《直线与圆的方程的应用》参考课件1

1、直线与圆有几种位置关系？给出直线方程和直线与圆有几种位置关系？给出直线方程和圆的方程你怎样确定它们之间的关系呢？圆的方程你怎样确定它们之间的关系呢？lll直线与圆的方直线与圆的方程有哪些应用？程有哪些应用？ 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间，建造时每间隔隔4m4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A A2P P2的高度的高度( (精精确到确到0.01m). 0.01m). O OA AA A1 1 A A2 2 A A3 3 A A4 4 B

2、 BP P2 2P Px xy y解：解： 建立直角坐标系，使圆心在建立直角坐标系，使圆心在y y轴上轴上. .设圆心的坐标是设圆心的坐标是(0(0，b)b)，圆的半径是，圆的半径是r r，那么，那么圆的方程是：圆的方程是：x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 因为点因为点P P，B B在圆上，所以它们在圆上，所以它们的坐标的坐标(0(0，4)4)，B(10B(10，0)0)都都满足圆的方程满足圆的方程. .于是得到方程组于是得到方程组0 02 2+(4-b)+(4-b)2 2=r=r2 2, , 10102 2+(0-b)+(0-b)2 2=r=r2 2, , 解：解：x

3、 x2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.5=14.52 2, , 解得：解得：b=-10.5b=-10.5，r r2 2=14.5 =14.5 所以圆的方程所以圆的方程: : 将的将的P P2 2横坐标横坐标x=-2x=-2代入方程，代入方程， (-2)(-2)2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.5=14.52 2, , 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间，建造时每间隔隔4m4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑

4、，求支柱A A2P P2的高度的高度( (精确精确到到0.01m). 0.01m). O OA AA A1 1 A A2 2 A A3 3 A A4 4 B BP P2 2P Px xy y所以：所以：14.36-10.5 14.36-10.5 =3.86(m). =3.86(m). 答：支柱答：支柱A A2 2P P2 2的高度为的高度为3.86m. 3.86m. 即：即：y+10.5= 14.5y+10.5= 14.52 2-(-2)-(-2)2 2 y= 14.5y= 14.52 2-(-2)-(-2)2 2-10.5 -10.5 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个如图是某圆拱形桥一

5、孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间，建造时每间隔隔4m4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A A2P P2的高度的高度( (精确精确到到0.01m). 0.01m). 解：解： O OA AA A1 1 A A2 2 A A3 3 A A4 4 B BP P2 2P Px xy y已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半一半. . 以四边形以四边形ABCDABCD互相垂直的对互相

6、垂直的对 角线角线CACA、DBDB所在直线分别为所在直线分别为 x x轴、轴、y y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系. . 证明：证明：设设A(aA(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c，0)0)，D(0D(0，d). d). 过四边形过四边形ABCDABCD的外接圆的圆的外接圆的圆心心O 分别作分别作ACAC、BDBD、ADAD的垂的垂线，垂足分别为线，垂足分别为M M、N N、E E，则，则M M、N N、E E分别是线段分别是线段ACAC、BDBD、ADAD的中点的中点. .x xy yo oA AB BC CD DM MN NE EOO. .已知内接于圆的四边形的对

7、角线互相垂直，已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半一半. .x xy yo oA AB BC CD DM MN NE EOO. .解：由线段的中点的坐标公式，得解：由线段的中点的坐标公式，得 x xO O =x=xM M= = , , a+ca+c 2 2y yO O =y=yN N= = , , b+db+d 2 2x xE E= = , , a a2 2y yE E= = d d2 2所以所以|O|O E|= |BC|. E|= |BC|. 1 12 2所以所以|O|O E|E|= =1 12 2b b2

8、 2+c+c2 2 = =|BC|= b|BC|= b2 2+c+c2 2 , , 又因为又因为a a2 2c c2 2a a2 2b b2 2d d2 2d d2 2+ + +- -+ + - -2 22 2用坐标法解题的一般步骤是什么？用坐标法解题的一般步骤是什么？ 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和 方程表示问题中的几何元素，将平面几方程表示问题中的几何元素，将平面几 几何问题转化为代数问题几何问题转化为代数问题. .第二步：通过代数运算，解决代数问题第二步：通过代数运算，解决代数问题. .第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果“翻

9、译翻译”成几何结论成几何结论. .赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m37.4m，圆拱高约为，圆拱高约为7.2m7.2m，求，求这座圆拱桥的拱圆的方程这座圆拱桥的拱圆的方程. . 解：解：建立如图所以的直角坐标系建立如图所以的直角坐标系|OP|=7.2m|OP|=7.2m，|AB|=37.4m.|AB|=37.4m. 即有即有A(-18.7A(-18.7，0)0)，B(18.7B(18.7，0)0)，P(0P(0，7.2).7.2).设所求圆的方程是设所求圆的方程是(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 于是有于是有(a+18.7)(a+18.7)2 2+b+

