第三章.一元流体动力学基础

1、第三章第三章 一元流体动力学基础一元流体动力学基础 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律则研究流体在外力作用下的运动规律,即流体的即流体的运动参数与所受力之间的关系。运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍本章主要介绍流体运动学和流体动力学的流体运动学和流体动力学的基本知识基本知识,推导出流体动力学中的几个重要的基推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：本方程：连续性方程、动量方程和能量方程连续性方程、动量方程和能量方程,这这些方程是分析流体

2、流动问题的基础。些方程是分析流体流动问题的基础。本章导读本章导读一、流场的概念一、流场的概念 流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成，流流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成，流体的运动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的。体的运动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的。例如，室内空气的流动、室外大气的绕流、管道中水、蒸例如，室内空气的流动、室外大气的绕流、管道中水、蒸气或煤气的流动等，都是在建筑物的墙壁、管道的管壁等气或煤气的流动等，都是在建筑物的墙壁、管道的管壁等固体壁面所限制的空间内外进行的。因此，流体在流动过固体壁面所限制的空间内外进行的。因此，流体在流动过程中将连续地占据这

3、些空间。我们程中将连续地占据这些空间。我们把流体流动所占据的全把流体流动所占据的全部空间称为部空间称为流场流场。流体力学的主要任务就是研究流场中流流体力学的主要任务就是研究流场中流体的运动规律。体的运动规律。第一节第一节 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法1.拉格朗日方法拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场中每是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。（即质点系）运动求得整个流动。质点

4、系法质点系法研究对象：研究对象：流体质点流体质点空间坐标空间坐标tcbazztcbayytcbaxx,（a,b,c）为）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为称为拉格朗日数拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看）都可看作是（作是（a,b,c）和时间）和时间t的函数。的函数。（2）（a,b,c）为变数）为变数，t =const，可以得，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。 （1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处

5、的位置。得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。ttcbazvttcbayvttcbaxvzyx，222222ttcbaztvattcbaytvattcbaxtvazzyyxx，流体质点的其它流动参量可以类流体质点的其它流动参量可以类似地表示为似地表示为a、b、c和和 t 的函数。的函数。如：如： p=p(a，b，c，t)=(a，b，c，t) 由于流体质点的运动轨迹非常由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，在工程流别质点的运动情况，在工程流体力学中很少采用。体力学中很少采用。 欧拉法欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中

6、）是以流体质点流经流场中各空间点的运动来研究流动的方法。各空间点的运动来研究流动的方法。 流场法流场法 研究对象：研究对象：流场流场u 它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间流体质点的空间流场为对象。研究各时刻质点在流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。固守于流场各空间点流场中的变化规律。固守于流场各空间点, 通过观察通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。运动情况。

7、tzyxTTtzyxpptzyxtzyxvv，tzyxuu,写成分量形式写成分量形式tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx,（x,y,z,t）欧拉变量欧拉变量 流体质点，某一时刻，处于流场不同位置，速度是坐标及时流体质点，某一时刻，处于流场不同位置，速度是坐标及时间的函数，所以流速是间的函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得加速度的复合函数，对流速求导可得加速度:dttzyxuda,如：如：dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxx代入上式得代入上式得： zyxudtdzudtdyudtdx , , zuuyuuxuutudtudazyxzuuyuuxuu

8、tudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度；等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度； 引人微分算子引人微分算子:kzjyix)zVyVxVV(-矢量微分算子VVtVtVadd那么zVyVxVttzyxdd引入随体导数算子：引入随体导数算子：若流动参数为B (可以是速度,压强,密度等),则表示流场中一位置固定点,B参数对时间的变化引起,-局部改变率tB.)1zBVyBVxBV.)2zyx表示流场中B参数在空间分布不均匀引起的-迁移改变率u 时变加速度时变

9、加速度（当地加速度）（当地加速度） 流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度； u 位变加速度位变加速度（迁移加速度）（迁移加速度）流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。在在恒定恒定流中流中,流场中任意空间点的运动要素不随时间变化流场中任意空间点的运动要素不随时间变化,所所以时变加速度等于零；以时变加速度等于零； 在在均匀均匀流中流中,质点运动速度不随空间变化质点运动速度不随空间变化 ，所以位变加速度，所以位变加速度等于零。等于零。zuuyuuxuutudtudazyx 欧拉法欧拉法

10、 分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体微元的不适合描述流体微元的运动变形特性运动变形特性适合描述流体微元的适合描述流体微元的运动变形特性运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法拉格朗日法拉格朗日法 第二节第二节 恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流 1.恒定流定义恒定流定义 v恒定流恒定流又称定常流，是指流场中的流体流动，空又称定常流，是指流场中的流体流动，空间点上各

