第四章动量和角动量

1、第四章第四章 动量和角动量动量和角动量4.14.1单个质点的单个质点的 动量定理动量定理一、动量一、动量tPFdd tFd表示力在时间上的累积，叫表示力在时间上的累积，叫d dt时间内合外力时间内合外力F的的冲量冲量。2 2、动量定理、动量定理（1 1）微分形式）微分形式PtFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式它表明它表明一定时间内，质点所受合外力的冲量等于该时间内质一定时间内，质点所受合外力的冲量等于该时间内质 点动量的增量。点动量的增量。我们把我们把 称作冲量。称作冲量。 tFd（2 2）积分形式）积分形式对上式作积分，即对上式作积分，即 2121ddppttptF令令 21dtttF

2、I则有则有12PPI 动量定理的积分动量定理的积分式式1. 冲量冲量4 4、冲力冲力(1)冲力冲力 碰撞过程中物体间的相互作用时间极短，在这一过程中，相碰撞过程中物体间的相互作用时间极短，在这一过程中，相互作用力很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为互作用力很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力冲力。(2)(2)平均冲力平均冲力冲力对碰撞时间的平均值冲力对碰撞时间的平均值tPPtttFFtt 121221dtFFxxttxxPPtFI1221d1221dyyttyyPPtFI1221dzzttzzPPtFI3 3、动量、动量 定理定理 分量分量 形式形式即即: :质点所受外力的冲量质点

3、所受外力的冲量在某一方向上的分量，在某一方向上的分量，等于质点的动量在该方等于质点的动量在该方向上分量的增量。向上分量的增量。 例题例题11 一质量为一质量为0.2kg0.2kg的皮球，向地板落下，以的皮球，向地板落下，以8m/s8m/s的速的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为1010- -3 3s ,s ,求求(1)(1)地板对球的平均作用力；地板对球的平均作用力；(2)(2)比较冲力的冲量比较冲力的冲量和重力的冲量。和重力的冲量。解解(1)(1)取地板为参考系，取地板为参考系，y y轴向上为正，由轴向上为正，由12PPI得得:

4、 :smk232d1121221gmvmvmvPPtFtt.)(N32001023d321.ttFFtt (2)(2)在计算在计算21dtttF时时F应为合外力，除冲力外还有重力，在应为合外力，除冲力外还有重力，在(1)(1)计计算中忽略了重力。若考虑重力，则应有算中忽略了重力。若考虑重力，则应有mgFFFF冲冲重重冲冲kgm/s23ddd3213100100.tmgtFtFtt冲冲重力的冲量：重力的冲量：kgm/s102102043 .tmg 冲冲Fmg例题例题2已知：已知：60s,05. 0,m/s,5kg;20. 0 tvvvm求：求：FvmvmvmtF 建立图示坐标系，将上式沿建立图示

5、坐标系，将上式沿x轴和轴和y轴分解：轴分解：xxxmvmvtF yyymvmvtF 由图知：由图知： sin,sinvvvvxx cos,cosvvvvyyxOy vv解：以球为研究对象，设墙对球的解：以球为研究对象，设墙对球的平均作用力为平均作用力为 ，由动量定理得：，由动量定理得：F因而：因而： sinsinmvmvtFx0)cos(cos mvmvtFy cosmv2故：故：0 xFtmvFy cos2)(.Ntmv20050520 由牛顿第三定律，球对墙的作用力和由牛顿第三定律，球对墙的作用力和Fy大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。另解另解（几何法）几何法）v vvvmtf 由图

6、知：由图知：|vv |vmtf tvmf / |x vv 例例3 3（2-82-8）一根线密度为）一根线密度为 的均匀柔软链条，上端被人用手提的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面现将手突然松开，链条下落，设每节链住，下端恰好碰到桌面现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面时对桌面的瞬时作用力。的瞬时作用力。 解解 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s s段对桌段对桌面的压力面的压力 ，另一部分是正在下落的，另一部分是正在下落的 段对

