的梳状滤波器，它在单位圆上有 个等分的零点：其频响为FIRNCzzH1)(NN1, 0,012NiezzijiNNjNjCeeH 1)()2sin(2)(NeHjC梳状滤波器频响梳状滤波器频响 第二部分（IIR部分）是一组并联的一阶网络： 此一阶网络在单位圆上有一个极点： 该网络在 处的频响为 ，是

22、一个谐振频率为 的谐振器。这些并联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使这个频率点的响应等于 。 两部分级联后，就得到频率采样型的总结构， 11)()(zWkHzHkNkkjkNKNeWz2kN2kN2)(kH 这一结构的最大特点是它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的响应，因此，控制滤波器的响应很直接。两个主要的缺点：两个主要的缺点： 所有的系数 和 都是复数，计算复杂。 所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量化的影响，有些极点实际上不能与梳状滤波器的零点相抵消，使系统的稳定性变差。 kN2kNW)(kH 为了克服这两个缺点，作两点修正：1）将所有零点和极点移到半径为 的圆

23、上， 略小于 1，同时频率采样点也移到该圆上，以解决系统的稳定性。这时rr1011)(1)1 ()(NkkNNNzrWkHNzrzH2）共轭根合并，将一对复数一阶子网络合并）共轭根合并，将一对复数一阶子网络合并成一个实系数的二阶子网络。这些共轭根在圆成一个实系数的二阶子网络。这些共轭根在圆周上是对称点即周上是对称点即同样，同样，h(m)因是实数，其因是实数，其 DFT 也是圆周共轭也是圆周共轭对称的，对称的，*)()(kkkNNWWW)()(*kHkNH因此可将第k及第N-k个谐振器合并为一个二阶网络其中 1)(11)(1)()(zrwkNHzrwkHzHkNNkNk1*1)(1)(1)(zr

24、wkHzrwkHkNkN2221110)cos(21zrkrzzNkkkNkkwkHrkH)(Re2)(Re210 这个二端网络是一个有限Q值的谐振器，谐振频率为 。 kNwk2101)0()(rzHzH121)()(2rzHzHNN11022)()()(1)1 ()(NNkkNNzHzHzHNzrzHrz除了以上共轭极点外，还有实数极点，分两种情况： 当N为偶数时，有二个实数极点 ，对应H(0)和H(N/2)，有二个一阶网络： 所以有当 为奇数时，只有一个实数极点 ，对应H(0)，有一个一阶网络： 所以有 Nrz101)0()(rzHzH2110)()(1)1 ()(NkkNNzHzHNzr

25、zH改进后的频率采样型结构如下图频率采样型特点：频率采样型特点：1.选频性好，适于窄带滤波，大部分H(k)为0，只有较少的二阶子网络；2.不同的FIR滤波器，若长度相同，可通过改变系数用同一个网络实现；3. 复用性好。缺点：缺点：结构复杂，采用的存贮器多。说明： 频率采样型结构，适合于任何 FIR 系统函数； 频率采样法设计得到的系统函数，可以用频率采样型结构实现，也可以用横截型、级联型或 FFT 实现。6.2 量化与量化误差量化与量化误差对输入模拟信号的量化误差（受对输入模拟信号的量化误差（受A/D的精度或位数的精度或位数的影响）的影响）对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器的对系统中各

26、系数的量化误差（受计算机中存贮器的字长影响）字长影响） 运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计算机的精度影响）算机的精度影响） 有限字长的二进制数表示数字系统的误差源：有限字长的二进制数表示数字系统的误差源：6.2.1 二进制数的表示二进制数的表示 1 定点表示定点表示 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，称为定点制；称为定点制； 定点制总是把数限制在定点制总是把数限制在1 1之间；之间； 最高位为符号位，最高位为符号位，0 0为正，为正，1 1为负，小数点紧跟在为负，小数点紧跟在符号位后；符号位

27、后； 数的本身只有小数部分，称为数的本身只有小数部分，称为“尾数尾数”；b210定点数作加减法时结果可能会超出定点数作加减法时结果可能会超出1 1，称为，称为 “溢出溢出”；乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。 为保证字长不变，乘法后，一般要对增加为保证字长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一种定点数的表示是总把数看成整数。种定点数的表示是总把数看成整数。缺点：动态范围小，有溢出。缺点：动态范围小，有溢出。定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）：定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）：设有

28、一个设有一个(b+1)位码定点数：位码定点数： 012b，则，则 原码表示为原码表示为 例：例：1.111-0.875 , 0.0100.25biiix12) 1(0 反码表示：反码表示：(正数同原码，负数则将原码中的正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反尾数按位求反)例：例： 正数表示：正数表示：0.101 其反码为：其反码为：1.010biiibx102)21 (625. 0 x补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数求反加求反加1）biiix10275. 0 x正数表示：正数表示：0.110 取反：取反：1.001 补码：补码：1.010补码

29、加法运算规律：补码加法运算规律： 正负数可直接相加，符号位同样参加正负数可直接相加，符号位同样参加运算，如符号位发生进位，进位的运算，如符号位发生进位，进位的 1 丢丢掉。掉。2 浮点表示浮点表示 尾数尾数 指数指数 阶数阶数,阶码阶码浮点制运算浮点制运算: 相加相加 对阶对阶 相加相加 归一化归一化,并作尾数处理并作尾数处理 相乘相乘 : 尾数相乘尾数相乘, 阶码相加阶码相加, 再作截尾或舍入。再作截尾或舍入。1212MMxc优点优点: 动态范围大动态范围大,一般不溢出一般不溢出.缺点缺点: 相乘、相加，都要对尾数处理作量化处理。相乘、相加，都要对尾数处理作量化处理。 一般，浮点数都用较长的

30、字长，精度较高，所一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所以我们讨论误差影响主要针对定点制。以我们讨论误差影响主要针对定点制。6.2.2 定点制的量化误差定点制的量化误差定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，例如原来是例如原来是b位字长，运算后增长到位字长，运算后增长到b1位，需位，需对尾数作量化处理使对尾数作量化处理使b1位字长降低到位字长降低到b位。位。 量化处理方式：量化处理方式： 截尾：保留截尾：保留b位，抛弃余下的尾数；位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取舍入：按最接近的值取b位码。位码。 两种处理方式产生的误差不同，另外，两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差也不同。码制不同，误差也不同。 量化阶：量化阶：bq 2误差：误差： xxE1、截尾处理：、截尾处理： 1）正数（三种码形式相同）正数（三种码形式相同）一个一个b1位的正数位的正数 为