数码相机定位优秀论文(2008A全国大学生数学建模竞赛)

1、数码相机定位问题目录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc302835321 HYPERLINK l _Toc302835322 摘要 PAGEREF _Toc302835322 h 2 HYPERLINK l _Toc302835323 关键词 PAGEREF _Toc302835323 h 2 HYPERLINK l _Toc302835324 一、问题重述 PAGEREF _Toc302835324 h 2 HYPERLINK l _Toc302835325 二、问题分析 PAGEREF _Toc302835325 h 3 HYPERLINK l _Toc30

2、2835326 背景知识 PAGEREF _Toc302835326 h 3 HYPERLINK l _Toc302835327 问题的分析 PAGEREF _Toc302835327 h 3 HYPERLINK l _Toc302835328 三、根本假设 PAGEREF _Toc302835328 h 4 HYPERLINK l _Toc302835329 四、变量解释说明 PAGEREF _Toc302835329 h 5 HYPERLINK l _Toc302835330 五、模型的建立及求解 PAGEREF _Toc302835330 h 5 HYPERLINK l _Toc3028

3、35331 世界坐标系、相机坐标系、物理图像坐标系、图像像素坐标系的转化 PAGEREF _Toc302835331 h 5 HYPERLINK l _Toc302835332 确定靶标上圆心的像坐标 PAGEREF _Toc302835332 h 8 HYPERLINK l _Toc302835333 5.3 对模型精度和稳定性的检验 PAGEREF _Toc302835333 h 9 HYPERLINK l _Toc302835334 两部固定相机相对位置确实定 PAGEREF _Toc302835334 h 9 HYPERLINK l _Toc302835335 六、模型的评价及改良 P

4、AGEREF _Toc302835335 h 9 HYPERLINK l _Toc302835336 6.1 优点 PAGEREF _Toc302835336 h 9 HYPERLINK l _Toc302835337 缺点 PAGEREF _Toc302835337 h 9 HYPERLINK l _Toc302835338 模型的改良 PAGEREF _Toc302835338 h 9 HYPERLINK l _Toc302835339 七、参考文献 PAGEREF _Toc302835339 h 9摘要本文给出了求解靶标上圆心在相机像平面上坐标的模型，并进行了精度和稳定性检验，最后给出了

5、确定两部固定相机相对位置的方法。首先，为了方便定位，本文建立了空间世界坐标系、相机坐标系、物理图像坐标系、图像像素坐标系。运用旋转矩阵及平移矩阵完成了空间世界坐标系和相机坐标系的转化，高斯成像公式和映射原理得到了相机坐标系和物理图像坐标系的转化关系，再将物理坐标系连续的坐标变换成图像像素坐标系上离散的坐标。最后综合确定了由世界坐标系到图像像素坐标系的转化关系。由于相机透镜的平面与实物图像平面并非平行，会使实物圆点形变成近似的椭圆下称类椭圆，圆心并不对应图像上类椭圆的几何中心。因为射影变换具有保线性，两圆内外公切线的相对关系是不发生改变的，由几何知识，像平面上任意两个类椭圆的内公切线和外公切线交

6、点的连线通过圆心。基于这一理论，用Matlab读图工具读取像图，得到像图中每个像素点亮度值的矩阵，做出两圆间的内外公切线，将内公切线和外公切线的两个交点相连，再另外选取一个椭圆重复以上工作，那么两条连线的交点即为类椭圆上对应于实物圆点的圆心，即得到了像平面上对应于实物圆点圆心的坐标，分别为：,。将实物圆点圆心坐标和对应的像平面上的圆心坐标代入世界坐标系到图像像素坐标系的转化关系中，求解出了旋转和平移矩阵，由此得到了确定靶标上圆的圆心的像坐标的求解模型。然后，选取4个像平面上的公切线交点坐标代入模型，求解得到对应的实物坐标，与运用Matlab读图工具读到的坐标进行比拟，得到模型的相对误差为：3.