10、b2 2=r=r2 2, ,(a-18.7)(a-18.7)2 2+b+b2 2=r=r2 2, ,a a2 2+(b-7.2)+(b-7.2)2 2=r=r2 2. .解此方程组，得：解此方程组，得：a=0a=0，b=-20.7b=-20.7，r=27.9 r=27.9 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是：所以这座圆拱桥的拱圆的方程是：x x2 2+(y+20.7)+(y+20.7)2 2=27.9=27.92 2(0y7.2)(0y7.2)x xy yA AB BP PC CO O. .赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m37.4m，圆拱高约为，圆拱高约为7.2m7.2m，求，求这座圆拱桥的拱

11、圆的方程这座圆拱桥的拱圆的方程. . 某圆拱桥的水面跨度某圆拱桥的水面跨度20m20m，拱高，拱高4m.4m.现有一船，现有一船，宽宽10m10m，水面以上高，水面以上高3m3m，这条船能否从桥下通过？，这条船能否从桥下通过？解：解：建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系依题意有：依题意有：A(-10A(-10，0)0)，B(10B(10，0)0)，设所求圆的方程是设所求圆的方程是(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 (a+10)(a+10)2 2+b+b2 2=r=r2 2, ,(a-10)(a-10)2 2+b+b2 2=r=r2 2, ,a a

12、2 2+(b-4)+(b-4)2 2=r=r2 2. .a=0a=0，b=-10.5b=-10.5，r=14.5.r=14.5.P(0P(0，4)4)，D(-5D(-5，0)0)，E(5E(5，0). 0). 解此方程组，得：解此方程组，得：于是有于是有解此方程组，得：解此方程组，得： O OA AD D E E B Bx xy yG G F F C C. .P P某圆拱桥的水面跨度某圆拱桥的水面跨度20m20m，拱高，拱高4m.4m.现有一船，现有一船，宽宽10m10m，水面以上高，水面以上高3m3m，这条船能否从桥下通过？，这条船能否从桥下通过？解：解：建立如图所示的直角坐标系建立如图所示

13、的直角坐标系所以这座圆拱桥的拱圆的方程是：所以这座圆拱桥的拱圆的方程是：x x2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.5=14.52 2(0y4)(0y4)把点把点D D的横坐标的横坐标x=-5x=-5代入上式，代入上式，由于船在水面以上高由于船在水面以上高3m3m，所以该船可以从桥下穿过所以该船可以从桥下穿过. . 得得y=3.1.y=3.1.3 33.13.1，于是有于是有解此方程组，得：解此方程组，得： O OA AD D E E B Bx xy yG G F F C C. .P P等边等边ABCABC中，点中，点D D，E E分别在边分别在边BCBC，ACAC上，且上，

14、且|BD|= |BC|BD|= |BC|，|CE|= |CA|CE|= |CA|，ADAD，BEBE相交于点相交于点P P，求证：求证：APCP.APCP.1 13 31 13 3则有：则有：A AE P B BD D C Cx xy yO OA(3A(3，3 3)3 3)，B(0B(0，0)0)，C(6C(6，0)0)，由已知，得由已知，得D(2D(2，0)0)，E(5E(5， 3).3).直线直线ADAD的方程为的方程为y=3 3(x-2).y=3 3(x-2).直线直线BEBE的方程为的方程为y= (x-5)+ 3 .y= (x-5)+ 3 . 3 35 5以以B B为原点，以为原点，以

15、BCBC所在的直线为所在的直线为x x轴，线段轴，线段BCBC长的长的 为单位长，建立如图所示的坐标系为单位长，建立如图所示的坐标系. .1 16 6证明：证明： 等边等边ABCABC中，点中，点D D，E E分别在边分别在边BCBC，ACAC上，且上，且|BD|= |BC|BD|= |BC|，|CB|= |CA|CB|= |CA|，ADAD，BEBE相交于点相交于点P P，求证：求证：APCP.APCP.1 13 31 13 3A AE E P P B BD D C C x xy yO O证明：以上两个方程联立成的方程组，证明：以上两个方程联立成的方程组，得得 x= ,x= ,1515 7 73 37 73 3y= . y= . 所以，所以，APCP.APCP.所以，点所以，点P P的坐标是的坐标是( ,( , ). ).1515 7 73 37 73 3直线直线PCPC的斜率的斜率K KPCPC=- =- . . 3 39 9因为因为K KADAD K KPCPC=3 3=3 3 ( )=-1( )=-1 3 39 9- -船行前方的航道上有一座圆拱桥，在正常水位船行前方的航道上有一座圆