建筑力学第5章圆轴扭转

1、第第5 5章章 圆圆 轴轴 扭扭 转转ABOMe Me OBA 精品资料5-1 5-1 扭转扭转(nizhun)(nizhun)概念和工概念和工程实例程实例1 1、螺丝刀杆工作、螺丝刀杆工作(gngzu)(gngzu)时受扭。时受扭。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例精品资料2 2、汽车、汽车(qch)(qch)方向盘的转动轴工作时受扭。方向盘的转动轴工作时受扭。精品资料3 3、机器、机器(j q)(j q)中的传动轴工作时受扭。中的传动轴工作时受扭。精品资料二、扭转二、扭转(nizhun)(nizhun)的的概念概念受力特点：杆两端作用着大小相等、方向

2、受力特点：杆两端作用着大小相等、方向(fngxing)(fngxing)相反的力相反的力偶，且力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生主要发生扭转变形扭转变形的杆的杆轴轴。Am Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶em精品资料未知：未知：M已知：转速已知：转速(zhun s) n,功率功率Nm)(NnNnNm95491030330)(nmmdtdmdtmddtdWN一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算(j (j sun)sun) 设：设：轴的转速轴的转速 n 转分转分 (rmin) ，其

3、中其中某一轮传输的功率某一轮传输的功率为：为： N 千瓦千瓦( KW ） 实际作用于该轮的外力偶矩实际作用于该轮的外力偶矩 m ，则，则5 5-2-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩计算式外力偶矩计算式1Ps（公制马力）=0.735千瓦(KW) M=7024N(马力)/n精品资料mm0, 0mTmx T1 1、扭转、扭转(nizhun)(nizhun)杆件的内力（杆件的内力（截面法）截面法）xmmmT Tx取右段为研究取右段为研究(ynji)(ynji)对象：对象：0, 0TmmxmT 取左段为研究对象：取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力二、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图扭

4、矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩内力偶矩称为称为扭矩扭矩，用符号，用符号T 表示。表示。精品资料2 2、扭矩的符号、扭矩的符号(fho)(fho)规定：按右手螺旋法则判断。规定：按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之(fnzh)(fnzh)为负值。为负值。T+T T精品资料3 3、内力图（扭矩图）：、内力图（扭矩图）： 表示构件表示构件(gujin)(gujin

5、)各横截面扭矩沿轴线变化的各横截面扭矩沿轴线变化的图形。图形。扭矩图作法扭矩图作法(zu f)(zu f)：同轴力图：同轴力图：例例 已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 N1=500kW，从动轮输，从动轮输出出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，试绘制扭矩图。，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4精品资料 15.9(kN.m)m)(N1015.930050095499549311nNm4.78(kN.m)m)(N 1078. 4300150954995493232nNmm6.37(kN.m)m)(N10 37.

6、630020095499549344nNm求扭矩（扭矩按正方向求扭矩（扭矩按正方向(fngxing)设）设）解：解：计算计算(j sun)外力外力偶矩偶矩nNm9549n =300r/min，输入，输入 N1=500kW，输，输出出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kWnA B C Dm2 m3 m1 m4精品资料nm2 m3 m1 m433A B C D1122T1T2T39.56xT（kN.m）4.786.37 , 0 , 0322mmTmx , 0, 0m34xTm0 , 021mTmx绘制绘制(huzh)扭矩扭矩图图BC段为危险段为危险(wixin)截截面。面。m43m

7、2m2mmkN78. 4 21mT1-1截面：截面：2 - 2截面：截面：mkN56. 9 322mmT3 - 3截面：截面：mkN37. 6T43 m精品资料（m轴单位轴单位(dnwi)长度内的扭力偶长度内的扭力偶矩）矩）例例 试分析试分析(fnx)(fnx)图示轴的图示轴的扭矩扭矩)(xlmT 表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x 曲线）扭矩图曲线）扭矩图截面法求扭矩截面法求扭矩T精品资料 例例6.3 传动轴如图示，主动轮传动轴如图示，主动轮A输入功率输入功率PA=120kW，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别输出功率分别(fnbi)为为PB=30kW，PC

