勾股定理的证明及应用复习课( 东湖中学)课件

1、美丽的勾股树拼图游戏abc赵爽弦图a印度婆什迦罗的证明c c2 = b2 + a2b a2 + b2 = c2a2b2a2c2直接观察验证总统法aabbcc勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形作用:计算长度与判断是否是直角三角形概念复习 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法1传说中毕达哥拉斯的证法2赵爽弦图的证法4美国第20任总统茄菲尔德的证法3刘

2、徽的证法勾股定理的证明5其他证法 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树 也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？仔细看看，你会发现，微妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个根本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得公元前300年左右所著的?几何原本?第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和其证明是用面积

3、来进行的传说中毕达哥拉斯的证法：如图，以在RtABC中，ACB=90，分别以a、b、c为边向外作正方形 求证：a2 +b2=c2 S矩形ADNM2SADC又正方形ACHK和ABK同底AK、等高即平行线AK和BH间的距离， S正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADCABK 由此可得S矩形ADNMS正方形ACHK 同理可证S矩形MNEBS正方形CBFG S矩形ADNMS矩形MNEBS正方形ACHKS正方形CBFG 即S正方形ADEBS正方形ACHKS正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯的证法证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形如图，作CND

4、E交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形连结CD和KB返回由于矩形ADNM和ADC同底AD，等高(即平行线AD和CN间的距离)， 我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的?勾股圆方图注?在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“弦图，其中每一个直角三角形称为“朱实，中间的一个正方形称为“中黄实，以弦为边的大正方形叫“弦实，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，那么： 赵爽弦图的证法得： c2 =a2+ b2返回 刘徽在?九章算术?中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也令正方形AB

5、CD为朱方，正方形BEFG为青方在BG间取一点H，使AH=BG，裁下ADH，移至CDI，裁下HGF，移至IEF，是为“出入相补，各从其类，其余不动，那么形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证 刘徽的证法返回学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否认的事情的经过是这样的：1876年一个周末的黄昏，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他

6、走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？伽菲尔德答到：“是5呀小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？伽菲尔德不加思索地答复到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心

7、理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理美国第二十任总统伽菲尔德总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回向常春的证明方法 注:这一方法是向常春于1994年3月20日设想发现的新法abcba-bADCBEc 我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的试 一 试证明:上面的大正方形的面积为： 下面大的正方形的面积为： 从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是ab，所以面积相等，即1151213724259404112345常见的直角三角形 3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7

8、, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113 8，15，179, 12, 1512，35，3720，21，29 20，99，10148，55，73 60，91，109 常见勾股数比一比看看谁算得快！求以下直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620 x125x根本方法2.求以下图中表示边的未知数x、y、z的值.81144xyz625576144169根本方法3一个Rt的两边长分别为3和4， 那么第三边长的平方是 A、25B、14C、7D、7或252以下各组数中，以a，b，c为边的三角形 不是Rt的是 A、

9、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=5假设ab=34，c=10， 那么RtABC的面积为_。假设a=15，c=25，那么b=_；1.在RtABC中，C=90，假设a=5，b=12，那么c=_；假设c=61，b=60，那么a=_；根底练习1假设ABC的三边a、b、c，满足aba2b2c2=0，那么ABC是 A等腰三角形； B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形； D等腰直角三角形。 2若ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1： ，试判断ABC的形状 根底练习郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米

10、，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ ABC5米(X+1)米x米解三角形：设未知数求长度印度数学家什迦逻1141年-1225年曾提出过“荷花问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？，请用学过的数学知识答复这个问题。2X+0.5XCBA荷花问题如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，假设AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE折叠问题等腰ABC中，ABAC13cm ，BC=10cm,求ABC的面积和AC边上的高。ABCD1

11、31310H面积法求三角形的高如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求AC的长。ABCD308求三角形的边长如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于cm，cm和cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC平面展开问题如下图，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。ACDBGFH平面展开问题 如下图，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。ACDBGF