误差及数据分析的统计处理

1、关于误差及数据分析的统计处理第一页，共60页幻灯片误差及数据分析的统计处理 定量分析中的误差定量分析中的误差误差误差(Error)与准确度与准确度(Accuracy)1. 误差误差测定值测定值xi与真实值与真实值之差之差 误差的大小可用绝对误差绝对误差 E(Absolute Error)和相对误差相对误差 RE (Relative Error)表示。 E = xi%100ixRE相对误差表示误差占真值的百分率或千分率相对误差表示误差占真值的百分率或千分率。第二页，共60页幻灯片误差及数据分析的统计处理2. 准确度准确度 (1) 测定平均值与真值接近的程度测定平均值与真值接近的程度; (2) 准

2、确度高低常用误差大小表示准确度高低常用误差大小表示, 误差小，准确度高。误差小，准确度高。第三页，共60页幻灯片例例1 1： 分析天平称量两物体的质量各为分析天平称量两物体的质量各为1.6380 g 和和0.1637 g，假定两者，假定两者的真实质量分别为的真实质量分别为1.6381 g 和和0.1638 g，则两者称量的绝对误差，则两者称量的绝对误差分别为：分别为： (1.63801.6381) g = 0.0001 g (0.16370.1638) g = 0.0001 g两者称量的相对误差分别为：两者称量的相对误差分别为：绝对误差相等，相对误差并不一定相同。绝对误差相等，相对误差并不一定

3、相同。%.%.00601006381100010%.%.0601001638000010误差及数据分析的统计处理第四页，共60页幻灯片3. 说明说明(1) 绝对误差相等，相对误差并不一定相同绝对误差相等，相对误差并不一定相同;(2) 同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对误差就比较小同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对误差就比较小,测定测定的准确度也就比较高的准确度也就比较高;(3) 用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切;(4) 绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结果偏绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结

4、果偏高，负值表示分析结果偏低高，负值表示分析结果偏低;(5) 实际工作中，真值实际上是无法获得实际工作中，真值实际上是无法获得; 常用纯物质的理论值、国家标准局提供的标准参考物质的证书常用纯物质的理论值、国家标准局提供的标准参考物质的证书上给出的数值、或多次测定结果的平均值当作真值上给出的数值、或多次测定结果的平均值当作真值;误差及数据分析的统计处理第五页，共60页幻灯片误差及数据分析的统计处理偏差(Deviation)与精密度(Precision) 1. 偏差偏差 个别测定结果个别测定结果 xi 与几次测定结果的平均值的差。与几次测定结果的平均值的差。 绝对偏差绝对偏差 di：测定结果与平均

5、值之差；：测定结果与平均值之差； 相对偏差相对偏差 dr：绝对偏差在平均值中所占的百分率或千分：绝对偏差在平均值中所占的百分率或千分率。率。xxdii%100 xxxdir第六页，共60页幻灯片误差及数据分析的统计处理算术平均偏差（算术平均偏差（Average Deviation）：）：niniiixxndnd1111相对平均偏差表示为相对平均偏差表示为:%100 xddr第七页，共60页幻灯片2. 标准偏差（标准偏差（Standard Deviation） 又称又称均方根偏差均方根偏差，当测定次数趋於无限多时，称为总体标准偏，当测定次数趋於无限多时，称为总体标准偏差，用差，用表示如下：表示如

6、下：nxni12)( 为总体平均值，在校正了系统误差情况下，为总体平均值，在校正了系统误差情况下，即代表真值；即代表真值； n 为测定次数。为测定次数。112-)(nxxsnii (n-1) 表示表示 n 个测定值中具有独立偏差的数目，又称为自由度。个测定值中具有独立偏差的数目，又称为自由度。 有限次测定时，标准偏差称为有限次测定时，标准偏差称为样本标准差样本标准差，以，以 s 表示：表示：误差及数据分析的统计处理第八页，共60页幻灯片用下式计算标准偏差更为方便：用下式计算标准偏差更为方便： s与平均值之比称为与平均值之比称为相对标准偏差相对标准偏差，以，以 sr 表示表示:也可用千分率表示也

