数列的极限98147PPT学习教案

1、数列的极限数列的极限98147 极限概念是由求某些实际问题的精确解而极限概念是由求某些实际问题的精确解而产生的。正是由于极限的概念，建立了有限与产生的。正是由于极限的概念，建立了有限与无限、变与不变的联系。由极限概念产生的极无限、变与不变的联系。由极限概念产生的极限理论则构成了微积分的基础，而微积分的创限理论则构成了微积分的基础，而微积分的创立不仅完成了常量数学到变量数学的跨越，同立不仅完成了常量数学到变量数学的跨越，同时也开启了现代数学之门。时也开启了现代数学之门。 只有掌握极限理论才能深入的解释和理解只有掌握极限理论才能深入的解释和理解微积分理论乃至现代数学的思想和方法。微积分理论乃至现代

2、数学的思想和方法。 第1页/共34页如，如， ,)1( , ,43 ,34 ,21 , 2 ,)1( 1 1 1 1 ,2 , ,16 , 8 , 4 , 211nnnnn ，2n)1(1 n nnn 1)1(1. 数列的定义数列的定义 若按照某法则，对每一个若按照某法则，对每一个n N+，对应着一个确定，对应着一个确定的实数的实数 xn，则序列，则序列 x1, x2, , xn , 就叫做数列，简就叫做数列，简记为数列记为数列 xn .第2页/共34页几何上，数列可看作是数轴上一个动点的轨迹几何上，数列可看作是数轴上一个动点的轨迹. ,) 1( , 65 ,56 ,43 ,34 ,21 ,

3、21nnn )1( 1nnn 数列数列0212134435665第3页/共34页 对于对于数列数列 xn ，若存在，若存在 M 0, 使得对数列中所使得对数列中所有的项有的项 xn 都成立都成立 | xn | M , 则称数列则称数列 xn 有界，若有界，若这样的这样的 M 不存在，则称数列不存在，则称数列 xn 无界无界.第4页/共34页 (1) “截杖说截杖说”（庄子）（庄子） 一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。第一天剩下第一天剩下1/2， 第二天剩下第二天剩下1/4，第三天剩下，第三天剩下1/8，第第n 天剩下天剩下1/2n, ,21 , ,81 ,41 ,21

4、n显然显然, 该数列中的项随着该数列中的项随着n 的增大的增大越来越接近越来越接近 0.所以，所余杖棰长度组成数列所以，所余杖棰长度组成数列第5页/共34页正正24边形边形割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。割，则与圆合体而无所失矣。正正6边形边形1A正正12边形边形2A面积，面积，无限接近无限接近圆面积圆面积 .而且随着而且随着 n 的无限增大，多边形的面积的无限增大，多边形的面积 An 将将基本思想是用内接正基本思想是用内接正126 n边形的面积边形的面积 An 来近似圆来近似圆第6页/共34页 前面两个古代事例都有一个

5、共同点就是出现了前面两个古代事例都有一个共同点就是出现了“无无限接近限接近”这个思想，这正是极限概念的原始面貌。极这个思想，这正是极限概念的原始面貌。极限概念是由于求某些问题的精确答案而产生的。杖棰限概念是由于求某些问题的精确答案而产生的。杖棰问题和割圆术使用的都是极限论的方法。第一个是杖问题和割圆术使用的都是极限论的方法。第一个是杖棰剩余问题，棰剩余问题， 看作一系列变化着的剩余趋向于一个确看作一系列变化着的剩余趋向于一个确定量的问题。而第二个则是把一个固定不变的量看作定量的问题。而第二个则是把一个固定不变的量看作是一系列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面是一系列变化着的多边形面积的趋向

6、，从而确定出面积的大小。积的大小。 第7页/共34页 无论是杖棰的剩余长度，还是正多边形无论是杖棰的剩余长度，还是正多边形的面积的面积 ，都可以看作是关于，都可以看作是关于 n 的一个数列的一个数列 xn ，而这个数列中的项随着，而这个数列中的项随着 n 增加产生一增加产生一个什么样的变化过程则是大家最关心的，极个什么样的变化过程则是大家最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型。限就是讨论这一类问题的数学模型。第8页/共34页 圆的内接正多边形面积构成一列有序数圆的内接正多边形面积构成一列有序数( 数列数列 ) ) A1 , , A 2, , A 3, , , A n , . . 这一数列中