8、=40kW，PD=50kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min。试作出该轴的扭矩图。试作出该轴的扭矩图。 解解 （1） 计算计算(j sun)外力外力偶矩偶矩 m3.82kNm3819.6NmN30012095499549nPMAeAm0.95kNeBMm1.27kN eCMm1.59kNeDM精品资料T1T2 1 1 2 2 （2）计算）计算(j sun)扭矩扭矩 截面截面1-1：0 xM01eBMTm95kN. 01eBMT截面截面(jimin)2-2：02eAeBMMTm2.87kN2eBeAMMT0 xM精品资料3 3 截面截面(jimin)3-3：0 xM03eDMTm1.59k

9、N3eDMT0.952.871.59 m)kN(TT3mkN87. 2maxT3. 绘制绘制(huzh)扭矩图扭矩图AC段为危险截面。段为危险截面。精品资料一、圆轴扭转一、圆轴扭转(nizhun)(nizhun)时横截面上的应力（超静定问题时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：由实验几何关系：由实验(shyn)(shyn)找出变形规律找出变形规律应变的变化应变的变化规律规律1 1、实验：、实验：5-3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力和应变和应变2 2、变形规律：、变形规律： 圆周线圆周线形状、大小、间距不形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一变，各圆周线只是绕轴线

10、转动了一个不同的角度。个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。，小方格变成了平行四边形。精品资料3 3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距小、间距(jin j)(jin j)不变，半径仍为直线。不变，半径仍为直线。4 4、定性分析、定性分析(dngxngfnx)(dngxngfnx)横截面上的应力横截面上的应力00（1）00（2）因为同一圆周上切应变相同，所以因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。

11、方向垂直于其半径方向。（实心截面）（实心截面）5 5、切应变（角应变）：直角角度、切应变（角应变）：直角角度的改变量。的改变量。精品资料取一微小取一微小(wixio)的六面体的六面体精品资料 上式表明：在互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小(dxio)相等，方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两平面的交线。这种关系称为切应力互等定理。 纯剪切应力状态纯剪切应力状态精品资料和和作用下，单元体的直角发生作用下，单元体的直角发生(fshng)(fshng)微小的改变微小的改变称为切应变称为切应变。 当切应力不超过材料的剪切比例当切应力不超过材料的剪切比例极限时（极限时（p)，切应力与切

12、应变成，切应力与切应变成正比关系正比关系(gun x)，称为剪切胡克定，称为剪切胡克定律。律。 G 比例常数比例常数G称为材料的称为材料的切变模量切变模量，它反映材料抵抗剪切变形，它反映材料抵抗剪切变形的能力。单位的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。，其数值可由试验测得。psb精品资料观察观察(gunch)(gunch)变形变形应力分布应力分布(fnb)(fnb)规律规律应力和变形公式应力和变形公式物理关系物理关系静力学关系静力学关系5-4 圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的切应力和强度条件切应力和强度条件 精品资料1 1、几何变、几何变形形(bin (bin xng)xng)规律规

13、律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究为研究(ynji)对对象象微段扭转变微段扭转变形形 d DA点处的切应变点处的切应变a点处的切应变点处的切应变一、切应力一、切应力精品资料dxd二）物理二）物理(wl)(wl)关关系：系： 弹性范围内弹性范围内PmaxG GdxdG方向方向(fngxing)(fngxing)垂垂直于半径。直于半径。d / / dx扭转角变化率，同一横扭转角变化率，同一横截面为常数截面为常数psb精品资料 扭转扭转(nizhun)(nizhun)切切应力分布应力分布（实心（实心(shxn)截面）截面）（空心截面）（空心截面）dxd

