第2章单相交流电路

1、123 2.1 it i4 tIi sinmI Im m 2 Tit O5fT22Tf1t O6有效值：有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。有效值。幅值：幅值：Im、Um、Em则有则有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2022msindT1It tT2mI 同理：同理：2mUU 2mEE 7 。 :3. 相位与初相位相位与初相位t 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值it )sin(mtIiO0()tt 8m1sin()uU t 如：如：)()(21 tt21若若021 m2sin()iI t 0

2、t 2i 1u 9 9021 90021 02118021uitui Ouitui90OuituiOtuiuiO10 不同频率的正弦量比较无意义。不同频率的正弦量比较无意义。 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。与计时的选择起点无关。 ti2i1iO11瞬时值表达式瞬时值表达式)sin(m tUu波形图波形图相量相量UU ut O12+j+1Abar 01.复数表示形式复数表示形式设设A为复数为复数:A =a + jbabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中:racosrbsin)sinj(cossinj

3、cosrr rA由欧拉公式由欧拉公式:2jeesinjj ,2eecosjj 13 jAre ejcosjsin可得可得: rrrjrbaA jesincosj rA 2.复数的运算复数的运算(1).加减运算加减运算1212 ()()A Baaj bb(2).乘除运算乘除运算11221 212A B(r)(r)rr 11112222A()Brrrr 14 (3). 虚单位虚单位“j” 的数学意义和物理意的数学意义和物理意义义j2 = 1, +j0+1A-90C 90Bj 为旋转为旋转90因子因子复数复数A乘以乘以 j是逆时针旋转是逆时针旋转90;乘以乘以j是顺时针旋转是顺时针旋转90j= co

4、s90+ jsin90= 1 90 900jj90Ajreer 15)(sinmtUu 设正弦量设正弦量:若若: :有向线段长度有向线段长度 = mU有向线段以速度有向线段以速度 按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转则则: :该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角有向线段与横轴夹角 = 初相位初相位 1u1tu0 xyOmUut O16)(sinmtIi？= 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。 UeUUmjmm 或：或：IeImjm 17 模模用最大值表示用最大值表示 ，则

5、用符号：，则用符号：mmI U、 相量图相量图: 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形,只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上。的正弦量才能画在同一相量图上。 实际应用中，模多采用有效值，符号：实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、如：已知如：已知)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U则则或或)jsincos(ejUUUU 相量式相量式:U I18V452220 U？)V45(sin220 tuVe22045m U？)A30(sin24 t？Ae4j30 Ij45 )A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15 U？ 2.已

6、知：已知：A6010 IV15100 U191U 202U 452U1U 落后于落后于1U2U超前超前落后落后？V)45(sin21102tuV)20(sin22201tu+1+jV202201 UV451102 U20例例2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A1 12 .7 2sin(314 30 )A it 2 11 2 sin(314 60 )Ait 。 iii21 16.8 2sin(314 10.9 )Ait 求：求：A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.

7、8j3.18)A-16.5( 21例例3: 图示电路是三相四线制电源，图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为：已知三个电源的电压分别为：)V120(314sin2220BtuV314sin2220Atu )V120(314sin2220Ctu试求试求uAB ，并画出相量图。并画出相量图。NCANB+-+AUBUCUABU解解:(1) 用相量法计算：用相量法计算： V0220A UV120220B UV120220C U22AB3802sin(30 )Vut 所所以以AUBUCUB-UABU30V120220V0220BAAB UUU AB220220 cos( 120 )jsin

8、( 120 )UVV )V0.866j0.51(220 V301.73220 V30380 23设设msinuUt RUI 根据欧姆定律根据欧姆定律:iRu msinsinuUt2UitRRRmsinsinIt2It0 iu 相位差相位差 ： IU相量图相量图Riu+_相量式：相量式：0II RIUU 024iup(1) 瞬时功率瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积2mmsinUIt mm1(1cos2)2U It 结论结论: （耗能元件）（耗能元件）, ,且随时间变化。且随时间变化。0ptUutIisin2sin2 pituOtpOiu250011ddTTPp tu

9、 i tTT01(1cos2)dTUIttUIT0mm11(1cos2)d2TU IttT IUP 单位单位:瓦（瓦（W） 2RI P RU2Riu+_pptO262sin(90 )ILt 基本基本关系式：关系式： U =I L 90iu相位差相位差90tiLeuLdd设：设：tIisin2iu+-eL+-Ld( 2 sin)dItuLt)90(sin2tUutuiiO272sin(90 )uILt2 siniItUILLUIX则则: : 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f = 0, XL =0，电感电感L视为视为短路短路2LXLfLL2XfLUIL fXL28LfLXL2LXj