7、桌面的冲力段对桌面的冲力 ，桌面对桌面对 段的作用力为段的作用力为 。显然。显然: :1Nd x2Nd x2N 1Nsg t时刻，下落桌面部分长时刻，下落桌面部分长s。设再经过设再经过dt ，有，有dx 落在桌面上。取落在桌面上。取下落的下落的 dx段链条为研究对象，它在段链条为研究对象，它在 dt时间之内速度由时间之内速度由 变为零，根据动量定理变为零，根据动量定理: :2vgs 2dd1Ntp d0d2pv x dd3xv t 联立以上三式得联立以上三式得: :22Nsg 222NNsg 故链条对桌面的作用力为故链条对桌面的作用力为: :123NNNsg 4.2 4.2 质点系的动量定理质

8、点系的动量定理一、内力与外力一、内力与外力 对一个质点系。系统内各质点之间的相互作用力称为对一个质点系。系统内各质点之间的相互作用力称为内内力力，系统外物体对系统的作用力称为，系统外物体对系统的作用力称为外力外力。13F12F3F2F1F3m2m1m21F31F23F32Ff12 , f21 ,f13 , f31 , f23 , f32. 内力F1 , F2，F3 外力 质点系所有内力之和为零。质点系所有内力之和为零。二、质点系的动力学方程二、质点系的动力学方程N个质点的质点系个质点的质点系m1、m2、.mN，第，第i个质点的位矢为个质点的位矢为ir受力为受力为if动量为动量为trmPiiid

9、d，则动力学方程为，则动力学方程为tPfiidd即即tPfffiiiidd外外内内对对N个质点的动力学方程求和，得个质点的动力学方程求和，得: :NiiNiiNiitPff111dd外外内内因为因为01Niif内内令令: :外外外外FfNii1PtPttPFNiiNiidddddd11)(外外NiiPP1tPFdd外外质点系的动力学方程质点系的动力学方程外力的矢量和外力的矢量和系统的总动量系统的总动量上式表明上式表明质点系所受外力的矢量合等于系统总动量的变化率。质点系所受外力的矢量合等于系统总动量的变化率。内力可改变一个质点的动量，对系统动量的改变无贡献。内力可改变一个质点的动量，对系统动量的

10、改变无贡献。三、质点系的动量定理三、质点系的动量定理tPFdd 1 1、动量定理、动量定理由动力学方程：由动力学方程：PtFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式它表明它表明一定时间内，系统所受合外力的冲量等于该时间内系一定时间内，系统所受合外力的冲量等于该时间内系 统动量的增量。统动量的增量。对上式作积分，即对上式作积分，即 2121ddppttptF令令 21dtttFI则有则有12PPI 动量定理的积分动量定理的积分式式四、四、 质点系的质点系的动量守恒定律动量守恒定律对质点系，由对质点系，由tPFdd 知，当知，当0 F时时0dd tPConstant PConstant11 iNii

11、NiivmP 动量守恒定动量守恒定律律应用动量守恒定律时应注意应用动量守恒定律时应注意1。系统的选择是任意的，内、外力也是相对的。系统的选择是任意的，内、外力也是相对的(合理选择系统合理选择系统)2。,0iF有以下几种情况：有以下几种情况：a. 不受外力不受外力b. 外力矢量和为零外力矢量和为零c. 内力内力外力外力3。若。若, 0iF质点系动量守恒，系统内质点间可以交换动量。质点系动量守恒，系统内质点间可以交换动量。4。矢量性：。矢量性：但有：如, 0iF5。适用范围：惯性系，范围广些（微观现象）。适用范围：惯性系，范围广些（微观现象）6。各速度应是相对同一惯性参考系。各速度应是相对同一惯性