14、dxdG精品资料三）静力关系三）静力关系(gun x)(gun x)：AdAATAdAIApd2令xGI Tpdd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pIT圆轴扭转圆轴扭转(nizhun)(nizhun)时横截面上任一点的切应力时横截面上任一点的切应力计算式。计算式。pGITx dd dAdAdAAxGAddd 2AxGAddd2OA扭转变形计算式扭转变形计算式dxdG?dxd精品资料横截面上横截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面抗扭截面(jimin)模量，模量，整个整个(zhngg)(zhngg)圆轴上圆轴上等直杆：等直杆：PWTmaxmaxI Ip p截面的极

15、惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定44, mmm.,33mmm单位单位：maxpPIW PWpIT圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式: :精品资料pIT横截面上距圆心横截面上距圆心(yunxn)(yunxn)为为 处任一点切应力计处任一点切应力计算公式。算公式。讨论：讨论： 1 1）仅适用于各向同性）仅适用于各向同性( xin tn xn)( xin tn xn)、线弹性材料，在小、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。变形时的等圆截面直杆。 2 2）式中：）式中：T横截面上的扭矩。横截面上的扭矩。 该点到圆心的

16、距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 3 3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是I Ip p值不同。值不同。精品资料（实心（实心(shxn)(shxn)截面截面）（空心（空心(kng (kng xn)xn)截面）截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。精品资料四、圆截面四、圆截面(jimin)(jimin)的极惯性矩的极惯性矩 Ip Ip 和抗扭截面和

17、抗扭截面(jimin)(jimin)系数系数WpWpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心实心(shxn)(shxn)圆截面：圆截面：Odd精品资料223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心空心(kng xn)(kng xn)圆截面：圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd四、圆截面四、圆截面(jimin)(jimin)的极惯性矩的极惯性矩 Ip Ip 和抗扭截面和抗扭截面(jimin)(jimin)系数系数WpWp精品资料注意：对于空心注意：对于空心(kng (kng xn)xn)圆截面圆截面33p16dDW

18、44p32dDIDdOd精品资料 例例11-3 图示的阶梯圆轴。图示的阶梯圆轴。AB段直径段直径(zhjng)d1=120mm，BC段直径段直径(zhjng)d2=100mm，外力偶矩，外力偶矩MeA=22kNm，MeB=36kNm，MeC=14kNm。试求该轴的最大切应力。试求该轴的最大切应力。 解（解（1）作扭矩图）作扭矩图 用截面用截面(jimin)法求得法求得AB段、段、BC段的扭矩分别为段的扭矩分别为 T1=MeA=22kNm T2=MeC=14kNm 作出该轴的扭矩图如图示。作出该轴的扭矩图如图示。 精品资料 (2) 计算最大切应力计算最大切应力(yngl) 由扭矩图可知，由扭矩图

19、可知，AB段的扭矩较段的扭矩较BC段的扭矩大，但因段的扭矩大，但因BC段轴径段轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力(yngl)。 AB段：段： 64.8MPaMPa20116102236P11maxWTBC段：段： 71.3MPaMPa00116101436P22maxWT 比较上述结果，该轴最大切应力比较上述结果，该轴最大切应力(yngl)位于位于BC段内任一截面的边段内任一截面的边缘各点处，即该轴最大切应力缘各点处，即该轴最大切应力(yngl)为为max=71.3MPa。 精品资料mN1993605 . 795509550nNmm

20、N199 mT441cm95. 732DIP4442cm38. 632dDIPMPa5 .37Pa105 .372611maxPPACACWTDIT外外MPa8 .46Pa108 .462622maxPPCBCBWTDIT外外解：（解：（1 1）计算）计算(j sun)(j sun)外力偶矩、扭外力偶矩、扭矩矩由截面(jimin)法（2）计算极惯性矩）计算极惯性矩 , AC段和段和CB段段横截面的极惯性矩分别为横截面的极惯性矩分别为 （3 3）计算应力）计算应力 minr/360n，kW5 . 7Ncm3Dcm2d例例 AB轴传递的功率为轴传递的功率为，转速，转速 。 如图所示，轴如图所示，轴

