概率论第一章1-2

1、12 nP eP eP e1 , 互不相容nkkkSee121 ,nP SP eP eP e4 4 古典概型古典概型检验：古典概型检验：古典概型若随机试验若随机试验E满足满足： 样本空间样本空间S 只含有有限个元素只含有有限个元素: : S=e1 1, , en n 试验中，每个基本事件发生是等可能的试验中，每个基本事件发生是等可能的. .1 ,1,2, .iP einn , 若事件包含个基本事件 即Ak 12kiiiAeee 则有 12 kiiiP APePePe kn 包含的基本事件数中的基本事件总数AS基本计数原理基本计数原理1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种

2、方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都无论通过哪种方法都可以完成这件事，可以完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .例如：从北京到上海可以坐火车也可以坐飞机，如果每日例如：从北京到上海可以坐火车也可以坐飞机，如果每日 火车有火车有3个班个班北京北京 上海上海 飞机有飞机有2个班次个班次则此人有则此人有3+2=5种方法从北京到上海。种方法从北京到上海。则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .mnnn212.

3、乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才才算完成这件事，算完成这件事，例如例如:有一位女士有二件上衣和三条裙子有一位女士有二件上衣和三条裙子则该女士可以有几种打扮方式。则该女士可以有几种打扮方式。红白兰绿黑23=6种打扮种打扮3 3 有重复排列有重复排列 从含有从含有n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k次，每次取次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，一个，记录其结果后放回，将记录结

4、果排成一列，共有共有nk种排列方式种排列方式. .nnnn12k4 4 无重复排列无重复排列 从含有从含有n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k次，每次取一次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有排列方式共有排列方式: :n n-1-1n-2-2n- -k+1+112kk = n时称全排列时称全排列n个不同元素中任取个不同元素中任取k个元素的排列数个元素的排列数!(1)(2)(1)()!kknnnAPn nnnknk(1)(2)2 1! nnnnAPn nnn5 组合：组合：从从n个不同元素中任取个不同元素中任取k个元素并成一组个元素并

5、成一组（不考虑其间顺序）称为一个组合，此种组合总数为：（不考虑其间顺序）称为一个组合，此种组合总数为：l排列与组合关系式排列与组合关系式：!()! !kknnPnCknkk!kkknnnkknnAPCkPCk0011(1)2nkn knnnnnnnCCCknCCC6 分组分组：n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素组，各组元素数目分别为数目分别为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个个元素元素因为因为1212!,! !kknrrrnr rr12112! !kkrrrnn rrknCCCr rr 例例 1 一口袋装有一口袋装有 6 只球

6、，其中只球，其中 4 只白球、只白球、2 只红只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：种取球方式： (a)放回抽样放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，回袋中， 搅匀后再取一球。搅匀后再取一球。 (b)不放回抽样不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球次从剩余的球 中再取一球。中再取一球。分别就上面两种方式求：分别就上面两种方式求： 1）取到的两只都是白球的概率；）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率；）取到的两只球颜色相同的概率

7、； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 取球问题取球问题说明：取球问题中，球，产品，人等一般都认为是可辨的。说明：取球问题中，球，产品，人等一般都认为是可辨的。 解：解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设设 A= “ 取到的两只都是白球取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球取到的两只球中至少有一只是白球”。 (a)有放回抽样有放回抽样:样本空间中样本点个数样本空间中样本点个数 n=66=36 （是可重复排列）

8、（是可重复排列）2244( )0.44469P A222425( )0.55669P B2228( )1( )10.88969 P CP C22244 2( )()0.66766（ ）恰个白P CP AP24 22 44()69应恰一次白 P (b) 无放回抽样无放回抽样:法一法一(排列）排列）：样本空间：样本空间S中样本点的个数是中样本点的个数是无重复排列无重复排列266 530nP24264 32( )6 55PP AP222627( )515PP BP22261141111515（ ）（ ） PP CP CP24 22 41456 515如果：（ ） （ ） （恰个白） P CP AP