12、参考系0 ixF则：则：常常量量 ixpCpFCpFiziziyiy 00例题例题3 质量为质量为M的木块在光滑的固定斜面上由的木块在光滑的固定斜面上由A点静止下滑，点静止下滑，经路程经路程 l 后到后到B点时，木块被一水平射来的子弹点时，木块被一水平射来的子弹m,以以v的速度击的速度击中，并射入木块中，求射中后二者的共同速度。中，并射入木块中，求射中后二者的共同速度。解：分为两个阶段：解：分为两个阶段：第一阶段：从第一阶段：从A运动到运动到B，匀加速运动，匀加速运动 singlvB2)sin,( gaasvvt2202第二阶段：碰撞阶段第二阶段：碰撞阶段取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜

13、面方向，内力取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，内力外力，可用动量守恒定律求近似解外力，可用动量守恒定律求近似解0ixiixivmvmVmMMvmvB)(cos ABlgMNgmvxmMglMmvV sincos2例题例题4 4 如图如图3-33-3所示，一辆装煤车以所示，一辆装煤车以3ms3ms-1-1的速率从煤斗下面通的速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的煤为过，每秒钟落入车厢的煤为500Kgs500Kgs-1-1如果使车厢的速率保持如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（车厢与钢轨间的摩擦力忽不变，应用多大的牵引力拉车厢？（车厢与钢轨间的摩擦力忽略不计）略不计）解：

14、以解：以m表示在表示在t时刻煤车和已经落进煤时刻煤车和已经落进煤车的煤的总质量，此后车的煤的总质量，此后dt时间内又有质时间内又有质量为量为dm的煤落入车厢取的煤落入车厢取m和和dm为研为研究的系统（质点系），则这一系统在时究的系统（质点系），则这一系统在时刻刻t的水平总动量为的水平总动量为: :mvmmv 0d在时刻在时刻ttd 的水平总动量为的水平总动量为:vmmmvmv)d(d 在在dt 时间内水平总动量的增量为时间内水平总动量的增量为:mvmvvmmpd)d(d 由动量定由动量定理理 ：mvptFddd vtmFdd -1-1sm 3skg 500dd vtm和和将将 代入得：代入得：

15、N 101.5m/s 3kg/s 5003 F例题例题5 5 水平光滑铁轨上有一车，长度为水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为，质量为m2，车的一，车的一端有一人（包括旱冰鞋）质量为端有一人（包括旱冰鞋）质量为m1，人和车静止不动当人从，人和车静止不动当人从车的一端走到另一端时，人、车相对地面各移动了多少距离？车的一端走到另一端时，人、车相对地面各移动了多少距离？ 解：以人、车为系统，在水平方向不受外力作用，所以，系统解：以人、车为系统，在水平方向不受外力作用，所以，系统水平方向的动量守恒建立如图所示的坐标系，水平方向的动量守恒建立如图所示的坐标系，v1、- -v2分别表分别表示人和车相对于

16、地的速度，则：示人和车相对于地的速度，则：12122211 0vmmvvmvm 或或人相对车的速度：人相对车的速度：122121vmmmvvu 设人在时间设人在时间t内从车的一端到另一端，则有内从车的一端到另一端，则有:tvmmmtvmmmtultttddd 0 1221 0 1221 0 人相对地面的位移人相对地面的位移x1lmmmx2121 12112mxxllmm 车相对地面的位移车相对地面的位移x24.3 4.3 质心运动定理质心运动定理一、质心的位置一、质心的位置(Center of mass)(Center of mass)质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很复质点系

17、运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心( (简称简称质心质心) )的概念。的概念。N N个质点组成的系统个质点组成的系统Nimmmm.21、，位矢分别为，位矢分别为 Nirrrr.21、，质点系的动量为，质点系的动量为trmtrmtrmvmvmvmPNNNNdd.dddd.22112211 ).(dd2211NNrmrmrmt yox1r2rirNr1m2mimNm取质量为取质量为NmmmM .21并与质点系具有相同动量的质点并与质点系具有相同动量的质点C C其位矢为其位矢为cr,其速度为其

18、速度为trvccdd ，则有则有trmmmvMPcNcdd).(21 ).(dddd).(221121NNcNrmrmrmttrmmm NNNcmmmrmrmrmr .212211即即MrmmrmriiNiiiNiic 11C C称为质点系的质心，称为质点系的质心，cr称为质心的位矢称为质心的位矢. .trMPcdd 引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。 MzmzMymyMxmxiiciiciic对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 Mmrrc d MmzzMmyyMmxxcccddd说明说明(1)(1)几何形状对称的

