第4章 流体运动

1、作业：作业：第第104106页，页，4-16、 4-20、 4-21、 4-24 。第第4 4章章 流体运动简介流体运动简介理想流体和稳定流动理想流体和稳定流动1. 连续性方程连续性方程:适用条件适用条件:不可压缩的流体作稳定流动不可压缩的流体作稳定流动. . S1v1=S2v2 或或 Sv=C2. 2. 伯努利方程伯努利方程21Pghconstant2 v适用条件适用条件: :理想流体做稳定流动理想流体做稳定流动. .3.3.伯努利方程的应用伯努利方程的应用空吸、小孔流速、空吸、小孔流速、 流速计和流量计流速计和流量计(2) 测量测量气体流量气体流量 的汾丘里流量计的汾丘里流量计SSpp 1

2、1222211221122气气 体体气气 体体vvvv112222212()p)pS( SS 气气体体v121222122g(hh)QS S(SS ) 液液体体气气体体Sv? 1222212g(hh2S( SS ) 液液体体气气体体4. 流量计流量计 1 2ppgh 101液液体体pp -gh 202液液体体第第2节节 黏性流体的运动黏性流体的运动the motion of viscous fluid一、牛顿黏滞定律一、牛顿黏滞定律(Newton viscosity law)1. 实验实验: 甘油在竖直圆管中的分层流动分析甘油在竖直圆管中的分层流动分析牛顿型流体：牛顿型流体：黏滞性较小的流体黏

3、滞性较小的流体 非牛顿型流体：非牛顿型流体：黏滞性大的流体黏滞性大的流体牛顿型流体以牛顿型流体以层流层流或或湍流湍流的方式流动的方式流动1.流体在各自层内流动，无径向方向速度2.流层间只是相对滑动，无混合2. 速度梯度速度梯度(velocity gradient)x x+dxvv+dvxv速度梯度：速度梯度：单位单位: s 1表示在垂直于流速方向上相距单位长度液层间的速度差表示在垂直于流速方向上相距单位长度液层间的速度差。dvdx轴壁壁v( x )3. 牛顿黏滞定律牛顿黏滞定律(Newton viscosity law):ddFSx v 与温度有关与温度有关液体液体: T , 气体气体: T,

4、 1687年，牛顿发现流层间（内磨檫力）黏性力为：年，牛顿发现流层间（内磨檫力）黏性力为：称作黏度系数称作黏度系数(coefficient of viscosity)或黏度。单位或黏度。单位: Pa s流速梯度，沿径向的流速变化率。流速梯度，沿径向的流速变化率。d vd xS 所考察的流层面积。所考察的流层面积。v+d vvxvS说明说明: :粘滞系数不但与粘滞系数不但与流体的性质流体的性质有关还与有关还与温度温度有关有关F F 牛顿黏性定理牛顿黏性定理几种流体的黏度系数几种流体的黏度系数流流 体体T(C) ( 10 3 Pas) 流流 体体 T(C) ( 10 5 Pas)水水01.792空

5、气空气01.71201.005201.82400.6561002.17酒精酒精01.77氢气氢气200.88201.192511.30蓖麻油蓖麻油17.51225.0氦气氦气201.9630122.7甲烷甲烷201.10血浆血浆371.01.4CO2201.47血清血清370.91.23202.7 流速较慢时流速较慢时，在流管中在流管中流体流体作分层流动，作分层流动，各流体质点各流体质点只只在其所处的流层上流动。在其所处的流层上流动。实例水渠中缓缓的流水水渠中缓缓的流水二、层流、湍流、雷诺数二、层流、湍流、雷诺数 1. 层流层流(Laminar flow): 在流管中在流管中各流层之间各流层之

6、间只做相对滑动而不混合只做相对滑动而不混合, ,因而在相临因而在相临的流层间产生黏性力。的流层间产生黏性力。2. 湍流湍流(turbulent flow)当流速增大到一定程度时当流速增大到一定程度时，流层破坏，流层破坏，流体质点沿径向方向相互掺合，形成流体质点沿径向方向相互掺合，形成涡涡流或湍流流或湍流。实例海水咆哮，海水咆哮， 龙卷风龙卷风牛顿型流体流动的两种方式：牛顿型流体流动的两种方式： dRev 无量纲的纯数无量纲的纯数(1) Re3000, 湍流湍流;(3) 2000Re3000, 过渡流过渡流, 两种情况均可两种情况均可.其中：流体的密度其中：流体的密度 ,流速流速v, 黏度黏度