7、可用千分率表示(即式中乘以即式中乘以1000)。如以百分率表示又称为。如以百分率表示又称为变异变异系数系数 CV (Coefficient of Variation)。11212nnxxsninii%100 xssr误差及数据分析的统计处理第九页，共60页幻灯片已知两组数据，比较精密度好坏已知两组数据，比较精密度好坏甲甲 0.3 -0.2 -0.4 0.2 0.1 0.4 0.0 -0.3 0.2 -0.3乙乙 0.0 0.1 -0.7 0.2 -0.1 -0.2 0.5 -0.2 0.3 0.1解：解：=0.24d甲=0.24d乙=0.28s甲=0.28s乙误差及数据分析的统计处理第十页，共

8、60页幻灯片3. 精密度精密度（1）精密度：在确定条件下，将测试方法实施多次，求出所得结）精密度：在确定条件下，将测试方法实施多次，求出所得结果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差表示。果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差表示。（2）精密度的高低还常用）精密度的高低还常用重复性重复性（Repeatability）和）和再现性再现性（Reproducibility）表示。）表示。重复性重复性(r)：同一操作者，在相同条件下，获得一系列结果之：同一操作者，在相同条件下，获得一系列结果之间的一致程度。间的一致程度。再现性再现性(R)：不同的操作者，在不同条件下，用相同方法获得的：不同的操作者，在不

9、同条件下，用相同方法获得的单单个结果个结果之间的一致程度。之间的一致程度。（3）用标准偏差比用算术平均偏差更合理。）用标准偏差比用算术平均偏差更合理。误差及数据分析的统计处理第十一页，共60页幻灯片 准确度与精密度的关系精密度是保证准确度的先决条件；精密度是保证准确度的先决条件； 精密度高不一定准确度高；精密度高不一定准确度高；两者的差别主要是由于两者的差别主要是由于系统误差系统误差的存在。的存在。精密度精密度 准确度准确度 好好 好好 好好 稍差稍差 差差 差差 很差很差 偶然性偶然性 误差及数据分析的统计处理第十二页，共60页幻灯片例：例： 分析铁矿中铁含量，得如下数据：分析铁矿中铁含量，

10、得如下数据： 37.45% , 37.20% , 37.50% , 37.30% , 37.25%计算此结果的平均值、平均偏差、标准偏差、变异系数。计算此结果的平均值、平均偏差、标准偏差、变异系数。计算：计算：%.%.%.%.%.%.3437525373037503720374537x%.%.11050900401601401101nddnii%.%).().().().().(1301001509004016014011012222212ndsnii%.%.3501003437130 xsCV误差及数据分析的统计处理第十三页，共60页幻灯片误差的分类及减免误差的方法 系统误差或称可测误差系统

11、误差或称可测误差(Determinate Error) 偶然误差或称未定误差、随机误差偶然误差或称未定误差、随机误差(Indeterminate Errors)1. 系统误差产生的原因、特点及减免系统误差产生的原因、特点及减免系统误差的特点系统误差的特点(1)重复性重复性：同一条件下，重复测定中，重复地出现；：同一条件下，重复测定中，重复地出现；(2)单向性单向性：测定结果系统偏高或偏低；：测定结果系统偏高或偏低；(3)可校正性可校正性：其大小可以测定，可对结果进行校正：其大小可以测定，可对结果进行校正。 误差及数据分析的统计处理第十四页，共60页幻灯片（1）方法误差）方法误差(Method

12、Errors): 对照实验对照实验如反应不完全；干扰成分的影响；指示剂选择不当；如反应不完全；干扰成分的影响；指示剂选择不当；对照试验对照试验：选择一种标准方法与所用方法作对比或选择与试：选择一种标准方法与所用方法作对比或选择与试样组成接近的标准试样作试验，找出校正值加以校正。样组成接近的标准试样作试验，找出校正值加以校正。（2）仪器和试剂误差：）仪器和试剂误差： 空白实验空白实验试剂或蒸馏水纯度不够；试剂或蒸馏水纯度不够；空白试验：指除了不加试样外，其他试验步骤与试样试验步骤空白试验：指除了不加试样外，其他试验步骤与试样试验步骤完全一样的实验，所得结果称为空白值。完全一样的实验，所得结果称为

