毕业论文大数定律的对比与应用

1、山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：数学科学学院 专业：信息与计算科学 班级：2007级信计1班姓名潘炳燕学号200708020322指导教师付静论文（设计）题 目大数定律的对比与应用关键词大数定律、 随机变量 、概率论文（设计）字数6153内容摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质：平均结果的稳定性（概率是频率的稳定值），是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式，条件的强弱上进行对比，并分析了几种常见大数定律的关系，同时总结分析了大数定律的简单应用。成绩学院负责人（签名）年 月 日注：文科论文摘要不少于500字，理科不少于

2、300字。本页一式两份，一份装入学生档案，一份由学院保存本科毕业论文论文题目： 大数定律的对比与应用 学生姓名： 潘炳燕 学号： 200708020322 专业： 信息与计算科学 指导教师： 付静 学 院： 数学科学学院 2011 年 5 月20 日论文（设计）题 目大数定律的对比与应用选题时间2010-10-25完成时间2011-5-20论文（设计）字数6153关 键 词大数定律 随机序列 概率论文（设计）题目的来源、理论和实践意义： 人们的长期实践表明：随着试验重复次数 n的增加，频率会稳定在某个常数a附近：比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数

3、足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”论文（设计）的主要内容及创新点： 本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式及条件的强弱上进行对比，并给出简单应用：在分布型未知的情况下估计数学期;在数学分析中的应用,在实际应用 在误差领域的

4、应用. 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种附：论文（设计）本人签名： 年 月 日 目录中文摘要 1英文摘要 1一、引言 2二、大数定率的发展 2 (一) 大数定律产生的背景 2 （二）大数定律的发展 3 （三）大数定律的概述 3三、常用大数定律的对比 4 （一）几个常见大数定律 4 （二）大数定律的的对比 7 1. 几个大数定律在条件的对比 7 8 10四、大数定律的应用 10 （一）在分布型未知的情况下估计数学期望和方差 11（二）在数学分析中的应用 12(三) 在实际应用 13（四） 在误差领域的应用15（五） 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种16参考文献 19大数定律的对比

5、和应用潘炳燕摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质。平均结果的稳定性（概率是频率的稳定值）是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式及条件的强弱上进行对比，并给出一些简单应用。关键词：大数定律 随机序列 概率Contrast and application of law of large numbers PanBingyanAbstract: The law of large numbers strictly expresses the fundamental properties of random phenomena throu

6、gh the mathematical form. The stability of average results (the probability is a random value of the frequency) is the manifestation of the phenomenon of statistical regularity. This paper introduces several common law of large number, and contrasts them from their proof process, forms and the stren

7、gth of conditions, giving some simple applications.Key words: Law of large numbers statistical random sequence probability一引言人们的长期实践表明：随着试验重复次数 n的增加，频率会稳定在某个常数a附近：比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。在试验不变的条件下，重

8、复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。 （一）大数定律产生背景：我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，如果扔的次数很少，比如三、五次，这样统计一下出现“正面”的频率，会发现波动很大；但当我们上抛硬币的次数足够多后，比如100次，就会发现出现“正面”的频率大约在1/2上下徘徊。达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。所以我们都能接受扔硬币出现正面的概率是“1/2”的说法。但大家必须明白，“概率”是无法测量的，只有“频率”是可以被测量的。大数定律的产生告诉我们，用“频率”去推测“概率”是合理的。在大量重复出现的条件下，往往呈现几

9、乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”（二）大数定律的发展 十七、十八世纪之交，有不少的数学家从事过概率的研究。伯努利的巨著猜度术就是一项重大的成就，其中的“伯努利定理”就是“大数定理”的最早形式，概率论中的第一个极限定理即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。之后，棣莫佛和辛普生又作了巨大的推进。 十八世纪，法国自然哲学家布丰在概率算术试验中导入“投针问题”，后来，有许多人用同样的方法计算值其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼，他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了的值为3.1415929这与的

