《电磁场理论》课件2

1、第二章 恒定电场电流密度是一矢量，任意点上的电流密度矢量J的方向与该点上正电荷运动的方向一致。由已知电流密度矢量J，可以计算某点上通过面积元矢量dS的电流dI 2-1导电媒质中的电流2.1.1 电流密度和元电流 电荷的运动形成电流，单位时间通过某面积的电荷称为电流强度或简称电流。在垂直与电荷运动方向的平面里，单位面积所通过的电流称为电流密度，其大小为 ndSdIJ 其中代表矢量J与矢量dS的交角。通过面积S的电流是上式的积分 I=SdS电流密度决定于电荷密度和运动速度。不同的电荷分布运动时，所形成的电流密度具有不同的表达式： 体电流密度矢量 J=v (A/m2) 面电流密度矢量 K=v (A/

2、m) 线电流 I=v (A)如有元电荷dq以速度v运动，则dqv这一量的单位为库仑米/秒=安培米，我们称之为元电流段。相应地，可以得到作不同分布的元电荷运动后形成的元电流段。在以后的讨论中，我们常常要用到元电流段的概念。元电流段有下列不同形式：cosJdSSdJdIvdq JdV KdS Idl 导电媒质内部存在一定数量的自由电荷，当内部有电场时，会引起自由电荷的宏观运动。导电媒质中电荷的运动称为传导电传导电流流。传导电流密度与电场强度成正比，其关系为 J=E比例系数称为媒质的电导率，它的单位为1/欧姆米或西门子/米。 的倒数称为电阻率，用r表示，单位是欧姆米（m）因此上式又可写成 E=rJ以

3、上二式都是欧姆定律的微分形式2.1.2 欧姆定律的微分形式 导电物质中的电流场是消耗能量的，我们也可求得一个表示消耗功率的场函数。在电流场中取一段长度为dl，截面为dS的圆状体积元，可认为其上电流密度是均匀的。假若静电场将这体元中的电荷dq在dt时间内搬运出这体积元，也就是使dq移过dl的路程，所作的功即转化为热能消耗。设体积元两端的电压差为dU，则静电场所作的功 dA =dUdq =dUdI dt =Edl JdSdt=EJ dV dt2.1.3 焦耳定律的微分形式dVJEdtdAdP于是功率故功率体密度为JEdVdPp此即焦耳定律的微分形式。不论场是否均匀，都能适用。电路理论中的焦耳定律由

4、它积分而得。2-2电源电动势与局外场强22JEEJp 要在导体内维持一定的电流，必须依靠外源。也就是必须与电源相连接。在含源区，除电荷的电场E外，还有电源引起的电场Ee，叫做局外电场强度。它表示电源内推动电荷运动的非静电力（如机械力、化学力等）的大小。它可使电源两极的电荷维持恒定，从而维持电源外导体内的电流恒定。与电荷引起的静电场不同，局外电场是非守恒的，它沿闭合回路的积分不等于零，而等于回路中的电动势。2.2.1 电源电动势与局外场强 =lEedl它的物理意义是，把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，局外电场Ee所作的功。当导电媒质中有局外电场Ee时，通过含源导电媒质的电流为J=(E+E

5、e)2.2.2 恒定电场 研究导电媒质中的恒定电场，可使我们进一步理解直流电路中的有关规律，可以解决绝缘电阻、接地电阻的计算等实际问题，并为用实验方法研究场的问题提供了依据。 我们要研究的恒定电场有两种情况：一种是导电媒质中的恒定电场；另一种是通有恒定电流的导电媒质周围介质中的恒定电场。后一种是我们要着重讨论的问题。 当导电媒质中存在恒定电流时，一些自由电子流走了，一些新的自由电子又来补充，但媒质中任何一点的电荷密度仍然保持不变。因此，通有电流的导电媒质周围介质中的电场，实际上是导电媒质中恒定分布的电荷所产生的恒定电场，它和介质中的静电场具有相似的特点。2-3 恒定电场的基本方程 分界面上的衔

6、接条件tqSdJS对恒定电流0SSdJ则有：2.3.1 电流连续性方程 根据电荷守恒定律，流出任一闭合面的电流，应等于闭合面内电荷的减少率。即0tq上式称为电流连续性方程。把它用到电路的节点，则有：0ISdJS即得到直流电流的基尔霍夫第一定律。2.3.2 电场强度的环路积分恒定电场具有与静电场类似的性质，故在不包含电源的区域内，同样有0lldE0UldEl把它用到电路中任一闭合回路，则得：即得到直流电路的基尔霍夫第二定律。 若积分路线经过了电源，考虑到局外场后lelelleldEEldEldEldEE0可见2.3.3 恒定电场的基本方程上面给出了导电媒质中恒定电场（电源外）的基本方程：00lS