10、(j)LUILIXfLUI 2UI相量图相量图90IU超前超前2sin(90 )uILt2 siniIt根据：根据： 0II 9090LIUUL 90jUUII则：则：LXI,fO29oo1dsin(2)d0TTPp tT1UIttT mmsinsin(90 )pi uU Ittsin2UItmmmmsincossin22U IU Ittt2sin(90 )uILt2 siniIt30p 0分析：分析： 瞬时功率瞬时功率 ：piusin 2U I tui+-ui+-ui+-ui+-+p 0p 0p 0p XC 时时， 0 ，u 超前超前 i 呈呈感性感性当当 XL XC 时时 ， 0 感性感性

11、)XL XC由电压三角形可得由电压三角形可得:cosUURsinXUUURUCLUU XUCUIRU( 0 容性容性)XL XC CULUCLUUU RjXL-jXCRU+_LU+_CU+_U+_I49由相量图可求得由相量图可求得: 22()arctanLCLCZRXXXXR222222()()RLCLCUUUUIRXXIRXI Z由阻抗三角形：由阻抗三角形：cosRZsinXZURUCLUU XUZRCLXXX50 例例1:RLC串联电路串联电路,已知已知R=30 , L=127mH, C=40 F,电源电源电压电压u=220 (sin314t+20)V。求求: (1)XL.XC.| |Z|

12、 |; (2). i .I. ;解解:(1)40LXL 1/80CXC Z50 (2)2(3)UR.UL.UC.uR.uL.uC. ;(4)作相量图。作相量图。IRULUCUoLCZRj(XX )30j405053 22020 VU 220204.473 A5053UIZ i=4.4 (sin314t+73o)A, I=4.4A2(3)4 4733013273 VRUIR. 1322 sin(31473 )VRut UR=132V1762 sin(314163 )VLut L=jX=j404.473 =176163 VLUIUL=176V51RLCUUUU3522 sin(31417 )VCu

13、t 显然显然RLCUUUU只有只有 C=-jX=-j804.473 =352-17 VCUIUC=352V(4)相量图如右所示：相量图如右所示：CULURUU I 2052例例2: 在在R.L.C串联电路中串联电路中,已知已知I=10A,UR=80V,UL=120V,UC=60 V。设电源频率。设电源频率f=50Hz求求:(1)总电压总电压U;(2)电路参电路参数数R.L.C;(3)总电压与电流的相位差。总电压与电流的相位差。解解:(1) 总电压总电压U为为22(-)100VRLCUUUU 8RURI 12LLUXI 382LLXXLmHf 6CCUXI F1531CCX -12-6arcta

14、narctan378LCXXR (2) 电路参数电路参数(3) 总电压与电流的相位差为总电压与电流的相位差为53UZZZU2122 ZUI 分压公式：分压公式：21ZZZ 对于阻抗模一般对于阻抗模一般21ZZZ 注意：注意：IZZIZIZUUU)( 212121 UZZZU2111+UZ-I+U1U2U1Z2Z+-+-I通式通式: kkkXRZZj54解：解：同理：同理：+U1U2U1Z2Z+-+-I3010j58.664)j(92.5)(6.1621 ZZZA022301030220 ZUIV55.6239.822V55.610.922Vj9)(6.1611 IZUV58103.622Vj4

15、)(2.522 IZUj96.161Z例例1: 有两个阻抗有两个阻抗j42.52Z它们串联接在它们串联接在V30220 U的电源的电源;求求:I和和21UU、并作相量图。并作相量图。551UUI2U5830 55.6 21UUU注意：注意： 21UUU +U1U2U1Z2Z+-+-IV58103.6V30220j58.66j42.52122 UZZZUV55.6239.8V30220j58.66j96.162111 UZZZU56 下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考思考两个阻抗串联时两个阻抗串联时,在什么情况下在什么情况下:21ZZZ成立。成立。

16、7ZU=14V ? 14ZU=70V ?(a)3 4 V1V2 6V8V+_U6 8 30V40V(b)V1V2+_U57 在同时含有在同时含有L 和和C 的交流电路中，如果总电压和总电的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。再有能量的交换，电路呈电阻性。L 与与 C 串联时串联时 u、i 同相同相L 与与 C 并联时并联时 u、i 同相同相 研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术