11、水力运动要素均不随时间而变化间点上各水力运动要素均不随时间而变化即：即： 0, 0, 0三者都等于tututuzyxpptpzyxuutuzyx2.非恒定流的定义非恒定流的定义 l非恒定流非恒定流又称非定常流又称非定常流,是指流场中的流体流动空是指流场中的流体流动空 间点上各水力运动要素中间点上各水力运动要素中, 只要有任何一个随时间的变只要有任何一个随时间的变 化而变化的流动。化而变化的流动。三者中至少一个即：tzutyutxuzyxpptpzyxuu, 0, 0不等于 问题1：恒定流是： A、流动随时间按一定规律变化； B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化； C、各过流断面的速度分布

12、相同； D、各过流断面的压强相同。 问题2： 非恒定流是： A、 ； B、 ； C、 ； D、 。 BB一一. 流线流线 （streamline）1.流线的定义流线的定义表示某表示某一瞬时流体各点流动趋势一瞬时流体各点流动趋势的曲线的曲线: 曲线上每一点的速度矢量曲线上每一点的速度矢量总在该点与曲线相切总在该点与曲线相切。右图为流线形状。右图为流线形状。2.流线的作法流线的作法： 在流场中任取一点在流场中任取一点, 绘出某时刻通过该点的流体质点绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量的流速矢量u1，再画出距，再画出距1点很近的点很近的2点在同一时刻通点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量过该处

13、的流体质点的流速矢量u2，如此下去，得一，如此下去，得一折线折线1234 ，若各点无限接近，其极限就是某时刻的，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。流线。 3.流线的性质流线的性质 b.流线不能是折线，而是一条光流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。滑的曲线。a.同一时刻的不同流线同一时刻的不同流线,不能相交不能相交.c.流线簇的疏密反映了速度的大小流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 u1u2s1s2交点 u1u2折点 s 4.流线的特点流线的特点 u流线不相交。（奇点除外）奇点有两种：速度为零流线不相交。（奇

14、点除外）奇点有两种：速度为零 及速度为无限大。及速度为无限大。 u 每一空间点均有流线通过每一空间点均有流线通过,由这些流线构成流谱。由这些流线构成流谱。 u流线的形状和位置，在定常流动时不随时间变流线的形状和位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，随时间变化。化；而在不定常流动时，随时间变化。 u 定常流动时，流线，迹线重合。定常流动时，流线，迹线重合。 5.流线的方程流线的方程设设ds为流线上为流线上A处一微元弧长处一微元弧长: u为流体质点在为流体质点在A点的流速点的流速:kdzjdyidxsdkujuiuuzyx因为流速向量与流线相切，二者对应的分量成比例因为流速向量与流线相

15、切，二者对应的分量成比例,即：即：zyxudzudyudx流线方程流线方程二二.迹线迹线 （ path line） 迹线迹线某一质点在某某一质点在某一时段内的运动轨迹线。一时段内的运动轨迹线。图中烟火的轨迹为迹线。图中烟火的轨迹为迹线。 1.迹线的定义迹线的定义2.迹线的微分方程迹线的微分方程式中式中，ux,uy,uz 均为时空均为时空t,x,y,z的函数，且的函数，且t是自变量。是自变量。 注意注意：流线和迹线微分方程的异同点流线和迹线微分方程的异同点。 dtudzudyudxzyx流线方程流线方程 zyxudzudyudx【例例】有一流场有一流场, 其流速分布规律为：其流速分布规律为：ux

16、= -ky， uy= kx，uz=0，试求其流线方程。，试求其流线方程。 【解解】 由于由于uz=0 ，所以是二维流动，二维流动的流线方程微，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为：分为： 将两个分速度代入流线微分方程，将两个分速度代入流线微分方程， 得到得到 即：即： xdx+ydy=0 积分上式得到：积分上式得到： x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。 xyyxkdkdyxuyuxdd 第四节第四节 一元流动模型一元流动模型一一.流管、元流与流束流管、元流与流束流管流管在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通在流场中取任一封闭曲线（不是流

17、线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。管状空间称为流管。 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于由于流线不能相交流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。制在管内流动。流束流束流管以内的流体称为流束。流管以内的流体称为流束。 元流元流 当流束的过流断面无限小时，这根流束就当流束的过流断面无限小时，这根流束就称为元流。元流的极限是一条流线。称为元

18、流。元流的极限是一条流线。总流总流把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流。可看作无数元流相加。流束称为总流。可看作无数元流相加。 过流断面过流断面即水道（管道、明渠等）中垂直于总流中全部即水道（管道、明渠等）中垂直于总流中全部流线的断面流线的断面,又称为有效截面，如图中又称为有效截面，如图中1-1，2-2 断面。断面。二二.过流断面过流断面 流线相互平行时流线相互平行时,过流断面是平面。流线不平过流断面是平面。流线不平行时，过水断面是曲面，如图所示。行时，过水断面是曲面，如图所示。非均匀流非均匀流 均匀流均匀流三三.湿周与水力半