10、精确值相比，一直到小数点后七位才出现不同！ 十九世纪，概率论有了飞跃的进展，拉普拉斯的经典著作分析概率论总结了这一时代的概率论的研究，提出了概率的古典定义。高斯奠定了最小二乘法和误差论的基础。泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布”，切比雪夫和他的学生马尔可夫分别创建了“大数定律”和“马尔可夫链”。 （三）大数定律的概述大数定律又称大数法则、大数率，它是概率论与数理统计学的基本定律之一。通俗地说，这个定律就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是随机事件发生的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛

11、硬币的次数足够多，达到上万次甚至几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。所以，我们说抛硬币这一事件中，正面和反面出现的概率都是0.5，而掷骰子事件中每个面出现的概率都是1/6。大数定律讨论了n个随机变量的平均值的稳定性，是对随机现象进行概型化研究的重要基础。用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律三常用的几个大数定律的对比 定义：设有一个随机变量序列X，假使它具有形如，对任意的 0，P-0,有 P-p=1伯努利大数定律说明：随着n的增大，事件A发生的频率与其频率P的偏差-p 大于预先给定的精度的可能性愈来愈小，小到可以忽略不计。这就是频率稳定

12、于概念的含义，或者说频率依概率收敛于概率。伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的依据。譬如要估计某种产品的不合格率 p,则可从该产品中随机抽取n件，当n很大时，这n件产品中的不合格产品的比例可作为不合格品率p 的估计值。2. 切比雪夫大数定律：设X为一列两两不相关的随机变量序列，若每个X的方差存在，且有共同的上界，即Var(X) c，i=1，2，则X服从大数定律，即对任意的0 , 有 P-0，P-0，P-0，都有： P=16. 伯恩斯坦大数定律设X是方差一致有界的随机变量序列，且当k-l 时，一致地有Cov(X ，X) 0, 则X服从大数定律，即对任意的0，P-0，满足公式P-0，有P-p=1

13、 该定律是切贝雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。2.4 辛钦大数定律设X为一独立同分布的随机变量序列，若X的数学期望存在，则X服从大数定律辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E（X）的近似值的方法。设想对随机变量X独立分布重复观察n次，第K次观察值为X，则，应该是相互独立的，且它们的分布应该与X的分布相同几个大数定律的关系伯努利大数定律是泊松大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中，如果P=p,则泊松大数定律也会死就是伯努利大数定律。伯努利大数定律证明了事件在完全相同的

14、条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性，而泊松大数定律表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n的无限增大，在n次独立试验中，事件A的频率趋于稳定在各次试验中A出现的频率的算数平均值附近，泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中D-pq1, 因此也满足切比雪夫大数定律的条件。切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例。在切比雪夫大数定律的条件中D c（i=1，2，），由随机变量序列的两两不相关性可知： 故也满足马尔可夫大数定律的条件。 因此，博努力大数定律、泊松大数定律也是马尔可夫大数定律的特例。伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形。在伯努利大数定律

15、中，可以定义随机变量= 则独立同分布，都服从伯努利分布： P=p，P并且E（）=p,因此满足辛钦大数定律的条件。 但是，辛钦大数定律不是泊松大数定律和切比雪夫大数定律的推广，因为辛钦大数定律必须要求同分布。在分布型未知的情况下估计数学期望和方差 若及都是随机变量，则有 ，样本：E() -=D() 样本： - D() 例 1 按照辛钦大数定律，当n足够大时，可以把平均观察值 作为E（X）的近似值。这样做法的一个优点是我们可以不必去管X的分布究竟是怎样的，我们的目的只是寻求数学期望。 事实上，用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中四常用的方法。譬如，用观察到的某地区5000个人的平均寿命作

16、为该地区的人均寿命的近似值是合适的，这样做法的依据就是辛钦大数定律。（二）在数学分析中的应用f(x)1,求f(x)在区间（0，1）上的积分值: J=dx解 设（X，Y）服从正方形0 x1,0y1上的均匀分布，则可知X服从0，1的均匀分布，Y也服从0，1上的均匀分布，且X与Y独立。又记事件 A=Yf(X)则A的概率为 p=P(Yf(X)=dydx=dx=J即定积分的值J就是事件A的概率p，由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中A出现的频率作为p的估计值。这种求定积分的方法也称为随机投点法，即将（X，Y）看成是向正方形0 x1,0y1内随机投点，用随机点落在区域yf(x)中的频率作为定积分的近似值

