最小二乘估计学习教案

1、会计学1最小二乘估计最小二乘估计(gj)第一页，共29页。 在上节课的讨论中，我们知道在上节课的讨论中，我们知道(zh do)(zh do)，人，人体脂肪含量和年龄之间近似存在着线性关系，这种体脂肪含量和年龄之间近似存在着线性关系，这种线性关系可以有多种方法来进行刻画线性关系可以有多种方法来进行刻画. .但是这些方但是这些方法都缺少数学思想依据法都缺少数学思想依据. .问题问题1.1.用什么样的线性关系刻画用什么样的线性关系刻画(khu)(khu)会更好一会更好一些？些？想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是(jish)(jish)距离最小）距离最小）

2、. .最小二乘法就是基于这种想法最小二乘法就是基于这种想法. .本节课我们来进行详本节课我们来进行详细学习！细学习！第1页/共29页第二页，共29页。1.1.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想. .2. 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程回归方程.(.(重点重点) )3.3.会用线性回归方程对总体进行会用线性回归方程对总体进行(jnxng)(jnxng)估计估计.(.(难点）难点）第2页/共29页第三页，共29页。思考思考1.1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便(fngbin)(f

3、ngbin)有效？设直线方程为有效？设直线方程为y=a+bxy=a+bx，样本点，样本点A A（xixi，yiyi）方法一方法一: :点到直线点到直线(zhxin)(zhxin)的的距离公式距离公式方法方法(fngf)(fngf)二二: :12baybxdii2iibxayyiiy,xiibxa ,xbxayxA A0 0第3页/共29页第四页，共29页。显然方法二能有效地表示点显然方法二能有效地表示点A A与直线与直线y=a+bxy=a+bx的距离，而且比方的距离，而且比方法一计算更方便，所以法一计算更方便，所以(suy)(suy)我们用它来表示二者之间的我们用它来表示二者之间的接近程度接近

4、程度. .第4页/共29页第五页，共29页。思考思考2.2.怎样刻画怎样刻画(khu)(khu)多个点与直线的接近程多个点与直线的接近程度？度？ 例如有例如有5 5个样本点，其坐标个样本点，其坐标(zubio)(zubio)分别为（分别为（x1x1，y1y1），（），（x2x2，y2y2），（），（x3x3，y3y3），（），（x4x4，y4y4），（），（x5x5，y5y5），与直线），与直线y=a+bxy=a+bx的接近程度：的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay提示提示(tsh)：第5页/共29页第六页，共29页。若有若有n n个样本点：（个样

5、本点：（x1x1，y1y1）, , ,（xnxn，ynyn），可以），可以(ky)(ky)用下面的表达式来刻画这些点与直线用下面的表达式来刻画这些点与直线y ya+bxa+bx的接近程度的接近程度: :2211nny(abx )y(abx ) 使上式达到最小值的直线使上式达到最小值的直线(zhxin)y=a+bx(zhxin)y=a+bx就是所要求就是所要求的直线的直线(zhxin)(zhxin)，这种方法称为最小二乘法，这种方法称为最小二乘法. .第6页/共29页第七页，共29页。先来讨论先来讨论3 3个样本个样本(yngbn)(yngbn)点的情况点的情况2211nny(abx )y(ab

6、x )思考思考(sko)3(sko)3：怎样使怎样使达到最小值？达到最小值？第7页/共29页第八页，共29页。利用利用(lyng)(lyng)配方法配方法可得可得22221122333-2-)( -)(-)(-)aa y bxy bxy bxy bx（第8页/共29页第九页，共29页。第9页/共29页第十页，共29页。同样使用配方法可以同样使用配方法可以(ky)(ky)得到得到，当，当从而从而(cng r)(cng r)得到直线得到直线y=+bxy=+bx的系数的系数 ，b b，且称直线，且称直线y=+bxy=+bx为这为这3 3个样本点的线性回归方程个样本点的线性回归方程. .第10页/共2

7、9页第十一页，共29页。用同样的方法用同样的方法(fngf)(fngf)我们可以推导出我们可以推导出n n个点的个点的线性回归方程的系数：线性回归方程的系数：niii 1n22ii 1x ynx yxnx牢记牢记(loj)公公式式第11页/共29页第十二页，共29页。特别提醒：在回归直线方程中，特别提醒：在回归直线方程中，b b是回归直线方程是回归直线方程的斜率，的斜率，a a是截距；是截距；b b的含义容易理解成增加的单位的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表数，而实际上，它代表x x每增加一个单位，每增加一个单位，y y的平均的平均增加单位数增加单位数. .一般地说，当回归系数一般

8、地说，当回归系数b b0 0时，说明时，说明两个变量呈正相关关系两个变量呈正相关关系(gun x)(gun x)，它的意义是：，它的意义是：当当x x每增加一个单位时，每增加一个单位时，y y就增加就增加b b个单位；当个单位；当b b0 0时，说明两个变量呈负相关关系时，说明两个变量呈负相关关系(gun x)(gun x)，它的，它的意义是：当意义是：当x x每增加一个单位时，每增加一个单位时，y y就减少就减少b b个单位个单位. .第12页/共29页第十三页，共29页。思考思考4:4:如果样本点只有两个，用最小二乘法得如果样本点只有两个，用最小二乘法得到到(d do)(d do)的直线与