19、径湿周与水力半径 湿周湿周在总流的有效截面上，流体与固体边界接在总流的有效截面上，流体与固体边界接 触的长度，用符号触的长度，用符号表示。表示。 水力半径水力半径总流的有效截面面积与湿周之比，总流的有效截面面积与湿周之比， 用符号用符号R Rh h表示，即表示，即 关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道和管关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道和管束的水力计算中常常用到。束的水力计算中常常用到。ARh四四.控制体与控制断面控制体与控制断面控制体控制体即在流场中划定的一个固定的空间区域，即在流场中划定的一个固定的空间区域， 该区域完全被流动流体所充满。该区域完全被流动流体所充满。 控制断面控制断

20、面即控制体（流管）有流体流进流出即控制体（流管）有流体流进流出的的 两个断面两个断面, ,如图中的如图中的3-3,4-43-3,4-4断面断面五五.流量与断面平均流速流量与断面平均流速 1. 流量流量 流量流量是指单位时间内通过河渠、管道等某一过水是指单位时间内通过河渠、管道等某一过水 横断面的流体数量。横断面的流体数量。 体积流量体积流量（ m3 /s）：）：质量流量质量流量（kg/s）：）：AvAudAqAmAudAq断面平均流速断面平均流速总流过水断面上各点的流速是不相总流过水断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速

21、，称断面平均流速速，称断面平均流速 。AqAudAv2. 断面平均流速断面平均流速第五节第五节 连续性方程连续性方程在总流中取面积为在总流中取面积为A1和和A2的的1，2两断面，两断面，（探讨两断面间流动空间的质量收支平衡情（探讨两断面间流动空间的质量收支平衡情况）。设况）。设A1的平均流速为的平均流速为V1，A2的平均流的平均流速为速为V2，则：，则：dt时间内流入断面时间内流入断面1的流体质的流体质量：量：1V2VdtQdtVA11111dt时间内流出断面时间内流出断面2的流体质量：的流体质量：dtQdtVA22222根据质量守恒根据质量守恒2211QQ222111AVAV或一一. 恒定总

22、流的连续性方程恒定总流的连续性方程当流体不可压缩21 QQQ21VAAVAV2211则21QQ 2211AVAV或 恒恒定总流一元连续性方程定总流一元连续性方程2211QQ222111AVAV或例： 如图，d1=2.5cm,d2=5cm,d3=10cm。1）当流量为4L/s时，求各管段的平均流速。2）旋转阀门，使流量增加至8L/s时，平均流速如何变化？d1d2d32) 2) 各断面流速比例保持不变，各断面流速比例保持不变， Q=8L/sQ=8L/s, ,即流量增加为即流量增加为2 2倍，倍，则各断面流速亦加至则各断面流速亦加至2 2倍。即倍。即 V V1 1=16.32m/s=16.32m/s

23、， V V2 2=4.08m/s=4.08m/s， V V3 3=1.02m/s=1.02m/sd1d2d3解：解：1）根据连续性方程）根据连续性方程 Q=V1A1=V2A2=V3A3，则，则 V1=Q/A1=8.16m/s， V2=V1A1/A2=2.04m/s， V3=V1A1/A3=0.51m/s例： 断面为5050cm2的送风管，通过a，b，c，d四个4040cm2的送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度均为5m/s，求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速和流量。Q0abcd123123解：每一送风口流量Q0.40.45=0.8m3/s Q04Q3.2m3/s根据连续性方程

24、 Q0QQ QQ0Q3Q2.4m3/s Q0Q2Q QQ02Q2Q1.6m3/s Q0Q33Q Q3Q03Q0.8m3/s 各断面流速Q0abcd123123sm3.20.50.50.8AQVsm6.40.50.51.6AQVsm9.60.50.52.4AQV332211 第六节恒定元流能量方程第六节恒定元流能量方程从功能原理出发，取不可压缩无黏性流体恒定流动这样的力学模从功能原理出发，取不可压缩无黏性流体恒定流动这样的力学模型，推出元流的能量方程式。型，推出元流的能量方程式。 连续性方程是运动学方程，只给出了沿一元流长度上，断面流连续性方程是运动学方程，只给出了沿一元流长度上，断面流速的变化

25、规律。没有涉及流体的受力性质。所以它只能决定流速速的变化规律。没有涉及流体的受力性质。所以它只能决定流速的相对比例，却不能给出流速的绝对数值。的相对比例，却不能给出流速的绝对数值。如果需要求出流速的绝对值，还必须从动力学着眼，考虑外力如果需要求出流速的绝对值，还必须从动力学着眼，考虑外力作用下，流体是按照什么规律来运动的。作用下，流体是按照什么规律来运动的。 第六节恒定元流能量方程第六节恒定元流能量方程 在在dt时间内压力作的功：时间内压力作的功：pdQdtppdtudApdtudAp)(21222111 在流场中选取元流如图所示。在流场中选取元流如图所示。在元流上沿流向取在元流上沿流向取1、

