自动控制原理经典控制部分线性系统的数学模型

1、信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为，并可据此采用求出系统的传递函数。 考虑如下简单等式 jijixax 这里变量xi和xj可以是时间函数、复变函数，aij是变量xj变换(映射)到变量xi的数学运算，称作传输函数传输函数，如果xi和xj是复变量s的函数，称aij为传递函数Aij(s)，即上式写为 )()()(sXsAsXjiji2.5.12.5.1信号流图的定义信号流图的定义变量xi和xj用节点“”来表示；传输函数用一

2、有向有权的线段(称为支路)来表示；支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。 信号流图2.5.2 2.5.2 的信号流图的信号流图 在线性系统信号流图的绘制中应包括以下步骤： （1）将描述系统的微分方程转换为以s为变量的代数方程。 （2）按将代数方程写成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211（3）用节点“”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放在图形左端，输出变量放在图形右端。 例例2-9 如下图所示的电阻网络，v1为输入、v3为输出。选5个变量v1、i1、v2、i2、v3，由电压、

3、电流定律可写出四个独立方程 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV 将变量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作节点表示，由用支路把节点与节点联接，得信号流图。 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV2.5.32.5.3信号流图的定义和术语信号流图的定义和术语 表示变量或信号的点，用“”表示。 连接两个节点之间的有向有权线段，方向 用箭头表示，权值用传输函数表示。 指向节点的支路。 离开节点的支路。

4、 只有输出支路的节点，也称输入节点， 如图中节点X1。 只有输入支路的节点，如图节点X7。 信号流图定义与术语：既有输入支路、又有输出支路的节点， 如图中的X2、X3、X4、X5、X6。 ：沿着支路箭头方向通过各个相连支路 的路径，并且每个节点仅通过一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反馈回X2。 ：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。 如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为 一条前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也为另一条前向通道。 则是指起始节点和终止节点为同一节点，且不则是指起始节点和终止节点为同一节点，且不与其它节点相交次数多于与其它节点相交次数多于1

5、次的封闭通路。次的封闭通路。 ：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成 自回环。 ：通道的起点就是通道的终点，如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5 又反馈到X4。通道传输或通道增益通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的 乘积。如从X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 ：如果一些回环没有任何公共的节点， 称它们为不接触回环。如G2H1 与G4H2。 （1）信号流图只适用于线性系统； （2）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数形式的代数方程； （3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递； （4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路； （5）具有输入和

6、输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点； （6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。 ：n个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图（b）。 ：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图(a) 所示： （3）混合节点可以通过的方法消去，如图（c）。 （4）回环可根据的规则化为等效支路，如图（d）。 例例2-10 2-10 将图2-43所示系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数 )()()(sRsCs 解解：信号流图如图 (a)所示。化G1与G2串联等效为G1G2支路，G3与G4并联等效为G3+G4支路，如图 (b)，

7、G1G2与-H1反馈简化为 支路，又与G3+G4串联，等效为 如图 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG进而求得闭环传递函数为 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG 给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的或。上节采用信号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。 式中， T 输出和输入之间的增益或传递函数； Pk

8、第k条前向通道的增益或传输函数； 信号流图的特征值，称为流图特征式流图特征式 =1- Lj1+ Lj2- Lj3+ Lj1所有不同回环增益之和； Lj2所有两两互不接触回环增益乘积之和； Lj3所有三个互不接触回环增益乘积之和； k 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的，称为第k条前向通道特征式的。梅逊增益公式可表示为 kkPT 步骤步骤1 1：列写出输入：列写出输入R(s)R(s)到输出到输出C(s)C(s)的所有前向通路的所有前向通路步骤步骤2 2：列写信号流图的所有回路：列写信号流图的所有回路步骤步骤3 3：判断所有回路的接触性，利用流图的特征式：判断所有回路的接触性，利用流图的特征

9、式公式计算流图的特征式公式计算流图的特征式 步骤步骤4 4：判断前向通路与所有回路的接触性，计算所：判断前向通路与所有回路的接触性，计算所有前向通路的特征余因子有前向通路的特征余因子步骤步骤5 5：利用：利用MasonMason公式计算输入公式计算输入R(s)R(s)到输出到输出C(s)C(s)的传的传递函数递函数 例例2-11 利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数 C(s) / R(s)。解解：输入量R(s)与输出量C(s)之间有四条前向通道，对应Pk与k为：P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1图

