新课标2024高考数学大一轮复习第八章立体几何题组层级快练50空间点线面的位置关系文含解析

PAGEPAGE7题组层级快练(五十)1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．2．(2015·广东，文)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析可用反证法．假设l与l1，l2都不相交，因为l与l1都在平面α内，于是l∥l1，同理l∥l2，于是l1∥l2，与已知冲突，故l至少与l1，l2中的一条相交．3．若P是两条异面直线l，m外的随意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面冲突；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有多数条．4．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面答案A解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．5．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()答案D解析①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α.可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．6．(2024·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直答案C解析在题图①中，AD⊥BC，故在题图②中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.7．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A．1 B．4C．7 D．8答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四个面之一平行时，满意条件的平面有4个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满意条件的平面有3个，所以满意条件的平面共有7个．8．(2024·湖北孝感八校联考)已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不行能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不行能都垂直答案D解析对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C在平面α内，边AC，BC可以与平面α都成30°角，故B错误；C明显错误；对于D，假设直线a，b与平面α都垂直，则直线a，b平行，与已知冲突，则假设不成立，故D正确．故选D.9．(2024·广东茂名联考)一正方体的平面绽开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析将平面绽开图还原成正方体(如图所示)．对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；对于②，BD与GC明显成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．10．(2024·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A．(0，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,2)]C．[0，eq\f(π,3)] D．(0，eq\f(π,3)]答案D解析当P与D1重合，CP∥BA1，所成角为0°；当P与A点重合，CA∥A1C1，连BC1，△A1BC1为正三角形，所成角为60°，又由于异面直线所成角为(0°，90°]，所以选D.11．如图所示，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③答案C解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转随意不等于eq\f(kπ,2)(k∈Z)的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，解除A，B，D，选C.12．(2024·江西高安段考)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，AA1＝eq\r(2)，则异面直线A1B1与BD1所成角的大小为________．答案60°解析∵A1B1∥AB，∴∠ABD1为异面直线A1B1与BD1所成的角，连接AD1，则在Rt△ABD1中，AB＝1，易得AD1＝eq\r(3)，∴tan∠ABD1＝eq\f(AD1,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD1＝60°.13．(2024·江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ＝1时，S的面积为________．答案eq\f(\r(6),2)解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).14．有下列四个命题：①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条直线a，b，c相互平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点肯定能确定10个平面；④若a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的全部直线与a异面．其中正确命题的序号是________．答案①②解析在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上，即P，Q，R三点共线，所以①正确．在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．在④中，由题设知，a与α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线l与a共面，所以④错．15.如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E