26、2两断两断面，两断面的高程和面积分面，两断面的高程和面积分别为别为z1、z2和和dAl、dA 2，两，两断面的流速和压强分别为断面的流速和压强分别为u1、u2和和p1、p2。以两断面间的元流段为对象，写出以两断面间的元流段为对象，写出dt时间内，外力时间内，外力(压力压力)作功等于流段机械能量增加的方程式。作功等于流段机械能量增加的方程式。dt时间内断面时间内断面1、2分别移动分别移动“u1dt、“u2dt的距离，到达断面的距离，到达断面1、2。p 流段所获得的动能：流段所获得的动能：guudQdtuugdQdt2)22(21222122 位能的增加：位能的增加：2121mg zzdQdt z

27、z流段在流段在dt时段前后所占有的空间时段前后所占有的空间虽然有变动、但虽然有变动、但1、2两断面间空两断面间空间则是间则是dt时段前后所共有。在这时段前后所共有。在这段空间内流体的位能、动能不变。段空间内流体的位能、动能不变。所以，能量的增加应按流体占据所以，能量的增加应按流体占据的新位置的新位置22所增加的能量，和所增加的能量，和流体离开原位置流体离开原位置11所减少的能所减少的能量来计算。量来计算。由于流体不可压缩由于流体不可压缩, ll, ll、2222所占据的体积等于所占据的体积等于dQdtdQdt，质量等于，质量等于dQdtdQdt流段所获得的能量流段所获得的能量根据压力作功等于机

28、械能量增加原理：根据压力作功等于机械能量增加原理：guudQdtzzdQdtdQdtpp2)(21221221各项除以各项除以dt，并按断面分别列入等式两方，并按断面分别列入等式两方,得总能量方程。得总能量方程。2212112222uupzdQpzdQgg将上式除以将上式除以dQ，得出单位重量的能量方程，或简称为单位能量方程。，得出单位重量的能量方程，或简称为单位能量方程。2211221222pupuzzgg这就是理想不可压缩流体恒定流元流能量方程，或称为伯努利方程。这就是理想不可压缩流体恒定流元流能量方程，或称为伯努利方程。22upZgg常数或式中各项物理意义：式中各项物理意义：Z：是断面对

29、于选定基准面的高度，水力学中称位置水头，是断面对于选定基准面的高度，水力学中称位置水头，表示单位重量的位置势能，称单位位能；表示单位重量的位置势能，称单位位能；是断面压强作用使流体沿测压管所能上升的高度，水力是断面压强作用使流体沿测压管所能上升的高度，水力学中称为压强水头，表示压力做功能提供给单位重量流学中称为压强水头，表示压力做功能提供给单位重量流体的能量，称为单位压能；体的能量，称为单位压能；pg22ug是以断面流速是以断面流速u为初速度的铅直上升射流所能达到的理为初速度的铅直上升射流所能达到的理论高度，水力学中称为流速水头，表示单位重量的动能论高度，水力学中称为流速水头，表示单位重量的动

30、能,称为单位动能。称为单位动能。22puzg 常数ppHz表示断面测压管水面相对于基准面的高度，表示断面测压管水面相对于基准面的高度，称为测压管水头，表明单位重量流体具有的称为测压管水头，表明单位重量流体具有的势能称为单位势能。势能称为单位势能。22puHzg称为总水头，表明单位重量流体具有的总能称为总水头，表明单位重量流体具有的总能量，称为单位总能量。量，称为单位总能量。 能量方程式说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各能量方程式说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变。断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变。 实际流体的流动中，元流的粘性阻力作负功，使机

31、械能实际流体的流动中，元流的粘性阻力作负功，使机械能量沿流向不断衰减。以符号量沿流向不断衰减。以符号hl1-2表示元流表示元流1、2两断面间两断面间单位能量的衰减。称为水头损失。则单位能量方程式将单位能量的衰减。称为水头损失。则单位能量方程式将改变为：改变为： 毕托管是广泛用于测量水流和气流的一种仪器，如图毕托管是广泛用于测量水流和气流的一种仪器，如图311所示。管前端开口所示。管前端开口a正对气流或水流，面向来流，正对气流或水流，面向来流，a端形成驻点。端形成驻点。a端内部有流体通路与上部端内部有流体通路与上部a端相通。端相通。管侧有多个开口管侧有多个开口b，称为静压孔，它的内部也有流体，称

32、为静压孔，它的内部也有流体通路与上部通路与上部b端相通。当测定水流时，端相通。当测定水流时，a、b两管水两管水面差面差hv即反映即反映a、b两处压差。当测定气流时，两处压差。当测定气流时，a，b两端接液柱差压计两端接液柱差压计,以测定以测定a、b两处的压差。两处的压差。液体流进液体流进a端开口，水流最初从开口处流入，沿管上升，端开口，水流最初从开口处流入，沿管上升，a端受压水拄上升到端受压水拄上升到a ，直到该处质点流速降低到零，直到该处质点流速降低到零，其压强为其压强为pa。然后由然后由a分路，流经分路，流经b端开口，流速恢复原有速度端开口，流速恢复原有速度u，压，压强也降至原有压强。强也降