21、AC段为实心圆截面，段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。段为空心圆截面。已知已知。试计算试计算AC以及以及CB段的最大切应力。段的最大切应力。精品资料1 1、强度、强度(qingd)(qingd)条条件：件：2 2、强度、强度(qingd)(qingd)条件应用：条件应用：1 1）校核强度）校核强度(qingd):(qingd): .)1 (16,16433空心空心实心实心DDWP5 5-5 -5 扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算PWTmaxmax PWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外载荷）确定外载荷: :maxTPWm一、一、 扭转强度计算

22、扭转强度计算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :精品资料例例 已知已知 T =1.5 kN . mT =1.5 kN . m，t = 50 MPat = 50 MPa，试根据强度条件，试根据强度条件设计设计(shj)(shj)实心圆轴与实心圆轴与 a = 0.9 a = 0.9 的空心圆轴。的空心圆轴。解：解：1. 1. 确定实心确定实心(shxn)(shxn)圆轴圆轴直径直径 316dT 316 Td mm d 54实实心心轴轴取取：m .Pa)(mN.053501050)1051 (16363max 163maxdT 2.

23、2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1 (1643DT mm 3 .76)1 (1634TD43p116DWmm7 .68Dd mm d mm D 6876，取取：3. 3. 重量比较重量比较%5 .394)(4222ddD空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻精品资料解：1. 计算(j sun)扭矩作扭矩图例 R050 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，试校核(xio h)圆管强度。精品资料2. 2. 强度强度(qingd)(qingd)校核校核危险危险(wixin

24、)截面：截面：1202 RTAA 2202 RTBB 截面截面 A 与与 BMPa 6 .442120 RmlMPa 9 .2722220 Rml圆管强度足够圆管强度足够例 R050 mm的薄壁圆管，左、右的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为段的壁厚分别为 1 1 5 5 mm， 2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，试校核圆管强度。试校核圆管强度。解：解：1. 1. 计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图精品资料BC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、计算轴横截面上的最大切应、

25、计算轴横截面上的最大切应力力(yngl)(yngl)并校核强度并校核强度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80该轴满足该轴满足(mnz)强度条件。强度条件。2214T图（kNm）MA MBMC ACB例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解： 1 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图精品资料 例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径(zhjng)分别为d140，d2

26、70，。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度。 阶梯形圆轴阶梯形圆轴 解解（1）作出扭矩图（见图）作出扭矩图（见图b） （2）强度校核）强度校核 由于由于(yuy)AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于此，对于AC 段轴和段轴和BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核。都要进行校核。0.62kNm1.43kNm精品资料AC 段段 MPaMPadWT604 .4910)40(1610621. 01610621

27、. 09333max31MPaMPadWT602 .2110)70(161043. 1161043. 19333max32BD 段段 计算计算(j sun)结果表明，轴的强结果表明，轴的强度足够度足够阶梯形圆轴阶梯形圆轴 0.62kNm1.43kNm 例 有一阶梯形圆轴，轴的直径分别为d140，d270，。已知T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料(cilio)的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度。 精品资料在常温静载下，材料的扭转许用切应力与拉伸许用正应力在常温静载下，材料的扭转许用切应力与拉伸许用正应力之间有如下之间有如下(rxi)关系：关

28、系： 塑性材料塑性材料 =（0.50.577） 脆性材料脆性材料 =许用切应力许用切应力(yngl) n011.511.5圆轴扭转的强度条件及其应用圆轴扭转的强度条件及其应用 精品资料强度强度(qingd)(qingd)条条件：件：对于对于(duy)(duy)等截面圆等截面圆轴：轴：maxmaxWT强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷：maxmaxWTmaxTW maxWT精品资料 例例11.6 一实心圆轴，承受一实心圆轴，承受(chngshu)的最大扭矩的最大扭矩Tmax=1.5kNm，轴的直径，轴的直径d1=53m