7、275%，精度较高。又将像坐标变量对各个参数求导，得到个参数稳定性的图像，其中，、对结果的影响较大，t2对结果的影响逐渐减小，t1、对结果影响不大由已建立的求解圆心像坐标的模型，得到了两部摆放在不同位置的相机的旋转和平移矩阵，进而求出了两部相机的相对位置。最后，对模型的优缺点进行了评价，并对模型中不完善的局部提出了改良方向。关键词 数码相机双目定位 矩阵坐标变换 公切线法 精度检验 稳定性分析一、问题重述目前，常用双目定位法对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标，再算得两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的

8、坐标系中的坐标，进而确定物体外表某些特征点的位置。于是，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的做法是在物平面上画假设干个圆称为靶标，它们的像一般会变形，如图1所示，所以从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。图 1 靶标上圆的像设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点对应为A、C、D、E为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。图 2 靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。图3 靶标的像现在要做的工作是：1建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像

9、平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；2对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距即光学中心到像平面的距离是1577个像素单位(1毫米约为个像素单位)，相机分辨率为1024768；3设计一种方法检验模型，并讨论精度和稳定性，并建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题分析 背景知识1针孔成像系统：三位空间物体通过一个小孔针孔在胶片或者图像传感器的图像平面上形成一个倒立的像，像的大小随相机前后移动而改变。2世界坐标系：以靶标中心为原点O，以靶标平面为XW-YW平面，单位为毫米。3相机坐标系：以

10、相机光心为原点O,其XC轴和YC轴与物理图像坐标系的X轴，Y轴平行，ZC轴与图像平面垂直。光轴与图像平面的交点即为物理图像坐标系的原点。4物理图像坐标系：其原点为透镜光轴与成像平面的交点，X与Y 轴分别平行于摄像机坐标系的X 与Y轴，是平面直角坐标系，单位为毫米。5图像像素坐标系：固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其原点位于图像左上角, u，v 平行于图像物理坐标系的X 和Y轴。对于数字图像，每个像素点的坐标u，v分别表示该像素点在坐标系中的行数与列数。 问题的分析为方便定位，以靶标中心为原点建立空间世界坐标系，以数码相机的光心为原点建立相机坐标系，以相机透镜光轴与成像平面的交点为原

11、点建立物理图像坐标系，最后以图像左上角为原点建立图像像素坐标系。下面，分析四种坐标系的转化关系。由于相机可以摆放在环境中的任意位置，在环境中应该选择一个基准坐标来描述数码相机的位置，并用它描述环境中任何物体的位置，那么经过对世界坐标系的旋转和平移，就可以得到相应的相机坐标系。经查阅文献1可知，双目立体视觉传感器技术是建立在针孔成像系统根底上的，所以只要摄像机的镜头没有发生畸变，就可以在像平面上找到与之对应的理想像点，由小孔成像原理，在数码相机内凸透镜的另一侧形成的是倒立等比例缩小的像，运用高斯成像公式：和映射原理就可以得到由相机坐标系到物理图像坐标系的转化关系。最后将物理坐标系转化成图像像素坐

12、标系，就得到了由世界坐标系到像素图像坐标系的转化关系。对于题中给出的靶标及靶标的图像，由于相机透镜的平面与实物圆点所在平面具有一定的夹角，且镜头距离圆点上各点的距离不同，所以会将实物圆点射影成类似椭圆的图形以下称类椭圆，圆心并不对应图像上类椭圆的几何中心。而射影成像后，两圆内外公切线的相对关系是不发生改变的，所以由几何定理：两圆的两条外公切线的交点与两条内公切线的交点所确定的直线必通过两圆的圆心，那么对任意三个圆做内外公切线，将任意一个圆的内外功切线的两个交点相连，即可确定三个圆的圆心如图4图4 内外功切线定圆心示意图 由此，就可以确定图像上对应于实物圆点圆心的坐标。然后将图像上对应实物圆点圆

13、心的坐标代入由世界坐标系到像素图像坐标系的转化关系中，就能求解出旋转的角度和平移的距离，也就得到了将靶标上的任意点对应到相机像平面上的点的模型。选取物理图像上假设干个切线的交点，将其坐标代入模型，计算出世界坐标系下实物的坐标，再求出其与真实坐标的距离，作为衡量模型精度的标准。稳定性假设在不同位置摆放两台完全相同的数码相机对题中所给的靶标照相，分别得到两幅图像，实物圆点都发生了不同程度的形变。运用上述的找实物圆心像坐标的方法分别得到坐标，代入已建立的模型，分别求解出由实物所在的世界坐标系到两台相机所在的相机坐标系的旋转矩阵A1、A2和平移矩阵T1、T2，即可求得两台计算两台相机相对位置的表达式。