17、。或 为计算定积分J=dx 设随机变量X服从（0，1）上的均匀分布，则Yf(X)的数学期望为 E（f(X)）=dx=J 所以估计J的值就是估计f(X) 的数学期望值。由辛钦大数定律，可以用f(X)的观察值的平均去估计f(X)的数学期望的值。具体做法如下：先用计算机产生n个（0，1）上的平均分布的随机数：x,i=1,2 ，n。然后对每个x计算f(x), 最后得到J的估计值为 J为在实际应用中用将大量重复测量值的算术平均值作为精确值的估计提供了理论依据 例3 设随机变量X1, X2, X10相互独立并且服从相同的分布, 已知它们的数学期望等于0, 方差等于1, Y = X1+ X2+ + X10,

18、 请估算概率 P10Y 10 之值。解 E(Y) = 0, D(Y) = 10, P10Y10=P|Y |10 =P|YE(Y)|10 由切比雪夫不等式, 有P10Y101例 4 ( 若取精度=0.01)的可能性 P=当 n=10时，大偏差发生的可能性小于1/40=2.5%. 当n=10时，大偏差发生的可能性小于1/400=0.25%. 可见试验次数愈多，偏差发生的可能性愈小。 例 5 现有一大批种子，其中良种占1/6,今在其中任选6000粒，试计算这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%DE 概率是多少？ 解 设取出的种子中良种的粒数为x，则XB( n, p),于是 Ex= np=600

19、0=1000 Dx=np(1-p)=6000 =1000要估计的规律为P相当于在切比雪夫不等式中取=60，于是 P1-由题意有1-=1-1000=0.7685，即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685。 在误差领域的应用例 6某种仪器测量已知量A时，设n次独立得到的测量数据为, 如果仪器无系统误差，问：当n充分大时，能否取作为仪器测量误差的方差的近似值？ 解 把x视为n个独立同分布的随机变量x（i=1，2， n）的观察值，则E（x）=，D（ x）=( i=1，2，n）。仪器第次测量的误差x-A的数学期望E（x-A）=-A，方差D（x-A）=。 设Y=（x-A）( i=1，2， n）则Y也

20、互相独立同分布。在仪器无系统误差时，E（x-A）=0，即有=A E（Y）=E（x-A）=E（x-E x） =D（x）=( i=1，2， n）由切比雪夫大数定律可知： =1即 =1从而确定，当n时，随机变量依概率收敛于，故当n充分大时，我们可以取作为仪器测量误差的方差。（五）用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种 进行人身保险精算首先需研究被保险人遭受危险事故的出险率及出险率的变动规律。出险率即保险事故发生的概率。人身保险精算主要是寿险精算，人寿保险的出险率是死亡概率和存活概率，而死亡概率和存活概率又是互补的，因此通常只研究其中一个的变动规律即可，人身保险是以生命表方法来研究和表述被保险人的死

21、亡规律的。在医疗保险中，出险率就是被保险人的发病概率。在伤残保险中，出险率就是被保险人的伤残概率。在确定了保险事故发生的概率的基础上，保险人方可确定应收的保费。 例 7 假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付12保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元。试问：平均每户支付的赔偿金5 .9 元至6.1元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万的概率是多少？设X表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则， E（x）=6，D（x）=5.964（i=1，2，10000），X互相独立。则 =表示保险公司平均对每户的赔偿

22、金，E（）=6，D（10.由中心极限定理，）P(5.9120）=1-P(Y120)=0这说明，保险公司亏本的概率几乎为0.应设此险种。 在保险市场中，有时降低保费和提高赔偿金，对保险公司的收益是一样的，但是提高赔偿金比降低保费更能吸引头保户。参考文献:周少强.大数定律与中心极限定理之间的关系J. 三峡大学学报（自然科学版）. 2005, 27(3):284-285.中山大学统计科学系.概率论与数理统计M. 北京：高等教育出版社.2005.山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：数学科学学院 专业：信息与计算科学 班级：2007级信计1班姓名潘炳燕学号200708020322指导教师付静论文（