29、m。求：（。求：（1）该轴横截面上）该轴横截面上的最大切应力。（的最大切应力。（2）在扭转强度相同的条件下，用空心轴代替）在扭转强度相同的条件下，用空心轴代替实心轴，空心轴外径实心轴，空心轴外径D2=90mm时的内径值。（时的内径值。（3）两轴的重量之）两轴的重量之比。比。 解解 (1) 求实心轴横截面上的最大切应力求实心轴横截面上的最大切应力(yngl) 实心轴抗扭截面系数实心轴抗扭截面系数343331Pmm102.92mm163516dW实心轴横截面上的最大切应力实心轴横截面上的最大切应力51.4MPaMPa102.92101.546PmaxmaxWT精品资料 (2) 求空心轴的内径求空心

30、轴的内径 因为要求因为要求(yoqi)实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最大切应力相等，即最大切应力相等，即 51.4MPamaxmax161432maxmaxmaxDTWTP945. 051.409101.51611614364max32maxDT22Dd所以，空心所以，空心(kng xn)轴的内径为轴的内径为 85mm90mm0.94522Dd精品资料 (3) 求两轴的重量求两轴的重量(zhngling)比比 因为两轴的长度和材料都相同，故二者重量因为两轴的长度和材料都相同，故二者重量(zhngling)之比等于面积之比，即之比等于面积之比，即 3

31、11. 0355809222212222ddDAA 以上以上(yshng)计算结果表明，在扭转强度相等的情况下，计算结果表明，在扭转强度相等的情况下，空心轴的重量比实心轴轻得多，因此采用空心轴较合理，即空心轴的重量比实心轴轻得多，因此采用空心轴较合理，即可节省材料，又能减轻轴的自重。可节省材料，又能减轻轴的自重。 精品资料一、扭转一、扭转(nizhun)(nizhun)变形：（相对扭变形：（相对扭转转(nizhun)(nizhun)角）角）PGITdxddxGITLP扭转扭转(nizhun)(nizhun)角单位：弧度角单位：弧度（radrad） GIP GIP抗扭刚度。抗扭刚度。dxGITd

32、PpGITlpiiiGIlT单位长度的扭转角单位长度的扭转角mrad二、二、 扭转杆的变形和刚度计算扭转杆的变形和刚度计算扭转变形与内力计算式扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴PGITdxd各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴精品资料 # 图示阶梯圆杆，如各段材料也图示阶梯圆杆，如各段材料也不同，不同，AB 两截面的相对扭转角为两截面的相对扭转角为： # 图示等直圆杆受分布扭矩图示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，作用，t 的单位为的单位为 。N m m 13nniiA BipiMlnG I T 从中取从中取 dx 段，段，dx 段两相邻截面段两相邻截面的扭转角为：的

33、扭转角为： npMx dxdGI TAB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为： nllpMx dxdGI T精品资料 从中取从中取 dx 段，该段相邻段，该段相邻(xin ln)两截两截面的扭转角为：面的扭转角为： # 图示为变截面圆杆，图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2 。 dxxGITdP)(AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为： dxxGITdLPL)(精品资料单位长度的扭转角单位长度的扭转角mradPGITdxd 圆轴受扭时，除满足圆轴受扭时，除满足(mnz)(mnz)强度条件外，还须满足强度条件外，还须满足(mnz)(mnz)一定的刚一定的刚度要求

34、。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值度要求。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值圆轴受扭时刚度条件圆轴受扭时刚度条件(tiojin)可写作可写作 )(maxmaxmax）或（PPGITGIT 0maxmax180)(PGITm3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度； max max pGMIn3)3)、确定外载荷、确定外载荷: :2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸: : maxpnGIMm三、三、 扭转杆的刚度计算扭转杆的刚度计算精品资料例例 已知：已知：MA = 180 N.mMA = 180 N.m， MB = 320 N