14、三、根本假设1两台相机的配置完全一致，拍摄环境对相机的拍摄效果不产生影响。2两台相机相对于地面的高度是等高的。3固定第一台相机的拍摄位置时，尽最大可能保证它的光轴线平行于路的中间分界线从而也就垂直于靶标面(被拍目标物的特征点所在平面)。4两部相机的型号、规格和内部参数完全相同。5假设相机镜头透镜很小，光学系统为针孔成像系统。6摄像机的镜头没有发生畸变，即不会有光学畸变误差。7当物距远大于像距时，像距近似等于焦距。8不考虑相机透镜对光的反射作用，成像原理为透镜成像原理，并且成像具有射影几何的性质。四、变量解释说明变量解释说明XW,YW,ZWXC,YC,ZCx,y世界坐标系下的坐标相机坐标系下的坐

15、标物理图像坐标系下的坐标u,v图像像素坐标系下的坐标dx，dy图像像素坐标系下，每个像素在x轴与y轴方向上的物理尺寸u0，v0图像像素坐标系的原点坐标f数码相机焦距A由世界坐标系到相机坐标系的旋转矩阵T由世界坐标系到相机坐标系的平移矩阵A,B,C,D,E实物圆点的圆心A,B,C,D,E在像平面上对应的圆心五、模型的建立及求解5.1 世界坐标系、相机坐标系、物理图像坐标系、图像像素坐标系的转化5.1.1 物理图像坐标系与图像像素坐标系的转化假设物理图像坐标系原点在坐标系中的坐标为x，y，每一个像素在x轴与y轴方向上的物理尺寸为，那么由物理图像坐标系转换到图像像素坐标系如图1需要做如下变换：图5

16、物理图像坐标系到图像像素坐标系的转化用齐次坐标与矩阵形式将上式表示，即： 通过矩阵变换的知识可以得到上式逆关系可表示为： 15.1.2 相机坐标系与物理图像坐标系的转化按透镜透视投影成像原理，由相机坐标系向图像坐标系的转换过程符合中心映射或透视投影，可用齐次坐标与矩阵表示为： 世界坐标系与相机坐标系的转化由于数码相机可安放在环境中任何位置，在环境中应该选择一个基准坐标来描述数码相机的位置，并用它描述环境中任何物体的位置，该坐标线之间的关系可以用旋转矩阵A与平移向量T来描述。假设空间某一点在世界坐标系下的坐标为：，在相机坐标系下的坐标对应为，于是，世界坐标系与相机坐标系下存在以下转换关系如图2：

17、 图6 由世界坐标系到相机坐标系的转化可将其表示为：其中，A为正交单位矩阵， 又为旋转矩阵, ,其中，A为正交单位矩阵， 又为旋转矩阵，式中，A1，A2，A3分别表示照相机坐标围绕空间世界坐标系XC,YC,ZC轴的旋转矩阵；与旋转矩阵对应的三个角度。所以便可以得到矩阵A为：其中， 世界坐标系与图像像素坐标系的转化综合以上三步转化，可以得到空间世界坐标系到图像像素坐标系的转换为:(2)其中M1与相机内部有关，称为内部参数，M2含有A和T六个由空间世界坐标系与相机坐标系相对位置所决定的六个参量。一旦建立给定的世界坐标系和物理图像坐标系，实物圆点和相应的图像坐标在均可标定，即为常数。又可以由1式确定

18、其在图像像素坐标系下相应的坐标，所以共有八个未知数。 确定靶标上圆心的像坐标先对像平面上的像点图3与实物图对应的圆心进行标记，分别为A,B,C,D,E，如 TOC o 1-3 h z u 图7：ABCDE图7 对实物圆心在像平面上对应点的标定图 图像导入Step1: 由于Matlab对图像处理的限制，所以要先将原题图片格式转换成黑白单色图bmp格式；Step2: 用Matlab中的imread图像处理工具读取图像，得到像图中每个像素亮度值的矩阵，对上述矩阵进行二值化处理，黑色的点对应亮度值处理为1，白色的点对应亮度值处理为0。由此得到图像像素的0-1矩阵。 对圆形的轮廓进行提取下面，引入计算机