9、(b) 无放回抽取无放回抽取: （所求事件中没有顺序的要求）（所求事件中没有顺序的要求）法二法二(组合）组合）：样本空间：样本空间S中样本点的个数是中样本点的个数是2615nC24264 32( )2 155CP AC222627( )515CP BC22261141111515（ ）（ ） CP CP CC22 41451515如果：（ ） （ ） （恰个白）P CP AP 例例 2 一口袋装有一口袋装有 6 只球，其中只球，其中 4 只白球、只白球、2 只红只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：种取球方式： (a)放回抽样放

10、回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，回袋中， 搅匀后再取一球。搅匀后再取一球。 (b)不放回抽样不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球次从剩余的球 中再取一球。中再取一球。分别就上面两种方式求：分别就上面两种方式求： 第一次取红球，第二次取白球的概率第一次取红球，第二次取白球的概率 D= 第一次取红球，第二次取白球第一次取红球，第二次取白球 解解:样本空间中样本点个数样本空间中样本点个数 n=66=36 （是可重复排列）（是可重复排列）(a)有放回抽样有放回抽样:D= 第一次取红球，第二次取白球第一次取红球，第二

11、次取白球(b)无无放回抽样放回抽样:(排列）：排列）：样本空间样本空间S中样本点的个数是中样本点的个数是无重复排列无重复排列22 42()69P D266 530nP2 44()3015P D注：试验不同样本空间不同，注：试验不同样本空间不同，A中所含样本中所含样本 点数不同。点数不同。 例例3 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 D 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少件次品的概率是多少?（不放回抽样和放回抽样两种方式（不放回抽样和放回抽样两种方式)又又 在在 D 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有

12、件，所有可能的取法有 在在 N-D 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 所有可能的取法有所有可能的取法有 解：解：在在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1）由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品中取件产品中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 种，nNC种，kDC种，n kNDC种，kn kDNDC C 于是所求的概率为：于是所求的概率为：此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式。2） 有放回抽样有放回抽样从从N件产品中有放回地抽取件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可件产品进行排列，可能的

13、排列数为能的排列数为 个，个，(样本总数）样本总数） 。而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品件次品的排列数共有的排列数共有 于是所求的概率为：于是所求的概率为：此式即为此式即为二项分布二项分布的的概率公式。概率公式。kn kDNDnNC CpCnN()() (1)kkn kkkn knnnC DNDDDPCNNN()kkn knC DND例例4 袋中有袋中有a只白球和只白球和b只红球。现在把球一只只随只红球。现在把球一只只随机的取出来不放回，机的取出来不放回， 求第求第k 次取出次取出的一只球是白球的概率的一只球是白球的概率解法解法1：E：把：把a只白球

14、和只白球和b只红球都编上不同的号码，只红球都编上不同的号码，把取出的球依次放在把取出的球依次放在a+b个位置上。（如图）个位置上。（如图）1ka+bS中基本事件总数中基本事件总数:（a+b）！）！A包含的基本事件个数，包含的基本事件个数，此结果与此结果与k无关，无关，这与日常生活的经验是一致的。这与日常生活的经验是一致的。(1)kab(1)!()!aabaPabab(1)!aab解法解法2：把把a只白球和只白球和b只红球编上不同的号码，只红球编上不同的号码，我们只考虑前我们只考虑前k只球。即把取出的前只球。即把取出的前k只球依次放只球依次放在在k个位置上，如图个位置上，如图kS中基本事件中基本

15、事件 总数总数:A包含的基本事件个数包含的基本事件个数:ka bP11 ka baP11 ka bka baPaPPab3、试验、试验E是从是从n件产品中任取件产品中任取m件，可视为一次件，可视为一次从中取从中取m件，可用组合计数。也可看作每次取一件，件，可用组合计数。也可看作每次取一件，取后不放回连取取后不放回连取m次。可用排列记数，次。可用排列记数，要由所求问题而定。要由所求问题而定。小结小结1、试验、试验E是无放回抽取，是无放回抽取，当事件当事件A无次序要求可用组合，也可用排列计数，例无次序要求可用组合，也可用排列计数，例1(b)当当A有次序要求时，必须要用排列计数。（例有次序要求时，必