17、等许多电如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。另一方面又要预防它所产生的危害。58IU、同相同相 由定义，谐振时：由定义，谐振时：或：或：CLoo 1 0arctanRXXCL即即谐振条件：谐振条件：CLXX串联谐振电路串联谐振电路根据谐振条件：根据谐振条件：1oo L CRjXL-jXCRU+_LU+_CU+_U+_I59LC10 LCf 210 或或电路发生谐振的方法：电路发生谐振的方法：(1)电源频率电源频率 f 一定一定，调调参数参数L、C 使使 fo= f；(2)电路参数电路参数LC 一定一定，调调电源频率电源频率 f，使使 f =

18、fo 或：或：CfLf00212RXXRZCL 22)(可得可得为：为：60当电源电压一定时：当电源电压一定时： RUII 0电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， 和和 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。LQCQIU、0arctanRXXCL电阻电压：电阻电压：UR = Io R = U 00CCLLXIUXIU 电容、电感电压：电容、电感电压：CLUUILUCUUUR61RCRLUUUUQCL001 令：令：表征串联谐振电路的谐振质量表征串联谐振电路的谐振质量QQUUUCL 有有：所以串联谐振又称为所以串联谐振

19、又称为电压谐振。电压谐振。如如Q=100,U=220V,则在谐振时则在谐振时22000VQUUUCL在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。又可利用这一特点达到选择信号的作用。62 阻抗随频率变化的关系。阻抗随频率变化的关系。 22 1 CLRZ Z0 RZ 0 Z0 LXZ0fCXLfXL 2fcXC 21容性容性)(0感性感性)(0f0R)( jCLXXRZ63 )1-()(22CLRUZUI 0I Q大大Q小小0I分析：分析： RLQ0 谐振电流谐振电流RUI 0 f0f0ZIZ ,R

20、 0I642121ZUZUIII IZZZI21122121ZZZZZ ZUI 对于阻抗模一般对于阻抗模一般21111ZZZ21111ZZZ +U1Z-I2Z1I2I+UZ-IIZZZI2121通式通式:k11ZZ65解解:同理：同理：+U1Z-I2Z1I2I26.54.4710.511.81650j68j4337105352121 ZZZZZA5344A535022011 ZUIA3722A3701022022 ZUIj431Z有两个阻抗有两个阻抗j682Z它们并联接在它们并联接在V0220 U的电源上的电源上;求求:I和和21II、并作相量图。并作相量图。66 21III相量图相量图1IU

21、I2I533726.5 21III注意：注意：A26.549.226.54.470220 ZUI或或A26.549.2A3722A53-44 21 III67LCRCLRLRCLRCZ2j1j)j(j1)j(j1+U-RCXLXI1ICI实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有RL0)(LCLRCCRLCLZ21j1j1j 则：则：680100LC：谐谐振振条条件件或或LCff 210 可得出：可得出：LC10）LCLRCCRLCLZ21(j1j1j 由：由：RCLZ 0(当满足当满足 0L R时时)69I00ZURCLUII0SZIU ZZI,00Z0I122

22、002(2)UUIf LRf L当当 0L R时时，7001QIIIC UCII 11I相量图相量图C00212UIUf Cf CQRLRLf 002 RCLUCfU)2(0 000)2(ZUCfUIIC 71OO12122200III110 A20URR 3I0 OL2L2UjXI=j20 11 0j220V OC2C2UjXIj20 11 0j220V 0L22202+90Vusin(t ）OC2220290Vusin(t ）例例1:已知电路如图已知电路如图,已知已知R1=R2=R3=10, XL1=XC1=30,XL2=XC2=XC3=20,外加电压外加电压 。u=2202 sint V

23、 ， 试求电路中的电流试求电路中的电流 和和 以及电压以及电压uL2和和uC2。123III、 、I解解:由由XL1=XC1,则则A,B间并联谐振间并联谐振, 等效为等效为R1; B,C间的间的LC支路支路XL2=XC2,发生串联谐振发生串联谐振,故等效为一根导线。故等效为一根导线。B,C间间R3XC支路被支路被短路。则电路可等效为短路。则电路可等效为R1与与R2的串联。的串联。721、根据原电路图画出相量模型图根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变电路结构不变)Ee 、Ii 、UuX C 、XL 、 RRCLjj2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图根据相量模型列出相量方程式或画相量图3

24、、用相量法或相量图求解用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式将结果变换成要求的形式73解：解：V220UA15.62221IA112IA11 I所所以以例例1: 图示电路中已知图示电路中已知:V314sin2220tu A)90(314sin2112ti试求试求: 各表读数及参数各表读数及参数 R、L 和和 C。A)45(314sin221ti+u- ARL A1 A21iC2ii VA11A90114515.621 III74 10LXRH0.03182fXLLi+u- ARLA1A21iC2iV 11220 015.64514.1 4510j10UZI20 CX所以所以F15920