33、至原有压强。b端受压水拄上升到端受压水拄上升到b ，直到该处质点流速降低到零，直到该处质点流速降低到零，其压强为其压强为pb。为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，其值近似为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于等于l。如果用毕托管测气流，液体压差计所量得的压差，如果用毕托管测气流，液体压差计所量得的压差，Pa-Pbhv, 是气是气体容重体容重VBAZZ皮托管测速原理皮托管测速原理 解解: (1)风道中空气流速风道中空气流速v 有了元流能量方程，结合连续性方程，可以算出压强沿流有了元流能量方程，结合连续性方程，可以算出压强沿流线的变化。线的变化。v从元流能

34、量方程推出总流能量方程，还必须进一步研究压强从元流能量方程推出总流能量方程，还必须进一步研究压强在垂直于流线方向，即压强在过流断面上的分布问题。在垂直于流线方向，即压强在过流断面上的分布问题。v要对压强进行分析，首先牵涉到流体内部作用的力。这就是要对压强进行分析，首先牵涉到流体内部作用的力。这就是重力、粘性力和惯性力。压力是平衡其它三力的结果。重力重力、粘性力和惯性力。压力是平衡其它三力的结果。重力是不变的，粘性力和惯性力则与质点流速有关。所以，首先是不变的，粘性力和惯性力则与质点流速有关。所以，首先要研究流速的变化。要研究流速的变化。第七节过流断面的压强分布第七节过流断面的压强分布 一、均匀

35、流、急变流、渐变流一、均匀流、急变流、渐变流 根据流速是否随流向变化，分为均匀流动和不均匀流动。根据流速是否随流向变化，分为均匀流动和不均匀流动。均匀流：均匀流：任一确定的流体质点在其运动过程中速度大小和任一确定的流体质点在其运动过程中速度大小和方向均保持不变的流动。方向均保持不变的流动。急变流：急变流：速度大小或方向发生明显变化。速度大小或方向发生明显变化。渐变流：渐变流：流体质点速度变化较缓慢的流动。流体质点速度变化较缓慢的流动。（2）位于同一流线上的各质点速度相等；）位于同一流线上的各质点速度相等；均匀流的特点均匀流的特点（1）管道恒定流动中，各质点的流线相互平行，）管道恒定流动中，各质

36、点的流线相互平行，过流断面为一平面；过流断面为一平面；二、均匀流断面上压强分布的推导二、均匀流断面上压强分布的推导任取轴线任取轴线n-n位于均匀流断面的微小柱位于均匀流断面的微小柱体为隔离体体为隔离体(图图3-13)，分析作用于隔离，分析作用于隔离体上的力在体上的力在n-n方向的分力。柱体长为方向的分力。柱体长为l，横断面积为横断面积为dA，铅直方向的倾角为，铅直方向的倾角为 ，两断面的高程为两断面的高程为Z1和和Z2，压强为，压强为pl和和p2。(1)柱体柱体重力重力在在n-n方向的分力方向的分力Gcos =dA cos (2)作用在柱体两端的作用在柱体两端的压力压力p1dA和和p2ddA，

37、侧表面压力垂，侧表面压力垂直于直于n-n轴，在轴，在n-n轴上的投影为零。轴上的投影为零。v (3)作用在柱体两端的作用在柱体两端的切力切力垂直于垂直于n-n轴，在轴，在n-n轴上投影为轴上投影为零；由于小柱体端面积无限小，在小柱体任一横断面上关于零；由于小柱体端面积无限小，在小柱体任一横断面上关于轴线对称的两点上的切应力可认为大小相等，方向相反，因轴线对称的两点上的切应力可认为大小相等，方向相反，因此，柱体侧面切力在此，柱体侧面切力在n-n轴投影之和也为零。轴投影之和也为零。因此，微小柱体的平衡：因此，微小柱体的平衡：即均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。即均匀流过流断面上压强分布服

38、从于水静力学规律。过流断面上压强服从静止压强分布规律，亦即同过流断面上压强服从静止压强分布规律，亦即同一过流断面上各点的测压管水头相等。一过流断面上各点的测压管水头相等。PP1212zz 如图均匀流断面上，想象地插上若干测压管。同一断面如图均匀流断面上，想象地插上若干测压管。同一断面上测压管水面将在同一水平面上，但不同断面有不同的上测压管水面将在同一水平面上，但不同断面有不同的测压管水头。这是因为粘性阻力作负功，使下游断面的测压管水头。这是因为粘性阻力作负功，使下游断面的水头减低了。水头减低了。例例 水在水平长管中流动，在管壁水在水平长管中流动，在管壁B点安置点安置测压管测压管(图图3-15)