35、.mMB = 320 N.m， MC = 140 N.mMC = 140 N.m，Ip= Ip= 3 3105 mm4105 mm4，l = 2 ml = 2 m，G = 80 GPaG = 80 GPa，q = 0.5 (q = 0.5 ()/m )/m 。jAC=? jAC=? 校核校核(xio h)(xio h)轴的刚度轴的刚度解：解：1. 1. 内力内力(nil)(nil)、变形分析、变形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCABAC rad 1033. 01017. 1101.502

36、-2-22. 2. 刚度校核刚度校核p111ddGITxp222ddGITxp11maxmaxdd GITx故故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180412-59max轴的刚度足够精品资料例例 试计算试计算(j sun)(j sun)图示圆锥形轴的总扭转角图示圆锥形轴的总扭转角解：解：32)()(4pxdxI MT lxxdddGM0 4121d2132 32311211)-(332ddddGMlxldddxd121)( lxxGITd )( p 精品资料例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外的作用，杆

37、的内外(niwi)径之比为径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。相对于左端面的转角。解解：1.作扭矩图作扭矩图L-x)(20)()(xLxLmxT)(40220maxmNTTx40 116D max43TWp）（2.2.设计设计(shj)(shj)杆杆的外径的外径314max 116）（TDmaxpWT精品资料 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m =20 Nm/m的作用，杆的内外径的作用，杆的内外径之比为之比

38、为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆，试设计杆的外径；若的外径；若 =2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面，试校核此杆的刚度，并求右端面(dunmin)相对于左端面相对于左端面(dunmin)的转角。的转角。L-xTx40代入数值得：代入数值得： D 0.0226m。314max 116）（TD3. 3. 由扭转由扭转(nizhun)(nizhun)刚度条件校刚度条件校核刚度核刚度180maxmaxPGIT)1 (108018040324429D m/89. 1刚度足够刚度足够精品资料 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20

39、 Nm/m的作用，杆的内外的作用，杆的内外(niwi)径之比为径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 MPa，试，试设计杆的外径；若设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。于左端面的转角。L-xTx404. 4. 右端面右端面(dunmin)(dunmin)转角为：转角为：LPdxGIxT0)(LPdxGIxLm0)(PGImL22弧度）( 033. 0精品资料例例 实心圆轴受力如图示，已知材料的实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径试设计轴的直径 D 。 980,0.3,80 10MPam

40、 GPa 扭矩图扭矩图解解 （一）绘制扭矩图如图。（一）绘制扭矩图如图。 （二）由强度（二）由强度(qingd)条件设计条件设计 D 。 解得：解得： 66Dmm （三）由刚度（三）由刚度(n d)条件设计条件设计 D 。 解得：解得： 102Dmm 从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。 mKNT5 . 4maxmaxmaxpWT 16D max3TWp180maxmaxPGIT 18032D max4GTIp精品资料 例例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径所

41、示。轴的直径(zhjng)分别为分别为d140mm，d270mm。已知作用在轴上的外力偶矩分别为。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62 kNm，T20.81 kNm，T31.43 kNm。材料的许用切应力。材料的许用切应力t =60 MPa，G8104 MPa，轴的许用单位长度扭转角为，轴的许用单位长度扭转角为2/m，试校核该轴的强度和刚度。，试校核该轴的强度和刚度。 解（解（1 1）作出扭矩图）作出扭矩图 （2）强度校核）强度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于此，对于(duy)AC 段轴和段轴和

42、BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核。都要进行校核。0.62 kNm1.43 kNm精品资料AC 段段MPaMPadWMn604 .4910)40(1610621. 01610621. 09333max31MPaMPadWMn602 .2110)70(161043. 1161043. 19333max32BD 段段 （3 3）刚度）刚度(n d)(n d)校核校核AC 段段 mmGIMon/2/77. 118010)40(32101081062. 0124643maxmmGIMoon/2/434. 018010)70(32101081043. 1124643maxBD 段段 计算结果表明，轴