13、空白值。产生原因误差及数据分析的统计处理第十五页，共60页幻灯片（3）操作误差）操作误差例：例：分析天平，分析天平，E=E= 0.0001g0.0001g，使其，使其Er0.1%Er Qx 舍弃该数据, （过失误差造成） 若 Q Qx 保留该数据, （偶然误差所致）可疑数据的取舍可疑数据的取舍误差及数据分析的统计处理第三十三页，共60页幻灯片表表 2-4 Q 值表值表测定次数 nQ0.90Q0.95Q0.993456789100.940.760.640.560.510.470.440.410.980.850.730.640.590.540.510.480.990.930.820.740.680

14、.630.600.57误差及数据分析的统计处理第三十四页，共60页幻灯片（1）排序：x1,x2,x3,x4（2）求 和标准偏差 s（3）计算G值： Grubbs 法法（4）由测定次数和要求的置信度，查表得G 表（5）比较 若G计算 G 表，弃去可疑值，反之保留。 由于格鲁布斯(Grubbs)检验法引入了标准偏差，故准确性比Q 检验法高。sXXGsXXGn1计算计算计算计算或或误差及数据分析的统计处理第三十五页，共60页幻灯片表表 2-3 G (p，n)值表值表置 信 度n95%97.5%99%3456789101112131415201.151.461.671.821.942.032.112.

15、182.232.292.332.372.412.561.151.481.711.892.022.132.212.292.362.412.462.512.552.711.151.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.712.88误差及数据分析的统计处理第三十六页，共60页幻灯片例例5 5： 测定某药物中Co的含量（10-4）得到结果如下： 1.25, 1.27, 1.31， 1.40，用Grubbs 法和 Q 值检验法判断 1.40 是否保留。查表 2-3，置信度选 95%，n = 4，G表 = 1.46 G计算 G表 故 1.40 应保留。36

16、10660311401.计计算算G解：解： 用 Grubbs 法： x = 1.31 ； s = 0.066误差及数据分析的统计处理第三十七页，共60页幻灯片 用 Q 值检验法：可疑值 xn60025140131140111.xxxxQnnn计计算算查表 2-4， n = 4 ， Q0.90 = 0.76 Q计算 t表 ，则与已知值有显著差别(存在系统误差)。若 t计算 t表，正常差异（偶然误差引起的）。误差及数据分析的统计处理第四十页，共60页幻灯片例例6： 用一种新方法来测定试样含铜量，用含量为用一种新方法来测定试样含铜量，用含量为11.7 mg/kg的标的标准试样，进行五次测定，所得数据

17、为：准试样，进行五次测定，所得数据为： 10.9, 11.8, 10.9, 10.3, 10.0判断该方法是否可行？（是否存在系统误差）。判断该方法是否可行？（是否存在系统误差）。解：计算平均值解：计算平均值 = 10.8，标准偏差，标准偏差 S = 0.7查表查表 2-2 t 值表，值表，t(0.95 , n = 5) = 2.78t计算计算 t表表说明该方法存在系统误差，结果偏低。说明该方法存在系统误差，结果偏低。872570711810.nsxt误差及数据分析的统计处理第四十一页，共60页幻灯片两个平均值的比较两个平均值的比较相同试样、两种分析方法所得平均值的比较（缺标准值时）相同试样、

18、两种分析方法所得平均值的比较（缺标准值时） 系统误差的判断 对两个分析人员测定相同试样所得结果进行评价；对两个分析人员测定相同试样所得结果进行评价； 对两个单位测定相同试样所得结果进行评价；对两个单位测定相同试样所得结果进行评价； 对两种方法进行比较，即是否有系统误差存在；对两种方法进行比较，即是否有系统误差存在；判断方法：判断方法： t 检验法；检验法； F 检验法检验法前提：前提： 两个平均值的精密度没有大的差别。两个平均值的精密度没有大的差别。误差及数据分析的统计处理第四十二页，共60页幻灯片F F 检验法检验法也称方差比检验方差比检验:22小小大大SSF 若 F计算 F表,被检验的分析