39、。测压管中水面。测压管中水面Cc相对于管相对于管中点中点A的高度是的高度是30m，求，求A点的压强。点的压强。解解 在测压管内，从在测压管内，从C到到B，整个水柱是静止的，压强服，整个水柱是静止的，压强服从于流体静力学规律。从从于流体静力学规律。从B到到A，水虽是流动的，但，水虽是流动的，但B、A两点同在一渐变流过流断面，因此，两点同在一渐变流过流断面，因此，A、C两点压差可两点压差可以用静力学公式来求：以用静力学公式来求：例例 水在倾斜管中流动，用水在倾斜管中流动，用u形水银压力形水银压力计测定计测定A点压强。压力计所指示的读数如点压强。压力计所指示的读数如图图3-16，求，求A点压强。点压

40、强。解：解： 因因A，B两点在均匀流同一过流断面上，两点在均匀流同一过流断面上，其压强分布应服从流体静力学分布。其压强分布应服从流体静力学分布。u形管中形管中流体也是静止的，所以从流体也是静止的，所以从A点经点经B点到点到C点，点，压强均按流体静压强分布。因此，可以从压强均按流体静压强分布。因此，可以从C点点开始直接推得开始直接推得A点压强：点压强：在图中用流体静力学方程不能求出管在图中用流体静力学方程不能求出管壁上壁上E、D两点的压强，尽管这两点和两点的压强，尽管这两点和A点在同一水平面上，它们的压强不点在同一水平面上，它们的压强不等于等于A点压强。因为测压管和点压强。因为测压管和B点相接，

41、点相接，利用它只能测定和利用它只能测定和B点同在一过流断点同在一过流断面上任一点的压强，面不能测定其它面上任一点的压强，面不能测定其它点的压强。点的压强。也就是说，流体静力关系，只存在于每一个渐变流断面也就是说，流体静力关系，只存在于每一个渐变流断面上，面不能推广到不在同一断面的空间。图中上，面不能推广到不在同一断面的空间。图中D点在点在A点点的下游断面上，压强将低于的下游断面上，压强将低于A点；点；E点在点在A点的上游断面，点的上游断面，压强将高于压强将高于A点。点。 流体在弯管中的流动，流线呈显流体在弯管中的流动，流线呈显著的弯曲，是典型的流速方向变著的弯曲，是典型的流速方向变化的急变流。

42、在这种流动的断面化的急变流。在这种流动的断面上，离心力沿断面作用。和流体上，离心力沿断面作用。和流体静压强的分布相比，沿离心力方静压强的分布相比，沿离心力方向压强增加，例如在图向压强增加，例如在图3-17的断的断面上，沿弯曲半径的方向，测压面上，沿弯曲半径的方向，测压管水头增加，流速则沿离心力方管水头增加，流速则沿离心力方向减小了。向减小了。第八节恒定总流伯努利方程第八节恒定总流伯努利方程设有一不可压缩恒定流动，在总流各设有一不可压缩恒定流动，在总流各自处于渐变流的流段上，任意选取两自处于渐变流的流段上，任意选取两个过流断面。个过流断面。单位重量元流伯努利方程单位重量元流伯努利方程2l1222

43、22111h2guzp2guzp方程两端同乘以元流重量流量方程两端同乘以元流重量流量dQ)dQh2guzp()dQ2guzp(2l122222111z1z21u2u在整个过流断面进行积分：在整个过流断面进行积分：dQhdQ2gu)dQzp(dQ2gu)dQzp(2l1A222A2A211A12211Q上述积分可分为三个部分：上述积分可分为三个部分：z)dQp(A1）czp渐变流过流断面服从液体静压强分布规律z)Qp(z)dQp(AAVAVdAu2gdA2guudA2gudQ2gu33A33AA2A22）AVdAu3A3令动能修正系数Q2gVAV2g23上式V截面的平均流速截面的平均流速 动能修

44、正系数动能修正系数 a 是由于截面上速度分布不均匀而是由于截面上速度分布不均匀而引起的，引起的，a 是个大于是个大于1 的数，紊流中的数，紊流中a=1.051.1，有，有效截面上的流速越均匀，效截面上的流速越均匀，a 值越趋近于值越趋近于1。在实际工业。在实际工业中，通常都近似地取中，通常都近似地取 a=1.0 。以后如不加特别说明，。以后如不加特别说明，都假定都假定 a=1 ，并以，并以 v 代表平均流速。而对于圆管层代表平均流速。而对于圆管层流流动流流动a=2 。dQh2l1Q3）令单位重量流体流过1、2断面平均能量损失为2l1hQhdQh2l12l1Q则综上可得综上可得QhQ2gV)Qz

45、p(Q2gV)Qzp(2l12222221111-不可压缩恒定总流伯努利方程能量积分能量积分讨论：讨论：（1）恒定不可压缩。）恒定不可压缩。（2）选在渐变流。）选在渐变流。（3）功率输入）功率输入H输入输入（如泵（如泵)2l12222221111h2gVzpH2gVzp输入（4）有分流或合流仍然适用）有分流或合流仍然适用功率输出功率输出H输出（如汽轮机）输出（如汽轮机）2l12222221111hH2gVzp2gVzp输出（4）有分流或合流仍然适用）有分流或合流仍然适用2211 1222112221,223333331,322 2vvvwvvwpapagqzgqzgq hggggpagqzgq