9、用两点式求出的直线一致的直线与用两点式求出的直线一致吗？吗？提示提示(tsh):(tsh):是一是一致的致的. .与用两点式相同与用两点式相同(xin(xin tn tn).).第13页/共29页第十四页，共29页。例例1 1 在上一节练习中，从散点图可以看出在上一节练习中，从散点图可以看出(kn ch)(kn ch)，某小卖部某小卖部6 6天卖出热茶的杯数（天卖出热茶的杯数（y y）与当天气温（）与当天气温（x x）之）之间是线性相关的间是线性相关的. .数据如下表数据如下表: :气温（气温（xi） 26261818131310104 4-1-1杯数（杯数（yi）杯）杯20202424343

10、4383850506464(1)(1)试用最小二乘法求出线性回归方程试用最小二乘法求出线性回归方程. .(2)(2)如果某天的气温是如果某天的气温是33，请预测，请预测(yc)(yc)这天可能会这天可能会卖出热茶多少杯卖出热茶多少杯. . 第14页/共29页第十五页，共29页。解：（解：（1 1）由散点图可以看出）由散点图可以看出(kn ch)(kn ch)，两，两个变量个变量是线性相关的是线性相关的. .648. 1-557.57557.57648. 1612866191031153353353353115335xyabyx于是，线性回归方程为于是，线性回归方程为所以所以由表格可得：由表格可

11、得：，35115xy =33351151 910633b1.64835351 286633a57.557由表格得：，所以第15页/共29页第十六页，共29页。（2 2）由上面的最小二乘法）由上面的最小二乘法(chngf)(chngf)估计得出的估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是线性回归方程知，当某天的气温是33时，卖出时，卖出热茶的杯数估计为：热茶的杯数估计为：57.557-1.64857.557-1.648(-3)63(-3)63(杯）杯）. . 第16页/共29页第十七页，共29页。1.1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，利利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，

12、利用散点图观察数据是否用散点图观察数据是否(sh fu)(sh fu)具有线性关系具有线性关系. .2.2.散点图呈现散点图呈现(chngxin)(chngxin)线性关系时，利用最小二乘法公式线性关系时，利用最小二乘法公式求出方程求出方程. .3.3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以我们也可以(ky)(ky)利用其他的曲线进行拟合利用其他的曲线进行拟合. .【说明说明】第17页/共29页第十八页，共29页。例例2 2 下面是两个下面是两个(lin )(lin )变量的一组数据：变量的一组数据：x x1 12 2

13、3 34 45 56 67 78 8y y1 14 49 916162525363649496464请用最小二乘法请用最小二乘法(chngf)(chngf)求出这两个变量之间的线性回求出这两个变量之间的线性回归方程归方程. .解解5 .25, 5 . 4yx根据根据(gnj)上表数据，可以计算出：上表数据，可以计算出：其他数据如下表其他数据如下表第18页/共29页第十九页，共29页。i i1 11 11 11 11 12 22 24 44 48 83 33 39 99 927274 44 41616161664645 55 5252525251251256 66 636363636216216

14、7 77 7494949493433438 88 864646464512512合计合计36362042042042041 2961 296iiyxiy2ixix，第19页/共29页第二十页，共29页。思考思考(sko)(sko)：哪一：哪一个对呢？个对呢？y=-15+9x.y=-15+9x.第20页/共29页第二十一页，共29页。所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图散点图. .如果散点图呈现一定的规律性如果散点图呈现一定的规律性, ,我们再根我们再根据这个规律性进行拟合据这个规律性进行拟合. .如果散点图呈现出线性关如果散点图呈现出线性关

15、系系, ,我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程; ;如果散点图呈现出其他的曲线如果散点图呈现出其他的曲线(qxin)(qxin)关系关系, ,我们我们就要利用其他的工具进行拟合就要利用其他的工具进行拟合. .第21页/共29页第二十二页，共29页。x0 01 12 23 3y1 13 35 57 7D D1.1.已知已知x x，y y之间的一组数据如下之间的一组数据如下(rxi)(rxi)表，则表，则y y与与x x的线性回归方程的线性回归方程y=a+bxy=a+bx必经过点必经过点 ( ) ( )A.A.（2 2，2 2） B. B.（1.51.5，0

16、 0）C.C.（1 1，2 2） D. D.（1.51.5，4 4）第22页/共29页第二十三页，共29页。A A第23页/共29页第二十四页，共29页。A A第24页/共29页第二十五页，共29页。4.4.某连锁经营公司所属某连锁经营公司所属5 5个零售店某月的销售额和个零售店某月的销售额和利润额资料如下利润额资料如下(rxi)(rxi)表：表：（1 1）画出销售额和利润额的散点图）画出销售额和利润额的散点图. .（2 2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额额y y对销售额对销售额x x的线性回归方程的线性回归方程. .商店名称商店名称A AB BC CD DE E销售额（销售额（x x）/ /千万元千万元3 35 56 67 79 9利润额（利润额（y y）/ /百万元百万元2 23 33 34 45 5第25页/共29页第二十六页，共29页。i ix xi iy yi ix xi i2 2x xi iy yi i1 13 32 29 96 62 25 53 3252515153 36 63 3363618184 47 74 4494928285 59 95 581814545合计合计30301717200200112112（2 2）数据如下）数据如下(rxi)(rxi)表：