19、图像处理技术中四邻域的概念：某个像素的上、下、左、右四个像素称为该像素的四邻域。如图8所示：FBGCADHEI图8 四邻域示意图那么A的四邻域为B、C、D、E四个像素。在寻找边界时，对任意一个值为1的像素，只要其四邻域中有一个值为0，那么认为这个像素为边界上的像素。另外，假设一个像素的周围值都为0，那么视此点为孤立点，予以剔除。因此，我们用如下方法提取5个圆轮廓的像素坐标。Step1:令k=1；Step2:令i=1,j=1；Step3:判断i,j像素值是否为1，假设不为1，进入Step5，否那么进入Step6；Step4:令i=i+1，j=j+1，跳至Step3。假设i=1024且j=768，

20、终止程序，Step5:将i,j记录至像素矩阵Bk，并判断i-1,j,(i+1,j),(i,j+1),(i,j-1),(i-1,j-1),(i-1,j+1),(i+1,j-1),(i+1,j+1)是否等于1，并令(i,j)为以上检验出等于1的数值，跳至下一步；Step6:判断(i,j)像素值是否为1，假设不为1，将(i,j)记录至Bk，进入下一步，否那么跳至Step5；Step7:令k=k+1，对整幅图像剔除孤立点，跳回Step2。通过以上步骤即可得到五个圆的轮廓的坐标源程序见附录得到类椭圆的轮廓图图9：图9 像平面类椭圆的轮廓图 求解两圆的公切线设第i个圆的轮廓上共有M个点，第j个圆的轮廓上共

21、有N个点，kmn表示第i个圆上的第m个点到第j个圆上第n个点的连线的斜率，用矩阵Kij来存储第i个圆上所有的点到第j个圆上所有的点的连线的斜率，Km(max)和Km(min)分别表示矩阵Kij第m行的最大值和最小值。Step1: m=1;( m表示第i个个圆上的第m个点)Step2: n=1, ，将存至斜率矩阵Kij，示意图见图10；(n表示第j个圆上的第n个点,为第i个圆上第m个点的横纵坐标，为第j个圆上第n个点的横纵坐标)ujm,vjmuim,vim 图10 step2的示意图Step3: n=n+1，跳回step2，假设n=N，跳至step4；Step4: 矩阵Kij中寻找Km(max)

22、, Km(min)和对应的，由此确定的可能的切线方程为：斜率最大的直线斜率最小的直线图11 step4的示意图Step5: p=1, q=1;Step6:在第i个圆上任取一点，在第j个圆上任取一点。分别将其横纵坐标代入Step4中的方程，其中，确定两个交点和，又令，将其存入坐标差矩阵Ri，Sj；图12 step6的示意图Step7：p=p+1,q=q+1，当p=M且q=N，跳至Step8，否那么跳回Step6；Step8：在矩阵Ri中寻找最大、最小元素，设为，在矩阵Sj中寻找最大、最小元素，设为。假设满足且，即两个坐标差矩阵内元素均同号，那么满足同侧性，就说明Step4中的切线方程为公切线方程

23、；Step9：m=m+1，假设m=M+1，程序结束，否那么跳至Step2。由以上算法确定出各条公切线的方程，联立公切线方程即可解得内外公切线的交点坐标，连接各交点，就得到了实物圆点圆心的像坐标，利用2式就可以依次确定各圆心坐标在物理图像坐标系下的坐标。将题中所给图像图3按照上述算法代入模型进行计算，算得各圆心在图像像素坐标系下的坐标为：,其对应点在世界坐标系下的坐标分别为：，,。另外，由几何定理：，再将这五对点的坐标代入2式，即可求得矩阵A和T：,从而得到空间世界坐标系到图像像素坐标系任意点的转换模型： 35.3 对模型精度和稳定性的检验5.3.1 对模型精度的检验选取像平面上A与C，A与D，

24、D与E，C与D的公切线的四个交点，分别设为点如图13，BEDCAO4O3O2O1图13 标定示意图用Matlab算出这四个点的在图像像素坐标系下的坐标，分别为：将代入3式，算出其在世界坐标系下的坐标：对相应的实物靶标读图，将计算值与真实值比照方下表(表1)：表1 确定靶标上圆心像坐标的模型误差表图像像素坐标世界坐标真实世界坐标绝对误差相对误差(285,142)(-54.12,53.88)(-56,56)(1.88,2.12)3.5%(241,537)(-56.90,-57.80)(-56,-56)(-0.90,-1.80)2.4%(683,178)(57.34,58.20)(56,56)(1.