7、的各项这一数列中的各项 A n 虽都不是圆面积虽都不是圆面积 A，但具有，但具有如下特点：如下特点： 当当 n 越大时，越大时，A n 作为圆面积的作为圆面积的 A 近似值就越精确，近似值就越精确，但不论但不论 n 取得如何大，只要取定了取得如何大，只要取定了n ，A n 终究只是终究只是 A 的的具有某种精确度的近似值而非精确值。为求具有某种精确度的近似值而非精确值。为求 A 的精确值的精确值只有让只有让 n 无限增大，而当无限增大，而当 n 时，就有时，就有 A n A . .第9页/共34页 对于一般的数列对于一般的数列 x n ，总会出现两种情形：，总会出现两种情形： 当当 n 时，时

8、，x n a ， 当当 n 时，时，x n 不趋于任何确定的数。不趋于任何确定的数。 例如：例如： 1 0 2nnnx . . 1 113 2nnnnxa . . 1 1nnnxn . . sin nnxna . .第10页/共34页 设有数列设有数列 x n ，如果当，如果当 n 无限增大时，无限增大时，x n 无限接无限接近于一个常数近于一个常数 a，则称当，则称当 n 无限增大时，数列无限增大时，数列 x n 的极的极限为限为 a 或数列或数列 x n 收敛于收敛于 a ，常数，常数 a 称为数列称为数列 x n 的的极限，记作极限，记作 或或 x n a , ,( n ). . 如果当

9、如果当 n 无限增大时，无限增大时，x n 不趋向不趋向于任何常数，就称数列于任何常数，就称数列 x n 的极限不的极限不存在或数列发散。存在或数列发散。 limnnxa第11页/共34页例例：试由定义判别下列数列的敛散性：试由定义判别下列数列的敛散性由定义判别数列的敛散性一般是通过观察法考察给由定义判别数列的敛散性一般是通过观察法考察给定数列的通项是否趋向于一个确定常数。定数列的通项是否趋向于一个确定常数。 因为当因为当 n 时，时， ，故该数列收敛，且极，故该数列收敛，且极限为限为 0 . . 11111 312122nnnn, . . 1 12n. .102n第12页/共34页 逐项写出

10、该逐项写出该数列各项有数列各项有 1 ,-,-1 , , ,(-1-1)n- -1 ,， 易见当易见当 n 时，时，x n 始终在始终在 1 和和 - -1 之间交替取值之间交替取值, ,它它不可能趋于一个确定数，故该数列发散。不可能趋于一个确定数，故该数列发散。 逐项写出该数列各项有逐项写出该数列各项有 可见当可见当 n 时，时，x n 趋于趋于 0 ，故该数列收敛，其，故该数列收敛，其极限为极限为 0 . . 1 21n. . 111 32nn . . 11111 000 0345n , , , ,第13页/共34页 微积分发展初期，人们往往从实际出发考虑问题，微积分发展初期，人们往往从实

11、际出发考虑问题，不太注重基础理论。随着研究的深入和应用的广泛，出不太注重基础理论。随着研究的深入和应用的广泛，出现了越来越多的含混和悖论，使得数学的发展又一次遇现了越来越多的含混和悖论，使得数学的发展又一次遇到令人不安的危机，产生这种危机的根本原因是极限理到令人不安的危机，产生这种危机的根本原因是极限理论问题。于是科学家们在完成了微积分基本理论后，又论问题。于是科学家们在完成了微积分基本理论后，又回过头来重新构建微积分基础。通过一回过头来重新构建微积分基础。通过一大批优秀科学家近一个世纪的努力，大批优秀科学家近一个世纪的努力，终于建立了微积分严谨的基础，终于建立了微积分严谨的基础，其核心就是今