7、，圆圆管的直径管的直径d3. 雷诺数雷诺数(Reynold number) 1883年，英国物理学家雷诺通过实验给出了年，英国物理学家雷诺通过实验给出了层流与湍流的判据，取决于层流与湍流的判据，取决于雷诺数雷诺数ABCD实验装置实验装置黏度越小的流体，越容易形成湍流黏度越小的流体，越容易形成湍流烟由层流过渡为湍流？烟由层流过渡为湍流？例例1 已知在已知在0 C时水的黏滞系数时水的黏滞系数 Pas，若保，若保证水在直径证水在直径d=2.0 10 2 m 的圆管中作稳定的层流，要求的圆管中作稳定的层流，要求水流速度不超过多少？水流速度不超过多少？ 解解 保证水在圆管中作稳定的层流，雷诺数保证水在圆

8、管中作稳定的层流，雷诺数Re应小于应小于2000，即即 3108 . 1 2000 dRevd 2000v 即水在圆管的流速小于即水在圆管的流速小于0.18 m/s时才能保持稳定的时才能保持稳定的层流。而通常水在管道中的流速约为层流。而通常水在管道中的流速约为每秒几米每秒几米，可见，可见水在管道中的流动一般都是湍流。水在管道中的流动一般都是湍流。 则则 dRev .m/s. m/s. 321 8 1020000 181000 2 0 10对理想流体对理想流体, ,力的总力的总功功= =压强做功压强做功: :12WPPV （）d d对黏性流体对黏性流体, ,力的总功力的总功= =12WPPdVd

9、Vw （）2211122211pvghpvgh22w 压强做功压强做功+ +三、黏性流体的运动规律三、黏性流体的运动规律 (the motion law of viscous fluid ) 1. 黏性流体的伯努利方程黏性流体的伯努利方程 内摩擦力做功内摩擦力做功对理想和黏性流体，均有对理想和黏性流体，均有机械能增量机械能增量2221211(vv )g(dVhdVh )2黏性流体的伯努利方程黏性流体的伯努利方程P1P2功能原理功能原理F内摩擦内摩擦单位体积流体内摩擦力消耗的功v,p,h均为截面处的平均值均为截面处的平均值1o不可压缩的不可压缩的粘性流体在水平均匀圆管中的运动粘性流体在水平均匀圆

10、管中的运动 1122hhh, vv有有wvv 222221112121 ghpghp12pp wh 1h 2h 3aaaa在水平均匀圆管中沿流体流动方向，在水平均匀圆管中沿流体流动方向，各支管压强的降落各支管压强的降落正比正比与与各支管到容器的距离各支管到容器的距离。 表示表示1 1和和2 2两点之间两点之间压强差压强差= =将单位体积流体从将单位体积流体从1 1流动到流动到2 2时内时内摩摩擦力消耗的功擦力消耗的功。122o水平管中水平管中层流时：层流时：12pp w=Fd 12讨论：讨论：123h ,h ,h ？ ？创造了用水银压力计测量狗主动创造了用水银压力计测量狗主动脉血压的方法脉血压

11、的方法研究了血液的黏滞性流动研究了血液的黏滞性流动建立了黏滞流动的泊肃叶公式建立了黏滞流动的泊肃叶公式泊肃叶泊肃叶(Poiseuille, 1778-1869) 法国医生及生理学家法国医生及生理学家 血压测量血压测量1733年英国牧师黑尔斯年英国牧师黑尔斯(R. S. Hales, 1677-1761)完成最早的血完成最早的血压测量压测量1856年医生们开始用这种方法测年医生们开始用这种方法测量人的血压量人的血压2. 泊肃叶定律泊肃叶定律(Poiseuilles law) 1流量与压强梯度流量与压强梯度(Pressure Gradient)成正比成正比; 实验结果实验结果:1842年年, 法国

12、医学家法国医学家Poiseuille研究血液在血管研究血液在血管中的流动得知中的流动得知: 理论推导理论推导: 1852年年, 维德曼维德曼(wiedmann) 推导成功推导成功, 并确并确定比例系数定比例系数, 即即 412R ( pp)QL8 泊肃叶定律内容：泊肃叶定律内容：泊肃叶为粘定律给出了黏性流体泊肃叶为粘定律给出了黏性流体在等截面水平圆管中在等截面水平圆管中作作稳定层流稳定层流时的时的流量公式流量公式。12( p)LQp 4R 2流量与管半径四次方成正比流量与管半径四次方成正比.2212( pp)( Rr)4L v泊肃叶定律推导泊肃叶定律推导: :rLrrpp2dd)(221v L