19、均质物体，质心就是几何对称中心。几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。(2)(2)有些物体的质心可能不在所求的物体上。有些物体的质心可能不在所求的物体上。(3)(3)重心重心( (Center of gravityCenter of gravity) )是重力合力的作用点，尺寸是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心与重心重合。不大的物体，质心与重心重合。质心的坐标：质心的坐标：（4）质心相对于质点的位置与坐标的选取无关。）质心相对于质点的位置与坐标的选取无关。二、质心运动定理二、质心运动定理由质心位矢由质心位矢Mrmriic MvmMtrmtrviiiicc ddddciivMvmP

20、ccaMtvMtp ddddca为质心运动的加速度。由于为质心运动的加速度。由于 tpFdd外caMF 外外质心运动定理：质心运动定理：合外力对质心的运动产生影响。合外力对质心的运动产生影响。(1)(1)当当0合外F时，时，0catConsvctan内力不改变质心的运动状态。内力不改变质心的运动状态。(2)(2)对质点系对质点系(3)(3)质心运动定理不能描述各质点的运动情况。质心运动定理不能描述各质点的运动情况。CPFCPFCPFzzyyxx 0,0,0系统的外力，等于系统的总质量与质心加速度的乘积。系统的外力，等于系统的总质量与质心加速度的乘积。 例题例题6 6 一长为一长为L L，密度分

21、布不均匀的细杆，其质量线密度，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度 。 为常量，为常量，x x从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。Lx/0 0 解解取质元取质元0 xmdxLxxmddd0 LxLxmML00021dd LMxLxMmXLc32dxd002 例题例题77三名质量分别为三名质量分别为m m的运动员的运动员A A、B B、C C，手拉手脱离飞机，手拉手脱离飞机进行花样跳伞表演。由于作了某种动作，进行花样跳伞表演。由于作了某种动作，C C运动员的质心的加运动员的质心的加速度为速度为4/5g4/5g，铅直向下；，铅直向下；A A运动员的加速度为运动员的加速度为5/6g5/6g，与

22、铅直方，与铅直方向成向成3030o o角。加速度均以地面为参考系。运动员所在处的重力角。加速度均以地面为参考系。运动员所在处的重力加速度为加速度为g g，忽略空气阻力。求，忽略空气阻力。求B B运动员的质心加速度。运动员的质心加速度。BACo30AaCaBayx解：取三个运动员（质点）构成的解：取三个运动员（质点）构成的系统为研究对象，建立如图所示坐系统为研究对象，建立如图所示坐标系。设标系。设A A、B B、C C的位置矢量分别的位置矢量分别为为 、 、 。质点系所受的合外。质点系所受的合外力为力为3mg3mg。设质心的位矢为。设质心的位矢为 ，则，则ArBrCrr mrmrmrmtmtrm

23、gmCBA3dd3dd332222 gaaaCBA3 gaaaaaaCyByAyCxBxAx30 gaaaaaCyByoABxoA330cos030sin解得：解得：gaBx53 gaBy331151 gaaaByBxB31. 122 0227arctan oByBxaa 三、质点与质点系运动规律的比较三、质点与质点系运动规律的比较质点质点 质点系质点系动量动量vmP cvmP 运动方程运动方程amF camF tpFdd tpFdd 合外力与动量变化率合外力与动量变化率作业：作业： 4-4 4-5 4-6 4-10 4-4 4-5 4-6 4-10 一、质点的角动量一、质点的角动量（动量矩）