43、的强度和刚度计算结果表明，轴的强度和刚度(n d)是足够的。是足够的。0.62 kNm1.43 kNm精品资料例 试求图示轴两端(lin dun)的反力偶矩解解: : 受力分析受力分析, ,建立建立(jinl)(jinl)平衡方程平衡方程(a) 0 , 0MMMMBAx未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定四、扭转超静定问题四、扭转超静定问题变形分析,列变形协调方程0 CBACAB (b) 0bMaMBA联立求解方程(a)与(b) baMaMbaMbMBA ，p1GIaTAC p)(GIaMA p2GIbTCB pGIbMB 建立补充方程代入上式精品资料例例 长为长为 L=2 m 的圆杆受均

44、布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用的作用(zuyng)，如图，如图，若杆的内外径之比为，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，试，试求：固定端的反力偶。求：固定端的反力偶。解：杆的受力图解：杆的受力图(lt)(lt)02mmmBA几何方程：几何方程：0BA 物理方程：物理方程：LPBAdxGIxT0)(精品资料mN 20 AM 由平衡(pnghng)方程得：另另: :此题可由对称性直接此题可由对称性直接(zhji)(zhji)求得结果。求得结果。mN 20BMxLPBAdxGIxT0)(0)(AMmxxT0 xmmxMxTA)(x

45、MA202020dxGIxMPA0402PAGIM0BA02mmmBA平衡方程平衡方程几何方程几何方程)(xTxAM精品资料7-6 7-6 圆轴扭转破坏圆轴扭转破坏(phui)(phui)分析分析低碳钢试件：沿横截面断开低碳钢试件：沿横截面断开(dun ki)。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的螺旋线的螺旋线断开。断开。 材料抗拉能力差，构件材料抗拉能力差，构件沿沿4545斜截面因拉应力而破坏（斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。脆性材料）。 材料抗剪切能力差，构件沿横材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏截面因切应力而发生破坏( (塑性材塑性材料）；料）；精品资

46、料 x分析方法分析方法取单元体（单元体上的应力取单元体（单元体上的应力(yngl)认为是均匀分布的）认为是均匀分布的）精品资料, 0n, 0t2sin2cos设：设：ef 边的面积边的面积(min j)为为 dA 则则 xntefbeb 边的面积边的面积(min j)为为dAcosabf 边的面积为边的面积为dAsin 0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0 精品资料 若材料若材料(cilio)(cilio)抗拉压能力差，构件沿抗拉压能力差，构件沿4545斜截面发生破坏（脆性材料斜截面发生破坏（脆性材料(cilio)(cilio)）。）。结

47、论结论(jiln)(jiln)： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！横截面上！精品资料7-7 7-7 矩形截面矩形截面(jimin)(jimin)杆的自由扭转杆的自由扭转常见的非圆截面(jimin)受扭杆为矩形截面(jimin)杆和薄壁杆件圆杆扭转时圆杆扭转时 横截面保持为平面；横截面保持为平面；非圆杆扭转时非圆杆扭转时横截面由平面变为横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。曲面（发生翘曲）。精品资

48、料非圆截面杆扭转的研究方法：弹性(tnxng)力学的方法研究非圆截面杆扭转(nizhun)的分类：1 1、自由扭转（纯扭转），、自由扭转（纯扭转），2 2、约束扭转、约束扭转。自由扭转自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。任意两相邻截面翘曲程度相同。应力特点：应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。横截面上正应力等于零，切应力不等于零。约束扭转约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。曲程度不同。应力特点：应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。精品资料1、 横截面上角点处，切应力为零2、 横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边(zhu bin)3、 横截面周边(zhu bin)长边中点处，切应力最大021 0 21 故故0n 0 n 故故矩形截面杆自由扭转时应力分布矩形截面杆自由扭转时应力分布(fnb)(fnb)特特点点（弹性力学解）（弹性力学解）精品资料（弹性(tnxng)力学解）2tmaxhbTWTmax1 3tbhGTlGITl系数系数 a, b, g 与与 h/b 有关有关(yugun)