13、Rp2p1r小圆柱形流体元两端受力：小圆柱形流体元两端受力：受力分析：受力分析：F( pp ) r 212小圆柱形流体元侧面受黏性阻力：小圆柱形流体元侧面受黏性阻力：dvFSdr 流速随半径的变化关系：流速随半径的变化关系：ppdvrdrL 122分离变量，积分：分离变量，积分：ppdvrdrL 122rRv0选取选取半径为半径为r, 长度为长度为L, 与管共与管共轴圆柱形流体元。轴圆柱形流体元。 随随r变化的速度分布变化的速度分布rL 2F p2p1rdrdQvrdr 2R 0QQ?Sv LRp2p1rdrp2p1r212( pp )R ()4 Lr0 maxv半径为半径为r r处流层的流量

14、处流层的流量: :2212( pp )( Rr4 L ) )vSQdvd2212( pp )( Rr4 L2 r r d）R( pp )Q( Rr )rdrL 221202整个管中的流量整个管中的流量: :R ( pp )QL 4128黏性流体的总流量黏性流体的总流量: :圆管中平均速度圆管中平均速度: :QvSR (pp )(pp )RLRL 421222188泊肃叶定律泊肃叶定律max 12v流阻流阻(Flow Resistance)R ( pp )QL 1428 Rf 叫做叫做流阻流阻, 只决定与管的长度、半径和流体的黏度只决定与管的长度、半径和流体的黏度.串联串联:并联并联: 21ff

15、fRRR串串 21111fffRRR并并流阻的串并联流阻的串并联: :fppR 12fLRR 48牛顿粘性流体在均匀水平管中流动时，流量与管两端的压强牛顿粘性流体在均匀水平管中流动时，流量与管两端的压强差成正比，与流阻成反比。差成正比，与流阻成反比。单位单位: :Pas/m3流阻流阻S2S1S3v1v2v3123“2”和和“3”之间为并联关系之间为并联关系UIR 例例2 设主动脉半径设主动脉半径R=1.3010 2 m，其中血液流量，其中血液流量Q=1.0010 4 m3/s；某一支小动脉半径为主动脉的；某一支小动脉半径为主动脉的一半一半，其中血液流量为主动，其中血液流量为主动脉流量的脉流量的

16、五分之一五分之一；已知血液黏度；已知血液黏度 =3.0010 3 Pas。 分别求主分别求主动脉和小动脉在动脉和小动脉在L=0.10 m一段长度上的流阻和压强降落。一段长度上的流阻和压强降落。 解解 （1）根据流阻定义和泊肃叶定律，主动脉流阻和压强降落）根据流阻定义和泊肃叶定律，主动脉流阻和压强降落为为 （2 2）小动脉的流阻和压强降落分别为）小动脉的流阻和压强降落分别为3434234s/mPa1068. 2s/mPa)1030. 1(14.10. 01000. 388 RLRf Pa 68. 2Pa1068. 21000. 144 fRQp353f442318 L83.00100.10RPa

17、 s/m4.2810 Pa s/m.14().30R102 Pa 56. 8Pa 1028. 410500. 154 fRQpfLRR 48fppQR123. 斯托克斯定律斯托克斯定律(Stokes Law)物体在粘滞流体中的运动物体在粘滞流体中的运动 1845 1845年年, ,英国物理学家斯托克斯研究小球在牛英国物理学家斯托克斯研究小球在牛顿型粘滞流体中的运动时得出结论顿型粘滞流体中的运动时得出结论: :球体在沉降过程中黏性阻力球体在沉降过程中黏性阻力: f = 6 rv条件条件: 物体下落物体下落v 较小或线度很小，较小或线度很小，ReF+f, 加速下降加速下降 后后 来来: v, f

18、mgFf最最 终：小球匀速运动终：小球匀速运动斯托克斯定律mg(2) 讨论小球在流体中的运动规律：讨论小球在流体中的运动规律：收尾速度收尾速度(terminal velocity)2T2gr ( )9 v应用应用: : 小球的密度小球的密度 流体的密度流体的密度测量小球的半径（密立根油滴实验）测量小球的半径（密立根油滴实验） 的测量的测量 例例3. 如果土壤颗粒匀速下沉的距离为如果土壤颗粒匀速下沉的距离为s = 0.150 m所用时间所用时间t = 67s, 80时土壤颗粒的密度时土壤颗粒的密度= 2.65103 kgm-3水的密水的密度度0= 9.982102 kgm-3时黏度系数时黏度系数 = 1.005103 Pas ，求求: 土壤颗粒半径？土壤颗粒半径？解解: :3Tsv2.23 10t 509 vr2.501250mm=2()g 第4章结束 2黏滞流体在半径为黏滞流体在半径为r的水平管中流动，其体积流的水