25、34,2.20)3.2%(614,539)(55.20,-52.33)(56,-56)(0.80,3.67)4.0%取四点的平均相对误差作为模型的误差，模型误差为3.275%，精度较高，比拟理想。 对模型稳定性的检验对模型进行稳定性的检验即是检验当参数发生微小扰动时，对模型结果的影响程度。在本模型中，是检验当旋转矩阵和平移矩阵的元素发生微小的变动时，是否会对圆心的像坐标产生较大的改变，因此，先将像坐标用参数表示出来，再分别对各参数求导。将对u和v分别对旋转角度和平移距离t1,t2的偏导。因公式形式太过复杂，因此本文只给出由Matlab得到的扰动图像：图14 图15 的扰动图图16 t2的扰动图

26、图17 t1的扰动图图18 的扰动图观察扰动图像可知，、对结果的影响较大，t2对结果的影响逐渐减小，t1、对结果影响不大 两部固定相机相对位置确实定在空间中的任意位置摆放的两台完全相同的相机，从不同的角度对靶标进行拍摄如图：图19 两架相机对靶标拍照的示意图靶标上的圆发生不同程度的形变，假设由第一架相机拍摄的五个类椭圆的圆心坐标为：第二架相机拍摄的五个类椭圆的圆心坐标为：将其分别代入2式，得到了两个由五个方程的方程组： 4和 5另外，由于6，所以由456式可以求得旋转矩阵A1、A2和平移矩阵T1、T2。六、模型的评价及改良 优点1基于矩阵坐标变换确定世界坐标系下物体坐标与像坐标的关系，过程清晰

27、，准确易行。2基于计算机图形学中四邻域概念确定的像平面图像轮廓较为准确。3公切线法确定像平面圆心坐标具有鲁棒性，对相机的位置和角度不敏感，准确度高，稳定性好。 缺点1本文模型没有考虑相机拍摄时的畸变情况，结果存在一定的误差。2公切线法确定像平面圆心坐标的算法较复杂，程序运行时间较长，且只能在有三个或者三个以上的圆时才能使用。 模型的改良本文假设相机镜头没有发生畸变，而现实中，由于受到环境影响，必然会发生一定程度的畸变，因此模型的改良就考虑到发生畸变的情况。传统的数码相机是利用一个标准参照物与其图像的对应约束关系来确定数码相机的各个根本参数。为了提高本文模型中所涉及的计算精度，还需要确定非线性畸

28、变校正参数。考虑畸变的非线性模型的根本投影关系式为：其中x,y为小孔线性模型计算出来的相点坐标理想值，为实际相点的坐标，是非线性畸变，与相点在像中的位置有关。查阅相关文献可知，相机的畸变主要为径向畸变，以上两式说明x方向与y方向的畸变相对值与径向半径的平方成正比，即图像在边缘的畸变交大，相机的外部桉参数没有改变，但内部参数就引入了畸变参数，需要通过的实物点与该实物点对应的像点由最小二乘确定参数。七、参考文献1 李小平,双目视觉立体测量研究，武汉，20212 杨文茂，李全英，空间解析几何M，武汉：武汉大学出版社，3 蔡健荣，赵杰文，双目立体视觉系统摄像机标定J，江苏大学学报自然科学版，20064

29、 郑毅，刘上乾，利用直线特征的定标图像非线性畸变校正J，仪器仪表学报，2007,6附录程序一：读取图片a=imread(tupian.jpg);b=im2bw(a);dat=ones(length(b(:,1),length(b(1,:);for i=1:length(b(:,1) for j=1:length(b(1,:) if b(i,j)=1 dat(i,j)=0; end endenddat;clear a;clear i;clear j;程序二：提取椭圆轮廓坐标%求轮廓坐标%提取边界data;bound=zeros(length(dat(:,1),length(dat(1,:);for i=1:length(dat(:,1) for j=1:length(dat(1,:) if dat(i,j)=1 if dat(i-1,j)=1 & dat(i+1,j)=1 & dat(i,j-1)=1 & dat(i,j+1)=1 bound(i,j)=0; else bound(i,j)=1; end else bound(i,j)=0;