12、天的极限理论。其核心就是今天的极限理论。 第14页/共34页 什么叫做什么叫做 x n无限接近于一个常数无限接近于一个常数 a ？什么叫做什么叫做 n无限增大？无限增大？ n 10000，n 10 100 可否称作可否称作 n 无限增大无限增大？如果不如果不能，能，n 变化到什么样的值才能称为变化到什么样的值才能称为 n 无限增大无限增大？第15页/共34页 这一问题看似简单，但却是一个相当困难的问题，这一问题看似简单，但却是一个相当困难的问题，它曾困扰了许多数学家，最后才由法国大数学家柯西部它曾困扰了许多数学家，最后才由法国大数学家柯西部分地解决了。这一问题的解决过程可分解为两个步骤分地解决

13、了。这一问题的解决过程可分解为两个步骤： 第一步，如何定量表示第一步，如何定量表示 x n 与与 a 的接近程度的接近程度？ 从几何上看，从几何上看，x n 与与 a 均对应于数轴上的点，要表示均对应于数轴上的点，要表示两点两点 x n 与与 a 的的接近程度可通过二者接近程度可通过二者之间距离的大小来表示，即通过之间距离的大小来表示，即通过| | x n - - a | |的大小来表示。的大小来表示。 因此，因此， x n a 的意义就是的意义就是 | | x n - - a | | 可任意地小。可任意地小。第16页/共34页 第二步，如何表示第二步，如何表示| | x n - - a |

14、| 可任意地小可任意地小？ x n 与与 a 的的接近程度可用接近程度可用不等式不等式 | | x n - - a | | l 来表。来表。l 很小可表示很小可表示 x n 与与 a 很很接近，然而，任何确定的很小的接近，然而，任何确定的很小的数数 l 均不能表示均不能表示| | x n - - a | | 可任意地小。可任意地小。 由于可任意小的由于可任意小的具体数是不存在的，因此只有人为具体数是不存在的，因此只有人为地建立这样一种地建立这样一种“数数”的概念，数学家柯西设想出了这的概念，数学家柯西设想出了这样一种数，并用样一种数，并用 表示。表示。 表示可任意赋值的数，而一表示可任意赋值的

15、数，而一旦赋于旦赋于 为某具体值，它就是通常为某具体值，它就是通常的实数。于是的实数。于是 x n - - a 可任意地小可任意地小可表示为：对预先给定的可任意可表示为：对预先给定的可任意小的正数小的正数 有有 x n - - a .第17页/共34页 柯西给出的表示法不能完全表示极限柯西给出的表示法不能完全表示极限 x n a . 因为因为| x n - - a | 只是表示了只是表示了 x n 与与 a 可任意接近的状态，但还可任意接近的状态，但还不足以表达不足以表达 x n a 的过程。的过程。 这一过程显然和这一过程显然和 x n 的的下标下标 n 的变化的变化有关。有关。x n a

16、的过程是在的过程是在 n 的过程的过程中逐步实现的，即中逐步实现的，即| | x n - - a | | N 时有时有 | x n - - a | 成立成立。第18页/共34页 另一方面，表示另一方面，表示 n 增大程度的具体值增大程度的具体值 N 又和预先给又和预先给定的定的 的的大小有关。一般而言，若大小有关。一般而言，若 取值较大，取值较大，x n 的下的下标不需要变化到很大就可有标不需要变化到很大就可有 | | x n - - a | | 成立，相应成立，相应 N就较小。而就较小。而若若 取值较小，则取值较小，则 x n 的下标需要变化到足的下标需要变化到足够大，才可有够大，才可有 |

17、 | x n - - a | | 成立，于是成立，于是 N 就较大。就较大。 综合考察，综合考察，N 对对 有某种依赖关系，有某种依赖关系，即即 N = N( ). . 为说明为说明 x n a 这一事实这一事实，N 对对 的依赖关系的依赖关系 N = N( )的具体形式的具体形式并不重要，重要的是并不重要，重要的是 | | x n - - a | | N 时，时，不等式不等式 | xn a | N 时，时，| xn 1| 0, 正整数正整数 N，当，当n N 时，时，| xn a | N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0 .1nq第27页/共34页axnn lim 欲证欲证a. 分析过程：分析过程：关键找关键找 N ! 从最后的结论不等式从最后的结论不等式 | xn a | 0, 正整数正整数 N