7、ldESdJ两场量间的关系EJ由高斯散度定理0VSdVJSdJ从而有表明在恒定电场中，电流线是无源的，即无始端又无终端。高斯散度定理SVSdFdVF下面我们来推导这些基本方程的微分形式。由斯托克斯定理0E从而有表明在电源以外导电媒质中的恒定电场是无旋场斯托克斯定理SdFldFSl0SlSdEldE0 J将恒定电场积分形式的基本方程应用到电导率为1、2的边界处的小区域内，并趋近于边界取极限，得到恒定电场的边界条件为：nnttJJEE21212121tgtg及1J2J1212图2-12.3.4 分界面上的衔接条件2221112211coscossinsinEEEE两种不同导电媒质分界面上的衔接条件

8、当第一种媒质1为良导体，第二种媒质2为不良导体时，因12，故有：01212tgtg电流线近似与分界面垂直，分界面近似地可以看作等位面。电流从良导体电极漏电到介质中去就属于这种情况。式中1、2分别为E1、E2与法线方向的夹角（如图2-1）良导体与不良导体分界面上的衔接条件导体与理想介质（2=0）分界面上的衔接条件 由于理想介质中不存在恒定电流，J2=0，必然有J1n=J2n=0。且E1t=E2t，电场强度的切向分量连续。导体一侧只存在切向分量的电流和电场强度111111JJEEtt对于理想介质一侧，虽然E1n=J1n/1=0，但E2n0。因为J2=2E2，2=0，J2=0，所以E2不一定等于0。

9、根据静电场理论，分界面上应满足D2nD1n=D1n=1E1n=0，所以，=D2n=2E2n。说明在导体与理想介质分界面上有面电荷分布。02nE2tE1tE212E图2-2两种有损介质分界面上的衔接条件 在两种有损介质的分界面上应有：1E1n=2E2n （J1n=J2n） 同时，基于激化效应，应有：2E2n1E1n= （D2nD1n=）由此得出，分界面上的电荷面密度nnEE1121221212)()(在恒定电场情况下，近似地认为金属导体的介电常数 0。因此，两种不同金属导体分界面上的电荷面密度为nnnnEEEE1020210211211 根据 的特点，可引入电位函数。在均匀介质中，电位应满足拉普

10、拉斯方程0E02因此，对于恒定电场中的某些问题，可先解拉氏方程，解出电位函数，然后通过电位梯度求得场强E。nn2211212.3.5 恒定电场的边值问题 在两种不同导电媒质的分界面上，由电位函数表示的衔接条件为 例例2-1 长直接地金属槽，底面、侧面电位均为零，顶盖电位为 。求槽内导电媒质中的电位分布。axUsin0axUsin00000 xyba图2-3 解解：如图建立坐标系，则槽内待求恒定电场的边值问题为），（byaxyx0002222在x=0，0yb处，在y=0，0 xa处，在y=b，0 xa处，在x=a，0yb处，。；0sin000axU 由边界条件和，在解的表达式中，需选择在x=0和

11、x=a处都为0的函数，故应取x的周期函数，y的双曲函数。因此，(x,y)的通解为10000)sinhcosh)(sincos()(),(nnnnnnnnnykDykCxkBxkADyCBxAyx把条件代入得1000)sinhcosh()(0nnnnnnykDykCADyCB为了保证y在0b范围内取任何值时电位都等于零，应取），（， 21000nABn1000)sinhcosh)(sin()(),(nnnnnnnykDykCxkBDyCxAyx在x=0，0yb处，0再由边界条件得1000)sinhcosh)(sin()(0nnnnnnnykDykCxkBDyCaA根据同样的理由，应取0sin00

12、akAn，），（ 21nankn因而1)sinhcosh)(sin(),(nannannannyDyCxByx由条件得1sin0nannnxCB为了保证x在0a范围内取任何值时电位都等于零，应取），（ 210 nCn在x=a，0yb处，0在y=0，0 xa处，01sinhsin),(nanannnyxDByx因此，电位的通解简化为把边界条件代入得10sinsinhsinnanannnaxUbxDB比较等号两边 各项的系数，得axxsin），（；10sinh011nDBabUDBnn最后，得到电位的解为在y=b，0 xa处，axUsin0ayaxabUyxsinhsinsinh),(02-4导电

13、媒质中的恒定电场与静电场的比拟通过前面的讨论，我们发现，导电媒质中的恒定电场（电源外）与电介质中的静电场（体电荷密度=0的区域）在许多方面有相似之处。为了清楚起见，列表比较如下：表2-1恒定电场与静电场的比较EDDE00比较内容电介质中的静电场（=0）导电媒质中的恒定电场（电源外）EJJE00基本方程导出方程SDlSdDql dEE02SdJIldEESl02边界条件物理量的对应关系nnnnttDDEE2121212121nnnnttJJEE2121212121电场强度矢量E电位移矢量D电位电量q介电常数电场强度矢量E电流密度矢量J电位电流强度I电导率由表2-1可以看出，两种场的基本方程是相似