24、（动量矩）L的方向：用右手螺旋法则确定。的方向：用右手螺旋法则确定。3 3、相对性：相对性：(1)(1)参考系不同，矢径不同，动量也不同。参考系不同，矢径不同，动量也不同。(2)(2)原点原点O O选取的不同，则位置矢量不同。选取的不同，则位置矢量不同。vmrPrL1、定义定义2、矢量性：、矢量性： SI 中中 单位：单位：kgm2/sOxyz sinFrM 动量矩动量矩 sinp cospPr sinr大小大小 sinmrv sinrPL Lm为了描述转动问题，需要定义一个物理量。为了描述转动问题，需要定义一个物理量。力矩：力矩： 4.4 4.4 单个质点的角动量定理单个质点的角动量定理4、

25、L的直角分量式的直角分量式zyxPPPzyxkjiPrLyzxzPyPLzxyxPzPLxyzyPxPL5、几个特例：、几个特例：（1）作圆周运动的质点对圆心作圆周运动的质点对圆心O的角动量的角动量mvrO大小：大小： mrmrrrmvrpL2 方向：由方向：由LrP 对匀速圆周运动：对匀速圆周运动：CL L sinrPm rO（2）作直线运动质点的角动量作直线运动质点的角动量 sinsinmrvrPL讨论：讨论：a. 若物体作匀速直线运动，则若物体作匀速直线运动，则常矢量常矢量 CLb. 若若O取在取在AB线上，则：线上，则：0 LprL LprL ABP m r 参考点选在运动轨迹上没有意

26、义。参考点选在运动轨迹上没有意义。)(ddddPrttL tprptrdddd Frpv FrtL dd引入：引入：ptFFtpdd,dd 对动量，有：对动量，有：对角动量？对角动量？0 pv6 6、质点的角动量定理、质点的角动量定理tLMdd 注意：注意：M, L是对同一惯性系中同一参考点而言的。是对同一惯性系中同一参考点而言的。（2）积分关系积分关系 2121ddLLtttML 21dtttML （1）微分形式微分形式LtMdd 与动量定理类比与动量定理类比角动量原理角动量原理一定时间内，作用于质点上的角冲量等于该时间内一定时间内，作用于质点上的角冲量等于该时间内质点角动量的增量。质点角动

27、量的增量。冲量冲量角冲量角冲量7 7、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律若质点所受的外力矩若质点所受的外力矩恒恒矢矢量量。，则则LtLM0dd, 0 若对某一参考点，质点所受的外力矩的矢量和为零，则此质若对某一参考点，质点所受的外力矩的矢量和为零，则此质点对该参考点的角动量将保持不变，称为点对该参考点的角动量将保持不变，称为角动量守恒定律角动量守恒定律。特例：特例：1。作匀速直线运动的质点角动量守恒。作匀速直线运动的质点角动量守恒。2。仅受有心力作用的质点对力心的角动量守恒。仅受有心力作用的质点对力心的角动量守恒。注意：注意：0 M并不等于：并不等于：0 FMrF / /,00rFrM

28、或或，亦亦有有由于：由于： 2mrmvrL r(瞬时角动量瞬时角动量L=ml2)例题例题8 质量为质量为m、线长为、线长为l的单摆，可绕点的单摆，可绕点o在竖在竖 直平面内摆直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下，动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下，求摆线与水平线成求摆线与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点角时，摆球所受到的力矩及摆球对点o的角动量；摆球到达点的角动量；摆球到达点B时，角速度的大小。时，角速度的大小。解：受力：重力；张力。重力对解：受力：重力；张力。重力对O点的力矩为点的力矩为M=mglcos，力矩的方向，力矩的方向垂直于纸面向里，大小随垂直于纸面向里，

29、大小随变化。变化。由角动量原理由角动量原理 cosddmglMtL 作变换作变换tLtLdddddd sin322glmL lgmlL/222时时，当当 gmTABlmO dcosd32glmLL LglmLL0032dcosd |rrS 21|limlimtrrtrrtStttdd2121ddS00 解：如图，行星在太阳引力作用解：如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，下沿椭圆轨道运动，t时间内行时间内行星径矢扫过的面积星径矢扫过的面积常常量量常常量量， tSLdd 例题例题44利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律行星相行星相对太阳的径矢在单位时间内扫