46、 hgg能量方程的解题步骤能量方程的解题步骤 1 选择基准面：选择基准面：基准面以简化计算为原则。例如过水断面形基准面以简化计算为原则。例如过水断面形心（心（z=0），或自由液面（），或自由液面（p=0）等。）等。2 选择计算断面选择计算断面：应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。选取已知量尽量多的断面。3 选择计算点选择计算点：管流常选在管轴管流常选在管轴,明渠流常选在自由液面。对明渠流常选在自由液面。对同一方程同一方程,必须采用相同的压强标准。必须采用相同的压强标准。4 列能量方程解题列能量方程解题：注意与连续性方程的联合使用。注意

47、与连续性方程的联合使用。 第九节第九节 能量方程的应用能量方程的应用 能量方程在解决流体力学问题上有决定性的作用，它能量方程在解决流体力学问题上有决定性的作用，它和连续性方程联立，全面地解决一元流动的断面流速和和连续性方程联立，全面地解决一元流动的断面流速和压强的计算。压强的计算。一、能量方程应用举例一、能量方程应用举例 分析流动，要明确流动总体，把分析流动，要明确流动总体，把需要研究的局部流动和流动总体需要研究的局部流动和流动总体联系起来。如图联系起来。如图3-23中水从水箱中水从水箱A经管道经管道B流入水箱流入水箱C，气体从静，气体从静压箱压箱A经管道经管道B流人大气流人大气C。研究对象是

48、管中水流和气流，但是应当把管中的水流和气研究对象是管中水流和气流，但是应当把管中的水流和气流这些局部和总体联系起来。要把管中水流和上游水箱流这些局部和总体联系起来。要把管中水流和上游水箱A的的水体以及下游水箱水体以及下游水箱c的水体联系起来；要把管中气流和上游的水体联系起来；要把管中气流和上游静压箱静压箱A的气体以及下游大气的气体以及下游大气c联系起来。图中联系起来。图中A、B、C三三部分构成不可分离的流动总体。这就是说，为求流速压强部分构成不可分离的流动总体。这就是说，为求流速压强而划分的断面，不仅可以划在而划分的断面，不仅可以划在B管中，而且可以划在水箱水管中，而且可以划在水箱水体中，静压

49、箱中，或者大气中。体中，静压箱中，或者大气中。若断面取在管流出口以后，流动由有压流转变为整个断若断面取在管流出口以后，流动由有压流转变为整个断面都处于大气中的射流。根据射流的周边直接和大气相面都处于大气中的射流。根据射流的周边直接和大气相接的边界条件，断面各点压强可假定为均匀分布，并且接的边界条件，断面各点压强可假定为均匀分布，并且都等于外界大气压强。此时断面上压强分布图形不是梯都等于外界大气压强。此时断面上压强分布图形不是梯形，而是矩形，如图形，而是矩形，如图3-24(d)所示。选取管流出口断面列所示。选取管流出口断面列能量方程时，应选断面中心点作为能量方程的代表点。能量方程时，应选断面中心

50、点作为能量方程的代表点。它的位置高度代表整个断面位能的平均值。它的位置高度代表整个断面位能的平均值。 当断面取在有压管流中时，断面上压强分布图形是梯当断面取在有压管流中时，断面上压强分布图形是梯形形(服从静力学分布服从静力学分布)。如图。如图324（b）所示。）所示。 解解 整个流动是从水箱水面通过水整个流动是从水箱水面通过水箱水体经管道流人大气中，它和箱水体经管道流人大气中，它和大气相接的断面是水箱水面大气相接的断面是水箱水面1-1和和出流断面出流断面2-2，这就是我们取断面，这就是我们取断面的对象。基准水平面的对象。基准水平面0-0通过出口通过出口断面形心，是流动的最低点。断面形心，是流动

51、的最低点。 (1)写写11、22的能量方程：的能量方程：代人方程代人方程取取a=1，则，则 (2)为求为求M点的压强，必须在点的压强，必须在M点取断面。另一断面取在和点取断面。另一断面取在和大气相接的水箱水面或管流出口断面，现在选择在出口断大气相接的水箱水面或管流出口断面，现在选择在出口断面。则面。则代人能量方程代人能量方程【例例】一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高差到高池，两池高差15m15m，流量，流量Q Q=30 =30 l/s/s，水管内径，水管内径d d=150mm=150mm。泵的效率。泵的效率h hp p=0.76=