10、中有五个单回环，其增益为：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2 = G3G5H1H2 系统的特征式为 21654321)(1LLLLLLLL系统的传递函数为 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG例例2-12 求图示信号流图的闭环传递函数 解解：系统单回环有：L1 = G1，L2 = G2，L

11、3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系统的特征式 为： 212151311GGGGLii前向通道有四条： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系统的传递函数为 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的，在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等，而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述(Linear Time Invariant简记为)。 单输入单输出线性连续系

12、统的传递函数为： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多项式的根称为，分母多项式的根称为。令分母多项式等于零，得系统的特征方程：D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示，行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数，例如多项式P(s)=s3+2s+4 ,其输入为： P=1 0 2 4 注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。 MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为 C=conv(A,B) 例如给

13、定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再调用conv( )函数来求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出的C(s)多项式为10s3 +50s2 +63s +9 MATLAB提供的conv( )函数的调用允许多级嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的语句来输入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 有 了 多 项 式 的 输 入 , 系 统 的 传 递 函 数 在MATLAB下可由其分子和分母

14、多项式唯一地确定出来,其格式为 sys=tf(num,den) 其中num为分子多项式，den为分母多项式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；对于其它复杂的表达式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列语句来输入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045sssssssssss2.6.2传递函数的特征根及零极点图 传递函数G(s)输入之后

15、,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为 roots(p)其中p为多项式。 例如,多项式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用MATLAB中的poly( )函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000 而polyval函数用来求取给定变量

16、值时多项式的值,其调用格式为 polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值 例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66p,z=pzmap(num,den)其中, p传递函数G(s)= numden的极点 z传递函数G(s)= numden的零点例如,传递函数 传递函数在复平面上的零极点图,采用pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”表示。其调用格式为13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH 用MATLA

17、B求出G(s)的零极点,H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点图 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的极点 1.0000+0.0000i n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/den

18、h=%H(s)表达式pzmap(num,den) %零极点图title(pole-zero Map) 零极点图如图所示 ：2.6.3 控制系统的方框图模型 若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。 1.串联串联 如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series( )来求G1(s)G2(s),其调用格式为 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(212.并联并联 如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数paral

19、lel( )来实现,其调用格式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(213.反馈反馈 反 馈 连 接 如 图 所 示 。 使 用 M AT L A B 中 的feedback( )函数来实现反馈连接,其调用格式为 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(例如 G(s)= ,

20、H(s)= ,负反馈连接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den) num/den= 1322ssss MATLAB中的函数series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop( )函数求闭环传递函数,其调用格式为 num,den=cloop(num1,den1,sign) 2.6.4 控制系统的零极点模型 传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式,零极点形式是

21、分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。 例如 G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB语句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i p=0.956

22、71.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412i k=6即变换后的零极点模型为G(s)= )9287. 00353. 0)(9287. 00353. 0)(9294. 1(6sss)2272. 19567. 0)(2272. 19567. 0(isis)640. 0433. 0)(640. 0433. 0(isis 可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。 num,den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0000 12.0000 6.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000

23、3.0000 1.0000 1.0000 即 132106126)(23423ssssssssG2.6.5 状态空间表达式 状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中 x(t)Rn 称为状态向量,n为系统阶次; ARnn 称为系统矩阵;BRnp 称为控制矩阵,p为输入量个数;CRqn 称为输出矩阵;DRqp 称为连接矩阵,q为输出量个数。 在一般情况下,控制系统的状态空间表达式项简记为(A,B,C,D)。 例如：设一个双输入双输出系统的状态空间表达式为uxtx202264510623421)( xy020100系统模型可由MATLAB命令直观地表示：A=1,2,4;3,2,6;0,1,5B=4,6;2,2;0,2C=0,0,1;0,2,0D= zeros(2,2) MATLAB的控制系统工具箱提供了由状态空间表达式转换成传递函数或由传递函数转换成状态空间表达式的转换函数ss2tf( )和tf2ss( )。其调用格式