微积分PPT数列的极限PPT教案

1、微积分微积分PPT数列的极限数列的极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽第1页/共39页R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 边形的面边形的面积积126 nnA,321nAAAAS第2页/共39页2 2、截丈问题、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn

2、 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1第3页/共39页定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例例如如,21,81,41,21)2(n21n ,12,46,34, 1)1(nn12 nn第4页/共39页注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x

3、4xnx2.数列是整数下标函数列是整数下标函数数).(nfxn ,)1( , 1 , 1, 1)4(1 n)1(1 n,)1(,34,21, 2)3(1nnn )1(1nnn ,2 , 8 , 4 , 2)5(n2n第5页/共39页三、数列的极限三、数列的极限,21,81,41,21)2(n ,12,46,34, 1)1(nn,)1(,34,21, 2)3(1nnn 0121x2x3x21x2x3x4xnx001x2x3x4xnx10数列数列(1)(2)(3)(1)(2)(3)有一个共性？有一个共性？1当当n n无限增大无限增大时时, , 与常数与常数a a无限接近无限接近, ,尽尽管接近的方

4、式管接近的方式不同。不同。nx第6页/共39页数列极限的描述性定义：数列极限的描述性定义：axnn lim或或)( naxn我们研究数列就是研究它在自变量我们研究数列就是研究它在自变量 的动态变的动态变化过程中，化过程中， 能否渐趋稳定，或是说，能否无限能否渐趋稳定，或是说，能否无限的接近某一定数的接近某一定数 ？如果能，？如果能， 就叫就叫 的极限。的极限。 naanxnx给定数列给定数列 ，当，当 无限增大时，无限增大时， 无限的接无限的接近近 ，则称，则称 为为 趋于无穷时数列的极限。记做：趋于无穷时数列的极限。记做：nnaanxnx第7页/共39页越越来来越越小小无无限限接接近近，接接

5、近近的的程程度度轴轴上上看看，它它和和，从从数数），其其通通项项对对于于数数列列（1)1(31nnxnn . 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时即，当即，当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它. 给出数列极限的精确的定义呢？给出数列极限的精确的定义呢？能否给出数列（能否给出数列（3 3）收敛的描述性的定义？）收敛的描述性的定义？记作记作1)1(lim1 nnnn或或)( n此时称该数列（此时称该数列（3）的极限为的极限为1 ,1 , 1)1(1 nnn第8页/共39页,1001给定给定,10011 n由由,

6、100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11) 1(1 讨论数列（讨论数列（3 3）第9页/共39页定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者

7、称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N第10页/共39页x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有内，只有有限个内，只有有限个都落在都落在所有的点所有的点时时从数轴上看，当从数轴上看，当NaaxNnn :定义定义N 其中其中 ， 每每一一个个或或任任给给的的: 至少有一个或存在

8、至少有一个或存在: ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使第11页/共39页在平面上在平面上.)(),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有内，只有有限个内，只有有限个带形区域带形区域都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn O1231Na a aNn).(nfxn a a第12页/共39页数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任任给给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n即即所以所以, ,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有.

9、1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：第13页/共39页例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任给任给所以所以, ,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明: 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 第14页/共39页例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任任给给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,

10、0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 第15页/共39页例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 01 a对于给定的对于给定的.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时时恒恒有有使使得得当当axn 从从而而有有aaxn a1 , 0 任给任给axaxnn 第16页/共39页1.有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界,否否则则, 称称为为无无界界

11、.例如例如, ,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有有界界无无界界第17页/共39页定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .第18页/共39

12、页2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;21 axNnn时恒有时恒有当当;22 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .22 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.第19页/共39页例例5.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axN

13、nNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间区间长度为长度为1.1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1 1的区间内的区间内. ., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx反证反证法法第20页/共39页证证: :0 a对对 , ,取取,2a ,N 则则,时时当当Nn axn2a nx02 aa推论推论: :若数列从某项起若数列从某项起0nx,limaxnn 且且0 a则则)0( . )0( ( (用反证法证明用反证法证明) )定理定理3 3: : 收敛数列的保号性收敛数列的保号性. .若若,limaxnn

14、且且, 0 N则则Nn 当当时时, , 有有0 nx, )0( . )0( 0 aax2a2a0 a a3.保号性保号性第21页/共39页定理定理4:4:如果数列收敛于如果数列收敛于a,a,则其任一子列也一定则其任一子列也一定收敛收敛于于a.knx数列数列nx的任一子数列的任一子数列*nKnnxKnx4.子列的极限子列的极限第22页/共39页* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *,axkn证证: : 设数列设数列knx 是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列 . .若若,limaxnn则则,0,N当当 Nn 时时, , 有有axn现取正整数现取

15、正整数 K K , , 使使,NnK于是当于是当Kk 时时, , 有有knKnN从而有从而有由此证明由此证明 .limaxknk* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *NKnNxKnx第23页/共39页11111111212 kkxx，即：即：.不收敛不收敛从而可知数列从而可知数列)1(n 例例6 6)1(n 证明数列证明数列 不收敛不收敛 证证: : 数列数列)1(n 定理说明：定理说明：如果一数列有两个子列收敛于不同的如果一数列有两个子列收敛于不同的数数, ,则此数列一定发散则此数列一定发散. 如数如数列列)1(n 第24页/共39页 , 0l

16、im,. 7 nnnnyyx有极限有极限数列数列有界有界设数列设数列例例. 0lim: nnnyx证明证明 对于所有对于所有则存在正数则存在正数有界有界由条件由条件证证,:MxnNnNyMxnnnn 当当有有由由的的, 0, 0lim;, .,Myn 时时时，时，当当从而，从而，NnN , 0 nnnnyxyx , MM. 0lim nnnyx证得证得第25页/共39页231213lim:8. nnn证明证明例例 12236262312n13n: nnn证证nn1121 1221 n,231213, 0 nn欲使欲使, 0, 从从而而 231213nn,1 N,时时当当Nn .结论得证结论得证

17、.1,1 nn即即只需要只需要第26页/共39页重点重点: :数列极限的定义，数列极限的定义，收敛数列的性质收敛数列的性质难点难点: :数列极限定义的理解，数列极限定义的理解，证明数列的极限证明数列的极限.主要内容：主要内容：数列及数列极限的定义数列及数列极限的定义, ,几何意义几何意义, ,收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子有界性、唯一性、保号性、子数列极限数列极限第27页/共39页思考题思考题1. 如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1. 找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.方法方法3

18、., 0, 0 axNnNn总有总有时时当当第28页/共39页第29页/共39页1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入第30页/共39页1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入第31页/共39页“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入第32页/共39页“割