16、须要用排列计数。（例2）2、试验、试验E是有放回抽取是有放回抽取，可重复排列问题，例，可重复排列问题，例1，2，34、古典概率、古典概率 ，其分子与分母的计数方法要一致。，其分子与分母的计数方法要一致。 例例 1 将将 m 只球（可分辨）随机的放入只球（可分辨）随机的放入 N (N m) 个个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的设盒子的容量不限）。容量不限）。解：解： 将将 m 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去, 共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球, 共有共有分球入盒问题分球入盒问题,种放法nNNNN(1)(1)

17、,种放法mNNNNmP(1)(1).故mNmmPNNNnpNN例例2、将将n只球随机地放入只球随机地放入N（ N n）个盒子中去）个盒子中去（设盒子的容量不限），试求下列事件的概率。（设盒子的容量不限），试求下列事件的概率。A=某指定的一个盒子中没有球某指定的一个盒子中没有球B=某指定的某指定的n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球C=恰有恰有n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有某指定的一个盒子中恰有m个球个球(mn)解解 把把n个球随机地分配到个球随机地分配到N个盒子中去个盒子中去(nN),基本事件总数为基本事件总数为:事件事件A：指定的盒子中不能放球，因此，：指

18、定的盒子中不能放球，因此， n个球中的个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。个盒子中。总共有总共有 种放法。因此种放法。因此 nN)1( ,种放法nNNNN(1)( )nnNP AN事件事件B：指定的：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，个盒子中，每个盒子中各放一球，共有共有n!种放法，因此种放法，因此 事件事件C：恰有：恰有n个盒子，其中各有一球，即个盒子，其中各有一球，即N个盒子个盒子中任选出中任选出n个，选取的种数为个，选取的种数为在这在这n个盒子中各分配一个球，个盒子中各分配一个球，n个盒中各有个盒中各有1球球(同上同上)，n!种放法

19、；事件种放法；事件C的样本点总数为的样本点总数为事件事件D：指定的一个盒子中，恰好有：指定的一个盒子中，恰好有m个球，这个球，这m个球可从个球可从n个个球中任意选取，共有球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余种选法，而其余n- -m个球可以任意分个球可以任意分配到其余的配到其余的N-1-1个盒子中去，共有个盒子中去，共有( (N-1)-1)n-m种，所以事件种，所以事件D所所包含的样本点总数为包含的样本点总数为Cnm( (N-1)-1)n-m!( ) nnP BN!( )()nnNNnnCnPP CNN(1)11()(1) mn mmn mmnnnCNP DCNNNnNC!nNCn分球入盒问题

20、，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球球”与与“盒盒”，不可弄错。不可弄错。(1)(1)生日问题：生日问题：n n个人的生日的可能情况（个人的生日的可能情况（每个人生日是每个人生日是365天之天之一）一），相当于，相当于n n个球放入个球放入N=365N=365个盒子中的可能情况个盒子中的可能情况( (设一年设一年365365天天) )；(2)(2)旅客下车问题旅客下车问题( (电梯问题电梯问题) )：一列火车中有：一列火车中有n n名旅客，它在名旅客，它在

21、N N个个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n n个球分到个球分到N N个个盒子：旅客：盒子：旅客：“球球”，站：，站：“盒子盒子”；(3)(3)住房分配问题：住房分配问题：n n个人被分配到个人被分配到N N个房间中；个房间中；(4)(4)印刷错误问题：印刷错误问题：n n个印刷错误可能出现在一本具有个印刷错误可能出现在一本具有N N页书的任页书的任何一页，错误何一页，错误球，页球，页盒子。盒子。 （5）有）有n封信随机的投放在封信随机的投放在N个信筒中（筒内信数不限）；个信筒中（筒内信数不限）； 设每个人在一年设每个人在一年( (按按365