30、过的面积对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积( (面积速度面积速度) )是常量。是常量。面积速度面积速度: :(引力过轴引力过轴, M=0 ） rr |21rrS mLvmrmvr22121 开普勒像开普勒像动画返回返回速度与动速度与动量同向量同向4.5 4.5 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律nLLLL21nnprprpr2211 niiipr1 niiiiitprptrtL1)dddd(dd niiiifFr1)( niiiniiifrFr11)()( niiiFrtL1)(dd一一. .质点系的角动量质点系的角动量各个质点对同一参考点的角动量之和：各个质点对同一参考点的角动量之

31、和： niiiFrM1)(令令二、质点系的角动量原理二、质点系的角动量原理内力内力总是总是成对成对出现出现01niiifr)(tLMdd 质点系的角动量定理质点系的角动量定理: :质点系所受的合外力矩，等于质点系所受的合外力矩，等于系统的角动量对时间的变化率。系统的角动量对时间的变化率。tLMtLMtLMMtLzzyyxxdd,dd,dddd 分分量量式式为为是是一一个个矢矢量量方方程程，直直角角 21dtttML 2121ddttLLtML讨论：讨论：定理的另一种表述：定理的另一种表述：一定时间内，质点系外力矩的角冲量等于该时间内角动量的增量。一定时间内，质点系外力矩的角冲量等于该时间内角动

32、量的增量。LtMdd 微分形式微分形式积分形式积分形式 只取决于系统所受外力矩之合，而与内力矩无关，内力矩只取决于系统所受外力矩之合，而与内力矩无关，内力矩 只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量tLdd常常矢矢量量。时时，即即 LM0三三. .质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律注意区分外力矩的矢量合与外力的矢量合，它们是两个不同注意区分外力矩的矢量合与外力的矢量合，它们是两个不同的物理量。的物理量。说明：说明：1. 合外力为零合外力矩不一定为零。合外力为零合外力矩不一定为零。如：力偶如：力偶2

33、. 角动量守恒，系统内的质点间可交换角动量。角动量守恒，系统内的质点间可交换角动量。3. 适用于惯性系，也可适用于微观现象。适用于惯性系，也可适用于微观现象。质点系所受合外力矩为零时质点系所受合外力矩为零时, ,则质点系的角动量守恒。则质点系的角动量守恒。tLMdd 外外)(dd2121LLtMM )(dd)()(222111222111vmrvmrtTgmrTgmr )sinsin(ddsin)(sin)(2222111122221111 vmrvmrtTgmrTgmr RvmvmtmmRg)(dd)(221121 tvmtvmgmmdddd)(112221 例例99如图如图, ,两人质量相

34、等两人质量相等, ,位于同一高度位于同一高度, ,各由绳子一端开始各由绳子一端开始爬绳爬绳, ,绳子与轮的质量不计绳子与轮的质量不计, ,轴无摩擦轴无摩擦. .他们哪个先达顶他们哪个先达顶? ?解解:(:(法一法一)O)O为参考点为参考点, , 两人为一系统两人为一系统（不算盘）（不算盘），垂直纸面向垂直纸面向外为正参考方向。外为正参考方向。NOR2vR1r2rgm2gm11v 21TT 012 RmvRmv12vv RvmvmttLgRmmM)(dddd)(112221 外外21mm 如如果果1122vmvm则则12vv 所所以以法二法二: :( (角动量守恒角动量守恒定律定律) )轮、人为

35、一系统，所受的合外力矩为零轮、人为一系统，所受的合外力矩为零, ,则则角动量守恒角动量守恒：讨论讨论: :1.1.若其中一个人不若其中一个人不爬爬, ,外力矩情况依然外力矩情况依然, ,内力矩对内力矩对系统的角系统的角动量无贡献动量无贡献, ,因而角动量守恒因而角动量守恒. .即轻者先即轻者先到到达达。2。 若若m1m2,则则即两人同时到达顶点即两人同时到达顶点. .2120100vvvv则则且且,2121,ddddaatvtv 即即21,mm 已已知知tvmtvmgmmdddd)(112221 12vv 4.6 4.6 碰碰 撞撞一、碰撞及其分类一、碰撞及其分类1 1。碰撞：物体之间相互作用