19、方法存在较大的系统误差。212121nnnnSxxt合合t 检验式检验式：22112212n1)(1)=2SnSSnn合（误差及数据分析的统计处理第四十三页，共60页幻灯片表表 2-5 置信度置信度95%时时 F 值值fs 大fs 小2345678910234567891019.009.556.945.795.144.744.464.264.103.0019.169.286.595.414.764.354.073.863.712.6019.259.126.395.194.534.123.843.633.482.3719.309.016.265.054.393.973.693.483.332.2

20、119.338.946.164.954.283.873.583.373.222.1019.368.886.094.884.213.793.503.293.142.0119.378.846.044.824.153.733.443.233.071.9419.388.816.004.774.103.683.393.183.021.8819.398.785.964.744.063.633.343.132.971.8319.508.535.634.363.673.232.932.712.541.00fs大：方差大的数据的自由度；fs小：方差小的数据的自由度。（f = n - 1）误差及数据分析的统计处理

21、第四十四页，共60页幻灯片例例7：甲、乙二人对同一试样用不同方法进行测定甲、乙二人对同一试样用不同方法进行测定,得两组测定值：得两组测定值： 甲：甲：1.26, 1.25, 1.22 乙：乙：1.35, 1.31, 1.33, 1.34问两种方法间有无显著性差异？问两种方法间有无显著性差异？241.甲甲x解：解：n甲甲 = 3S甲 = 0.021n乙乙 = 4331.乙乙xS乙 = 0.017531017002102222.).().(小小大大计算计算SSF查表查表2-5，F 值为值为 9.55，说明两组的方差无显著性差异。，说明两组的方差无显著性差异。进一步用进一步用 t 公式进行计算。公式

22、进行计算。误差及数据分析的统计处理第四十五页，共60页幻灯片再进行再进行 t 检验：检验：查表查表 2-2 t 值表值表 f = n1 + n22 = 3 + 42 = 5，置信度，置信度 95% t表表 = 2.57，t计算计算t表表 甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异212121nnnnSxxt合合02002430170140210132112221222211.).)().)()()(nnSnSnS合合90543430200331241.t误差及数据分析的统计处理第四十六页，共60页幻灯片例例7 的讨论的讨论：（1）计算表明甲乙二人采用的不同方法

23、间存在显著性差异；）计算表明甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异； 系统误差有多大？如何进一步查明哪种方法可行？系统误差有多大？如何进一步查明哪种方法可行？（2）分别与标准方法或使用标准样品进行对照试验，根据实验结果进）分别与标准方法或使用标准样品进行对照试验，根据实验结果进行判断。行判断。（3）本例中两种方法所得平均值的差为：）本例中两种方法所得平均值的差为： 其中包含了系统误差和偶然误差。其中包含了系统误差和偶然误差。（4）根据）根据 t 分布规律，偶然误差允许最大值为：分布规律，偶然误差允许最大值为：09021.xx0404343020572212121.nnnnstxx说明可能有说明

24、可能有0.05的值由系统误差产生。的值由系统误差产生。误差及数据分析的统计处理第四十七页，共60页幻灯片数据统计处理的一般步骤：数据统计处理的一般步骤：1、计算统计值、计算统计值n,平均值，平均值，s2、可疑数据的取舍、可疑数据的取舍G/Q检验法检验法3、剩下的数据进行、剩下的数据进行F检验，检验精密度的显著差异检验，检验精密度的显著差异4、在精密度误差不大的情况下，进行、在精密度误差不大的情况下，进行t检验，确定方法的准确检验，确定方法的准确度度误差及数据分析的统计处理第四十八页，共60页幻灯片有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则 有效数字有效数字 1. 1. 实验过程中遇到的两类数字实