22、365天计天计) )内每天出生的可内每天出生的可能性都相同能性都相同, , 相当于相当于n个球放入个球放入N=365个盒子中个盒子中, ,则则他们生日各不相同的概率（他们生日各不相同的概率（恰有恰有n个盒子中各有一个个盒子中各有一个球球）为）为 于是于是, , n n个人中至少有两人生日相同的概率为个人中至少有两人生日相同的概率为 例例3(生日问题生日问题): 某人群有某人群有n个人，他们中至少有个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？两人生日相同的概率有多大？!( )()nnNNnnCnPP CNN1nNnPN 人数人数 至少有两人同生日的概率至少有两人同生日的概率 20 0.411 2

23、1 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 例例4、将将n只球（可分辨）随机地放入只球（可分辨）随机地放入N（ N n）个盒子）个盒子中去（设盒子至多容纳一个球），试求下列事件的概率。中去（设盒子至多容纳一个球），试求下列事件的概率。B=某指定的某指定的n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球C=恰有恰有n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球解解 把把n个球随机地分配到个球随机地分配到N个盒子中去个盒子中去(nN),基本事件总数为基本事件总数为:事件事件B：指定的：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一

24、球，个盒子中，每个盒子中各放一球，共有共有n!种放法，因此种放法，因此 事件事件C：恰有：恰有n个盒子，其中各有一球，即个盒子，其中各有一球，即N个盒个盒子子中任选出中任选出n个，选取的种数为个，选取的种数为在这在这n个盒子中各分配一个球，个盒子中各分配一个球，n个盒中各有个盒中各有1球球(同上同上)，n!种放法；事件种放法；事件C的样本点总数为的样本点总数为,)1()1(种放法种放法nNPnNNN !( ) nNnP BPnNC!nNCn( )1P C 例例 1 将将 15 名新生随机地平均分配到名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这个班中去，这 15 名新生中有名新生中有 3 名是优秀生

25、。问：名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？解：解：15名新生平均分配到名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：个班级中去的分法总数为：,!5!5!5!15!512345!5678910!51112131415 分组问题分组问题55515105CCC(1)每个班各分配到一每个班各分配到一 名优秀生名优秀生=A：将：将 3 名优名优秀生分配到秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有生的分法

26、共有 3! 种。其余种。其余 12 名新生平均分配到名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有个班级中的分法共有每个班各分配到一每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：名优秀生的分法总数为：于是所求的概率为：于是所求的概率为：444128412!/ (4!4!4!) 种，CCC3! 12!/(4!4!4!)3! 12 !15 !3! 12 ! 4!4!4!25( )/0.2747.4!4!4!5!5!5!15 ! 5!5!5!91p A三名优秀生分配三名优秀生分配在同一班级内在同一班级内其余其余12名新生，一个班级分名新生，一个班级分2名，名，另外两班各分另外两班各分5名名(2) 3 名优秀生分

27、配到同一个班级的概率为：名优秀生分配到同一个班级的概率为：212 !15 !3 12 ! 5!63/0.0659.2!5!5! 5!5!5!2! 15 !91p25512105CCC例例: : 某公司生产的某公司生产的1515件产品中件产品中, ,有有1212件是正品件是正品,3,3件是次件是次品。现将它们随机地分装在品。现将它们随机地分装在3 3个箱中个箱中, ,每箱装每箱装5 5件，件，设设:A=:A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品, B=, B=三件次品都在同一三件次品都在同一箱中箱中 。求求: P(A): P(A)和和P(B)P(B)。例例 3030名学生中有名学生中有3 3名运

28、动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：组，求：（1 1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。例例1 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问问1)求取到的数能被求取到的数能被6整除的概率整除的概率(2)求取到的数能被求取到的数能被8整除的概率整除的概率(3)求取到的数既不能被求取到的数既不能被6整除也不能被整除也不能被8整除的概率整除的概率 设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”, B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，解解随机取数问题随机取数问题( )().P CP AB2000333334,6因为333( ),2000所以P A2000250,8由于250( ).2000故得P B()()P ABP AB1() P AB1 ( )( )(). P AP BP AB于是所求概率为于是所求概率为20008384,24由于83().2000得P AB()P AB1 (