52、0.76。设已知管路损失（泵损。设已知管路损失（泵损除外）为除外）为1010v2 2/(2g)/(2g)，试求轴功率。，试求轴功率。 【解解】取基准面取基准面0-0及断面及断面1（位于低水池水面）及（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。（位于高水池水面）。设泵输入单位重水流的能量为设泵输入单位重水流的能量为h hp p， 取取1 1= =2 2=1=1，则能量方程有：，则能量方程有： 因因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且过水断面很大且过水断面很大，v1v20，而管中流速：管中流速：故有：故有： 得：得： hp=16.47 m 所需轴功率所需轴功率N Np p为为： 【例例】 有一

53、贮水装置如图所示，贮水池足够大，有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通时，通过出口的体积流量过出口的体积流量(不计流动损失不计流动损失)。【解解】 当阀门全开时列当阀门全开时列1-1、2-2截面的伯努利方程截面的伯努利方程 当阀门关闭时，应用流体静力学基本方程求出值：当阀门关闭时，应用流体静力学基本方程求出值： 则则 代入到上式代入到上式 aaappgH

54、p8 . 2O)2(mH289806980608 . 28 . 2gapHm/s 78.20 9806980606 . 08 . 2806. 926 . 022gapHgVsm 235. 078.2012. 0785. 024322VdqVgVgppgpHaaa26 . 00022所以管内流量所以管内流量【例例】 水流通过如图所示管路流入大气，已知：水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管径管径d1=0.1m，管嘴出口直径，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管，不计管中水头损失，试求管中流量中水头损失，试求管中流量q

55、v。 【解解】 首先计算首先计算1-1断面管路中心的压强。因为断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：为等压面，列等压面方程得： 则则11Hgghphg1Hg1ghhgpOmH 272. 02 . 06 .13 21Hg1hhgp列列1-1和和2-2 断面的伯努利方程断面的伯努利方程gVgpzgVgpz222222211121221ddVVgVgV201521612202222sm 1 .12151676 .192VsVdqV32222m 024. 01 .1205. 044由连续性方程：由连续性方程：将已知数据代入上式，得将已知数据代入上式，得管中流量管中流量 文丘里流量计主

56、要用于管道中流体的流量测量，主要是文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。它是利用由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。文丘里文丘里(Venturi)流量计流量计文丘里流量计原理图文丘里流量计原理图 以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面面1-1，2-2的伯努利方程的伯努利方程 g

57、VgpgVgp2222022110由一维流动连续性方程由一维流动连续性方程2121VAAV 整理得整理得 )/(1 )(2212212AAppV由流体静力学由流体静力学 液液ghpp)(21 上式表明，若上式表明，若液液、 、A2、A1已知，只要测量出已知，只要测量出h液液，就可以确定流体的速度。流量为：，就可以确定流体的速度。流量为： )/(1 )(22122AAhgV液液)/(1 )(242122222AAhgdVAqV液液考虑到实际情况考虑到实际情况 式中式中Cd为流量系数，通过实验测定为流量系数，通过实验测定。)/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液实【例例】 有一文

58、丘里管有一文丘里管如图如图a所示所示,若水银差压若水银差压计的指示为计的指示为 360 mmHg，并设从截面并设从截面A流到截面流到截面B的的水头损失为水头损失为0.2mH2O， d dA A= =300mm d dB B= =150mm，试求此时通过文丘里管的试求此时通过文丘里管的流量是多少流量是多少?图图a 文丘里管文丘里管【解解】以截面以截面A为基准面列出截面为基准面列出截面A和和B的伯努利方程的伯努利方程 由此得由此得 由连续性方程由连续性方程 所以所以w2BB2AA276. 020hggpggp a 2 . 076. 0222A2BBAgggpgpBBAAAA b 2ABBABBAd

59、dAA水银差压计水银差压计11为等压面，则有为等压面，则有ggzpgzpHgBA36. 076. 036. 0）（）（由上式可得由上式可得 解得解得96. 0123 . 542ABBddgm/s 53. 93001501)96. 03 . 5(806. 921)96. 03 . 5(244ABBddgs/m 168. 015. 0453. 94 322BBdqV将式（将式（b）和式（）和式（c）代入（）代入（a）中）中）（O mmH 3 . 5980613340036. 040. 0g36. 036. 076. 02HgBAggpgp(c)在出现巨大水流流速的局部区域，压强会显著降低，可在出现

60、巨大水流流速的局部区域，压强会显著降低，可能达到和水温相应的汽化压强，水迅速汽化，部分液体能达到和水温相应的汽化压强，水迅速汽化，部分液体转化为蒸汽，出现了蒸汽气泡的区域，气泡随水流流入转化为蒸汽，出现了蒸汽气泡的区域，气泡随水流流入压强较高的区域而破灭，这种现称为压强较高的区域而破灭，这种现称为空化空化。空化限制了压强的继续降低和流速的增大，减少了通流空化限制了压强的继续降低和流速的增大，减少了通流面积，从而限制了流量的增加，影响到测量的准确性。面积，从而限制了流量的增加，影响到测量的准确性。空化对水力机械的有害作用称为空化对水力机械的有害作用称为气蚀气蚀。二、伯努利方程应用时特别注意的几个