25、验过程中遇到的两类数字 （1 1）非测量值）非测量值 如测定次数；倍数；系数；分数；常数如测定次数；倍数；系数；分数；常数( () ) 有效数字位数可看作无限多位。有效数字位数可看作无限多位。 （2 2）测量值或计算值）测量值或计算值 数据位数反映数据位数反映测量的测量的精确程度精确程度。这类数字称为这类数字称为有效数字有效数字。 可疑数字：有效数字的最后一位数字，通常为估计值，不准可疑数字：有效数字的最后一位数字，通常为估计值，不准确。一般有效数字的最后一位数字有确。一般有效数字的最后一位数字有1个单位的误差。个单位的误差。第四十九页，共60页幻灯片2.2. 有关有效数字的有关有效数字的讨论

26、讨论 （1 1）正确记录实验数据）正确记录实验数据 分析天平分析天平 0.5180g0.5180g（不能记录为（不能记录为0.518g0.518g或或0.51800g)0.51800g) 结果结果 绝对偏差绝对偏差 相对偏差相对偏差 有效数字位数有效数字位数0.51800 0.51800 0.00001 0.00001 0.002% 50.002% 50.5180 0.5180 0.0001 0.0001 0.02% 40.02% 40.518 0.518 0.001 0.001 0.2% 30.2% 3第五十页，共60页幻灯片（2）数据中零的作用 数字零在数据中具有数字零在数据中具有双重作用

27、双重作用： a. 作普通数字用作普通数字用 b. 作定位用作定位用（3）注意点注意点 a. 改变单位不能改变有效数字位数改变单位不能改变有效数字位数 b. 容量器皿容量器皿: 滴定管滴定管,移液管移液管,容量瓶；容量瓶；4位有效数字位有效数字 c. 分析天平（万分之一）取分析天平（万分之一）取4位有效数字位有效数字 d. 标准溶液的浓度，用标准溶液的浓度，用4位有效数字表示位有效数字表示: 0.1000 mol/L e.对数值，对数值， 小数点后的数字位数为有效数字位数小数点后的数字位数为有效数字位数 第五十一页，共60页幻灯片修约规则修约规则1. 为什么要进行修约？为什么要进行修约？ 数字位

28、数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。2. 修约规则修约规则：“四舍六入五留双四舍六入五留双” （1）当多余尾数）当多余尾数4时舍去尾数，时舍去尾数，6时进位。时进位。 （2）尾数正好是）尾数正好是5时分两种情况：时分两种情况： a. 若若5后数字不为后数字不为0，一律进位，一律进位，0.1067534 b. 5后无数或为后无数或为0，采用，采用5前是奇数则将前是奇数则将5进位，进位，5前是偶数则前是偶数则把把5舍弃，简称舍弃，简称“奇进偶舍奇进偶舍”。0.43715; 0.43725 数据修约规则可参阅数据修约规则可参阅GB8170-87。

29、第五十二页，共60页幻灯片3.示例与讨论示例与讨论（1）示例：保留四位有效数字，修约：）示例：保留四位有效数字，修约： 14.2442 14.24 26.4863 26.49 15.0250 15.02 15.0150 15.02 15.0251 15.03（2）一次修约到位，不能连续多次的修约）一次修约到位，不能连续多次的修约 如如 2.3457修约到两位，应为修约到两位，应为2.3， 如连续修约则为如连续修约则为 2.3457 2.346 2.35 2.4 不对。不对。第五十三页，共60页幻灯片 运算规则运算规则1.1.加减法运算加减法运算 结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数 例：例： 0.0121 绝对误差：绝对误差： 0.0001 25.64 0.01 1.057 0.00126.7091第五十四页，共60页幻灯片2. 乘除法运算 有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。 例：例：(0.0325 (0.0325 5.103 5.103 60.0)/ 139.8 = 0.071179184 60.0)/ 139.8 = 0.071179184 0.0325 0.0325 0.0001 / 0.0325