14、的，只要把J与D，与相互置换，一个场的基本方程就变为另一个场的基本方程了。特别是两种场的电位函数有相同的定义，而且都满足拉普拉斯方程。如果矢量J和D分别在导电媒质和电介质中满足相同的边界条件（即两种场内导体电极的形状、尺寸、相对位置和相应导体电极上的电位都相同），则根据唯一性定理，这两个场的电位函数必有相同的解。也就是说，两种场的等位面分布相同，恒定电场的电流线与静电场的电位移线分布相同。这样的对比和分析，给我们一个重要的启示，即在相同的边界条件下，如果通过实验或计算已经得到了一种场的解，只要按表2-1将对应的物理量置换一下，就能得到另一种场的解。恒定电场与静电场的区别 静电场静电场 由静止电

15、荷产生 无电流、不消耗功率 导体表面是等位面 导体内E内=0 无磁场 恒定电（流）场恒定电（流）场 由局外电源产生 有电流、消耗功率 导体表面不是等位面 E内0 周围有磁场在许多实际问题中，金属电极之间，如电容器的两极板间、同轴电缆的芯线与外壳之间等，常常需要填充绝缘材料，虽然其电导率都远远小于金属材料的电导率，但毕竟不等于零。因此，在电极板间加上直流电压时，总会有微小的电流通过绝缘材料。这种电流叫做漏电流漏电流。电流I与两极的电压U之比值叫做漏电导漏电导，即：IUGR1漏电导的倒数叫做漏电组漏电组，又叫绝缘电阻绝缘电阻，即UIG 西门子2-5电导和部分电导2.5.1 漏电导及绝缘电阻绝缘电阻

16、可用下面的三种方法计算： 1.直接用公式lSdlR式中dl是沿电流方向的长度元，S是垂直于电流方向的面积，它可能是坐标变量的函数2.解拉普拉斯方程求出电位后，再由SdIEEScc求得电流强度I后，再由下式求出绝缘电阻： IIR12当电极具有某种对称性时，也可以先假定一电流I，然后按IURldEUESIIlcc求得电阻R。当然也可以先假设一电压U，然后按IURSdIEEUScc求电阻。.根据静电比拟原理，当恒定电场与静电场两者边界条件相同时，由电导和电容之间的关系：所以，绝缘电阻为：GCCGR1例例2-2 计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻R0。同轴电缆的内导体（芯线）半径是R1，外导体（外壳）的半

17、径是R2，内外导体之间充满一种介电常数为，电导率为的绝缘材料。如图2-4所示R1R2d图-4例-2的示意图 解法一解法一在内外导体之间的绝缘材料中，取半径为，厚度为d的单位长度的同轴柱壳。则此圆柱壳的绝缘电阻元是dddR211201200ln212121RRddRRRR然后积分得： 解法二解法二假设同轴电缆的内外导体间由于绝缘材料的电导率不等于零而产生漏电流I，考虑到轴对称性，漏电流沿径向，而且在绝缘材料中的同一个同轴柱面上的电流密度J相等，所以eIJ12eIJE2内外导体间的电压电场强度12ln222121RRIdIdEURRRR所以单位长度的绝缘电阻是120ln21RRIUR 解法三解法三

18、在物理学中，已求得同轴电缆（圆柱形电容器）单位长度的电容是：120ln2RRC由静电比拟法，即可得到单位长度的漏电流120ln2RRG和绝缘电阻1200ln211RRGRGC以上三种方法得到了完全相同的结果。以上三种方法得到了完全相同的结果。2.5.2 部分电导 在导电媒质中，对于由三个及三个以上的良导体电极组成的多电极系统，任意两个之间的电流不仅要受到它们自身之间电压的影响，还要受其它电极间电压的影响。这时系统中电极间的电压与电流的关系不能再仅用一个电导来表示，引入部分电导的概念。 多电极系统的部分电导与静电系统的部分电容非常相似，根据静电比拟原理，两者之间可以相互比拟。在电工技术中常常利用

19、大地作为一根“导线”，需寻求地中的电阻，这称为接地电阻。它包括接地导线电阻、接地体的电阻、接地体和大地之间的接触电阻以及土壤电阻。其中以土壤电阻为主。因此，我们所说的接地电阻，主要是指土壤的电阻。接地电阻与接地导体的形状、尺寸、埋入深度及土壤的电导率有关。计算接地电阻常常需寻求地中电流的分布。它与静电场问题的性质是一样的，也可借助静电比拟法来求解。例如，已知半径为R0的孤立球体的电容为 C=4R0因此，对深埋的球形接地体，忽略地面的影响时，其接地电导为 G=4R0 而接地电阻为：2.5.3 接地电阻当电极埋的离地面较近时,必须考虑地面对地中电流分布的影响。如图2-5所示。在这种情况下,可以用镜像法来处理。设想在地面上空被大地充满，在其对称位置上有一镜像电流（它的大小和方向与原电流相同）。R0I图2-5041RR将地面上空用镜像电极代替以后，就可以计算电极及其镜像电极构成的系统的电导。但因实际上电流只在地面下方通过，故电导只有上述的一半。BAblR0图2-6对于图2-6所示半球形接地体，将地面上空用镜像代替后，变成无限大区域中的圆球形电极的场的问题。由前述可知，G=4R0 实际半球形电极的电导则为 G=2R0 从而得:在大电力系