36、时间极短的现象。碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象3 3。碰撞分类。碰撞分类完全弹性碰撞完全弹性碰撞碰撞后形变消失，无机械能损失；碰撞后形变消失，无机械能损失；非弹性碰撞非弹性碰撞碰撞后，形变不能完全恢复。碰撞后，形变不能完全恢复。部分机械能变部分机械能变成热能；成热能；完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速度运动，机械能损失最大。度运动，机械能损失最大。Collision of particles scattering不一定不一定接触接触2。碰撞的特点：。碰撞的特点：t 极短，内力极短，内力外力外力a.无外力：动量守恒无外力：动

37、量守恒 （质点对质点）（质点对质点）b.无外力矩：角动量守恒（讨论质点对定轴转动的刚体作用时）无外力矩：角动量守恒（讨论质点对定轴转动的刚体作用时）二、守恒定律与碰撞二、守恒定律与碰撞质点与质点的碰撞质点与质点的碰撞动量守恒；动量守恒；质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力N(系统外力系统外力)的作用，动量不守恒，但的作用，动量不守恒，但角动量守恒角动量守恒( (N过转轴）过转轴）；质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动量守质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动量守恒；机械能是否守恒，与碰撞种类有关，只有弹性碰撞时，机恒；机械能是否守恒，与

38、碰撞种类有关，只有弹性碰撞时，机械能守恒。械能守恒。三、恢复系数三、恢复系数考察二球的对心碰撞考察二球的对心碰撞碰撞中的作用力及碰撞前后的速度都碰撞中的作用力及碰撞前后的速度都在二者中心的连线上。在二者中心的连线上。动量守恒动量守恒 2211202101vmvmvmvm m1m2vfN牛顿认为牛顿认为碰撞后的碰撞后的分离速度分离速度( )( )与碰撞前两球的接近与碰撞前两球的接近速度速度( )( )成正比，比值由两球的材料决定，即成正比，比值由两球的材料决定，即12vv 2010vv 201012vvvve e e 称为恢复系数称为恢复系数上两式联立，解得上两式联立，解得2120102101)

39、()1(mmvvmevv 2120101202)()1(mmvvmevv 碰撞中的动能损失碰撞中的动能损失e=1e=1 e=0 e=0 )(2)(212201021mmvvmmEk 212201021221mmvvmmeEk 0 kE(完全弹性碰撞完全弹性碰撞)(完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞)一般非弹性碰撞一般非弹性碰撞 0e1 ,e0e1 ,e值可用实验的方法测定。值可用实验的方法测定。21202102112)(mmvmvmmv e=1 e=1 时为完全弹性碰撞，时为完全弹性碰撞， 21101201222mmvmvmmv e=0 e=0 时为完全非弹性碰撞，时为完全非弹性碰撞，1 10220

40、1212m vm vvvmm 例题例题10两半径为两半径为r的匀质小球靠在一起，处于静止状态。另的匀质小球靠在一起，处于静止状态。另有一半径为有一半径为 2r 的材料相同的大球以速度的材料相同的大球以速度v0与之作弹性碰撞，与之作弹性碰撞，如图所示。如图所示。v0 的方向正好位于两小球球心中垂线上，求碰撞的方向正好位于两小球球心中垂线上，求碰撞后大球的速度。后大球的速度。解：小球的质量为解：小球的质量为m，则大球的质量为，则大球的质量为M=8m，取，取v0的方向的方向为为x轴的正向，由对称性可知，碰撞后大球的速度仍沿轴的正向，由对称性可知，碰撞后大球的速度仍沿x轴轴方向，设为方向，设为vM，碰