25、314121CXfC 22220 02090 11 90UZI752121(2)i ,iII I 、iIZZZ 21 (1)、分析题目：分析题目：已知已知: 2202sinVut150,100200 ,400LCRR,XX求求: i ,21ii,+U-1RCXj-LXjRI1I2I76+U-50I1I2I100j200 j400-V0220 U(11j100j200)LZRX2jj400CZX( (100j200)( j400)5050320j240)440 33 100j200j400ZA330.5A334400220 ZUIA59.6-0.89A330.5j400j200100j40021

26、21 I IZZZI77)A33(sin20.5 ti所所以以)A59.6(sin20.891ti)A93.8(sin20.52ti同理：同理：+U-50I1I2I100j200 j400-A93.80.5A330.5j400j200100j2001002112 I IZZZI78t It Uiupsin)(sinmmt UIt IU2sinsinsincos2mm储能元件上储能元件上的瞬时功率的瞬时功率耗能元件上耗能元件上的瞬时功率的瞬时功率)(sinsinmmt Uut Ii设：设：RLCRu+_Lu+_Cu+_u+_i79cos所以PUI cos)d(2coscos1d100UIttUI

27、UITtpTPTT 单位单位: W总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角coscos 称为功率因数称为功率因数，用来衡量对电源，用来衡量对电源的利用程度。的利用程度。80单位：单位：varQUIsin总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：2cosRPUIU II R电阻消耗的电阻消耗的电能电能)()(2CLCLCLXXIIUUIUIUQ根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：URU XU电感和电容电感和电容与电源之间与电源之间的能量互换的能量互换81 电路中总电压与总电流有效值的乘积。电路中总电压与总电流有效值的乘积。2IZUIS

28、单位：单位：VA 注：注： SNUN IN 称为发电机、变压器称为发电机、变压器 等供电设备的容等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。率。22QPS QPS82阻抗三角形、阻抗三角形、电压三角形、电压三角形、功率三角形功率三角形SQP22)(CLXXRZ sincosZXZR2)(CL2RUUUUcossinRXUUUU22QPScossinPSQSRUUCLUU将电压三角形的有效值同除将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形得到功率三角形R

29、CLXX Z83例例1：已知已知:sin220 2(31420 )VutF40127mH,30CLR求求:(1)电流的有效值电流的有效值I与瞬时值与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的有效各部分电压的有效值与瞬时值；值与瞬时值；(3) 作相量图；作相量图；(4)有功功率有功功率P、无功功率无功功率Q和视在功率和视在功率S。在在RLC串联交流电路中，串联交流电路中，解解:(1),40101273143 LXL,801040314116- CXC( j()30j40)5053 LCZRXX84A734.4A53-5020220 ZUIV20220 U解：解：. 4 4 2sin(31473 )Ait

30、V163176V7340j4.4j LLXIU176 2sin(314163 )VLut132 2sin(31473 )VRut4.4 7330V132 73 VRUIR(2)352 2sin(31417 )VCutV17-352V7380j4.4j CCXIU8553ULUCUCLUUIRU通过计算可看出：通过计算可看出：CLRUUUUCLRUUUU而是而是(3)相量图相量图(4)580.8W)W53(cos4.4220cos UIP或或580.8W2RIIUPRsin2204.4sin( 53 )var-774.4varQUI或或-774.4var)()(2CLCLXXIIU-UQ呈容性呈

31、容性86例例2： 图示电路中图示电路中,已知已知:U=220 V,=50Hz,分析下列情况分析下列情况:解解: (1) K打开时打开时:122AIIcosPU I3872cos0.822022PUIcos2200.8V176V所以RUUsin2200.6V132VLUU+U-1RLXI1I2I2ZS+87822387222 IPR10IUZ622LRZXV1768V22 IRUR所所以以V1326V22 LLIXU1I2IU方法方法2:A221 III+U-1RLXI1I2I2ZS+88 功率因数功率因数:。scoZRXjXRZ+U-ZI的的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角sinQUI1cos功率功率1.提高功率因数的意义提高功率因数的意义U I89NNN1000kV ASUI若用户：若用户： 则电源可发出的有功功率为：则电源可发出的有功功率为： 1cos若用户：若用户： 则电源可发出的有功功率为：则电源可发出的有功功率为： 0.6cosNNsin800kvarQU I而需提供的无功功率为而需提供的无功功率为:NNcos600kWPUIcosNNcos1000kWPUI无需提供的无功功率。无需提供的无功功率。90(费电费电)设输电线和发电机绕组的电阻为设输电线和发电机绕组的电阻为 :r要求要求:(、