23、设计）题 目大数定律的对比与应用关键词大数定律、 随机变量 、概率论文（设计）字数6153内容摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质：平均结果的稳定性（概率是频率的稳定值），是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式，条件的强弱上进行对比，并分析了几种常见大数定律的关系，同时总结分析了大数定律的简单应用。成绩学院负责人（签名）年 月 日注：文科论文摘要不少于500字，理科不少于300字。本页一式两份，一份装入学生档案，一份由学院保存山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表学院：数学科学学院 (章) 系别：信息与计算科学 时间:20

24、10年10月25日课题情况题目名称大数定律的对比与应用课题性质A基础研究 B基础应用研究 C应用研究教师姓名付静职称讲师学位硕士课题来源A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟 E. 其它成果类别主要研究内容与研究目标论文先阐述了几个常见大数定律包括：马尔科夫大数定律，切比雪夫大数定律，伯努利大数定律，泊松大数定律及辛钦大数定律，伯恩斯坦大数定律，分析了几个常用的大数定律的关系，在此基础上，重点总结论述了大数定律的应用。 研究目标是: 通过对几个常见大数定律的对比，加深对大数定律的理解。在此基础上，分析了大数定律的应用，包括：在分布型未知的情况下估计数学期;在数学分析中的应用,在实际应用

25、在误差领域的应用. 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种并将理论知识运用到实际的工作，学习当中。 指导教师（签名）： 年 月 日 选题学生（签名）： 年 月 日系所或教研室审题意见负责人（签名）: 年 月 日学院审批意见学院学位分委员会主任（签名）: 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目： 大数定律的对比与应用 学院名称： 数学科学学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 潘炳燕 学 号： 200708020322 指导教师： 付静 2010年 11 月 16日一、选题的性质 应用性研究二、选题的目的和意义 选此题主要是对大数定律的对比及相互之间的关系进一步学习和总

26、结，并对大数定律在个领域的应用有一些了解。概率统计学是一门研究随机现象统计规律的数学学科，它的应用十分广泛，涉及到数学分析，社会经济学科，保险等。而大数定律是概率论中的重要内容之一。设计此论文是为将来把大数定律的意义更进一步用到现实经济领域，保险领域。三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面大数定律作为概率论中的重要内容，其理论成果相对比较完善。但几个常用定律之间的对比与应用方面比较少。出于进一步了解学习的目的，本文通过对大数定律的对比和相互关系作出系统的分析，主要研究和讨论几个大数定律之间的关系和他们的应用。所以对教学和应用领域有一定的参考价值。预计创新，是大数定律在金融和保

27、险领域的进一步应用。四、课题研究的可行性分析(1)所选课题具有很强的应用性和现实意义，对大数定律在实际生活和教学与学习中具有重要的参考意义.(2)大学本科阶段没有开设概率论与数理统计教程课程，由于所选课题的引理和定理是源于此门课程，自主学习相关知识.在导师的指导下，选定题目进行分析.五、课题研究的策略、方法和步骤课题研究的策略和方法：在学习的现有知识的理解上，通过阅读大量的参考文献以及数学学报，查阅了大量的资料完成了论文的初稿。步骤：1、阅读许多有关大数定律的资料，加深对大数定律本质含义的理解。 2、通过大量的阅读和总结，完成了论文的基本骨架。 3、多次进行指标选择和数据运算，并对其多次修改丰富了论文的内容。 4、对论文整体全面的修改完成了论文最后定稿。六、预期成果形式描述 预期完成不少于6000字的论文。七、指导教师意见指导教师（签名）：年 月 日八、学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日表5（学生教师合用）山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院：数学科学学院 系别：信息与计算科学 专业：信息与计算科学论文（设计）题目：大数定律的对比与应用学生姓名潘炳燕学号200708020322指导