41、撞后两小球的速度大小相等，设为，碰撞后两小球的速度大小相等，设为v1=v2=v；运动方向与；运动方向与x轴夹角相同，设为轴夹角相同，设为1=2=Mmm0vr2rx MmmMv1 2 1v2v 02 244 33Mvvv 222044 4Mvvv联立（联立（3）和（）和（4）解得）解得:00177. 082vvvM 由机械能守恒得：由机械能守恒得： 222011122222MMvMvmv由几何关系知：由几何关系知：32238cos2 rr 将将M=8m及及cos 代入上两式，得代入上两式，得:由由x方向动量守恒得：方向动量守恒得： 02cos1MMvMvmv r2rx Mmm0vMmmMv1 2

42、 1v2v 例例1111一质量为一质量为1kg 1kg 的钢球的钢球A A，系于长为，系于长为l 的轻绳一端，绳的另一的轻绳一端，绳的另一 端固定。今将绳拉到水平位置后由静止释放，球在最低点端固定。今将绳拉到水平位置后由静止释放，球在最低点 与在粗糙平面上的另一质量为与在粗糙平面上的另一质量为5kg 5kg 的钢块的钢块B B作作完全弹性碰完全弹性碰 撞撞后能升回到后能升回到h = 0.35 m= 0.35 m 处，而处，而B B 沿水平面滑动最后停止。沿水平面滑动最后停止。 求求: :（1 1）绳长（）绳长（2 2）B B克服阻力所做的功。（克服阻力所做的功。（ 取取g = 10m/s =

43、10m/s2 2 ）AhBA解：解：1 1）取小球为研究对象）取小球为研究对象ghvglvA220 则则 取取A，B 为一系统。碰撞过程中动量和机械能守恒。为一系统。碰撞过程中动量和机械能守恒。AABBAvmvmvm 02220212121AABBAvmvmvm m0.8 l2 2）取）取B为研究对象，由动能定理：为研究对象，由动能定理：2210BBkfvmEA 例例1212质量为质量为mA 的小球的小球A沿光滑的弧形轨道滑下，与放在轨道端沿光滑的弧形轨道滑下，与放在轨道端 点点P处的静止小球处的静止小球B 发生发生弹性碰撞弹性碰撞，小球，小球B B的质量为的质量为mB ，A、 B两小球碰撞后

44、，同时落在水平地面上。如果两小球碰撞后，同时落在水平地面上。如果A、B两球的两球的 落地点距落地点距P点的正下方点的正下方O点的距离之比点的距离之比LA / LB = 2/5，求两小，求两小 球的质量球的质量mA / mB 之比。之比。AOPBALBL解：解：1 1）分析两球正碰后的运动为）分析两球正碰后的运动为 平抛运动。则平抛运动。则BBBAAAtvLtvL BABAvvtt52 2 2）分析两球弹性碰撞的过程。取）分析两球弹性碰撞的过程。取A A、B B为一个系统。则为一个系统。则 碰撞过程中，系统的动量和机械能都守恒。碰撞过程中，系统的动量和机械能都守恒。BBAAAvmvmvm 022

45、20212121BBAAAvmvmvm BAvv52 51 BAmm三、力学中三个守恒定律的应用三、力学中三个守恒定律的应用三个状态量三个状态量 动量，角动量，能量动量，角动量，能量三个守恒定律三个守恒定律0F恒恒矢矢量量P0M恒矢量恒矢量L0内非保内非保外外AA恒恒量量E注意注意分解过程；选系统，分析外界作用量；分解过程；选系统，分析外界作用量；用三个基本原理或三个守恒定律解题，要特别注意守恒条件。用三个基本原理或三个守恒定律解题，要特别注意守恒条件。PtFdd LtMdd EAA内内非非保保外外三个基本定理三个基本定理 动量定理，动量定理， 角动量定理，角动量定理， 功能原理功能原理三个外界作用量三个外界作用量 冲量，角冲量，功冲量，角冲量，功动量守恒：动量守恒：角动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：解解 取小球与地球为系统，机械能守恒取小球与地球为系统，机械能守恒RMmGmvRMmGmv3212102020 由对地心角动量守恒，得由对地心角动量守恒，得 sin3